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人教版七年级数学下册培优资料第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点方法破译1了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.ABCDEF经典考题赏析【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.ABCDEFPQR【变式题组】01如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：ARC的对顶角是 . 邻补角是 .中有几对对顶角，几对邻补角？02当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分BOC、ABCEFOAOC 求EOF的度数； 写出BOE的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】OE、OF平分BOC、AOC EOCBOC，FOCAOC EOFEOCFOCBOCAOC 又BOCAOC180 EOF18090 BOE的余角是：COF、AOF；BOE的补角是：AOE.【变式题组】01如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC，且EOC100，则BOD的度数是（ ）A20 B40 C50 D80EAACDO（第1题图）1432（第2题图）02（杭州）已知12362，则4 .ABOl2l1【例】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：经过点A画直线l2的垂线.画出表示点B到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA4cm，PB5cm，PC6cm，则点P到直线l的距离为（ ）A4cm B5cm C不大于4cm D不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄； 设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置. 当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近.在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄越来越远.FBAOCDE【例】如图，直线AB、CD相交于点O，OECD，OFAB，DOF65，求BOE和AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：AOF90，OFAB 【变式题组】01如图，若EOAB于O，直线CD过点O，EODEOB13，求AOC、AOE的度数.CDBAEO02如图，O为直线AB上一点，BOC3AOC，OC平分AODBACDO求AOC的度数；试说明OD与AB的位置关系.ABAED03如图，已知ABBC于B，DBEB于B，并且CBEABD12，请作出CBE的对顶角，并求其度数.CFEBAD142365【例】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：1和2：1和3：1和6：2和6：2和4：3和5：3和4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.ABDCHEF【变式题组】01如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（ ）A4对 B8对 C12对 D16对02如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.71568412乙丙3234561234甲03如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A1和2是同旁内角 1ABC234567B3和4是内错角C5和6是同旁内角D5和7是同旁内角【例】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由CBDADB；ABCDOBCDADC180ACDBAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】由CBDADB，可推得ADBC；根据内错角相等，两直线平行.由BCDADC180，可推得ADBC；根据同旁内角互补，两直线平行.由ACDBAC可推得ABDC；根据内错角相等，两直线平行.ABDEF【变式题组】01如图，推理填空. A （已知） ACED（ ） C （已知） ACED（ ）C A （已知） ABDF（ ）02如图，AD平分BAC，EF平分DEC，且12，试说明DE与AB的位置关系. 解：AD是BAC的平分线（已知）ABCDEF12 BAC21（角平分线定义） 又EF平分DEC（已知） （ ） 又12（已知） （ ） ABDE（ ）03如图，已知AE平分CAB，CE平分ACDCAEACE90，求证：ABCDABCDEABCDEF04如图，已知ABCACB，BE平分ABC，CD平分ACB，EBFEFB，求证：CDEF.【例】如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31.l1l2l3l4l5l6图l1l2l3l4l5l6图【解法指导】如图，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图.证明：假设图中的12个角中的每一个角都不小于31则1231372360这与一周角等于360矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31【变式题组】01平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11.02在同一平面内有2010条直线a1,a2,，a2010,如果a1a2,a2a3，a3a4，a4a5那么a1与a2010的位置关系是 .03已知n（n2）个点P1，P2，P3Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S21，S33，S46，S510则Sn .演练巩固反馈提高01如图，EACADB90.下列说法正确的是（ ）A的余角只有B B的邻补角是DAC CACF是的余角 D与ACF互补AEBCFDABCDFEMN第1题图第2题图ABDC第4题图02如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则EMB的同位角为（ ）AAMF BBMF CENC DEND03下列语句中正确的是（ ）A在同一平面内，一条直线只有一条垂线B过直线上一点的直线只有一条C过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D垂线段就是点到直线的距离04如图，BAC90，ADBC于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）ABAC AD与AC互相垂直 点C到AB的垂线段是线段AB 线段AB的长度是点B到AC的距离 垂线段BA是点B到AC的距离 ADBDA0 B2 C4 D605点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA4cm，PB5cm，PC6cm，则点P到直线l的距离是（ ）A4cm B5cm C小于4cm D不大于4cm06将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则AOBDOC .ABCDOABCDEFGHabc第6题图第7题图第9题图12345678107如图，矩形ABCD沿EF对折，且DEF72，则AEG .08在同一平面内，若直线a1a2,a2a3,a3a4,则a1 a10.（a1与a10不重合）09如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：15，17，23180，47，其中能判断ab的条件的序号是 .10在同一平面内两条直线的位置关系有 .11如图，已知BE平分ABD，DE平分CDB，且EABEEDC试说明ABCD？ACDEB12如图，已知BE平分ABC，CF平分BCD，12，那么直线AB与CD的位置关系如何？ABCDEF1213如图，推理填空： A （已知）ACED（ ）2 （已知）ACED（ ）A 180（已知）ABFD14如图，请你填上一个适当的条件 使ADBCABCDEF第14题图培优升级奥赛检测01平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A1，3 B0，1，3 C0，2，3 D0，1，2，302平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.ABCDEFA60 B55 C50 D4503平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.A35 B40 C45 D5504如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 _交点.05如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.ab 06平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A3 B1或3 C1或2或3 D不一定是1，2，307请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？ABC 09如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（ ）A60 B75 C90 D13510在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ 任意两条直线都有交点； 总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点方法破译1掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典考题赏析【例】如图，四边形ABCD中，ABCD， BCAD，A38，求CCBAD的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：ABCD BCADAB180 BC180(两条直线平行，同旁内角互补)AC A38 C38【变式题组】01如图，已知ADBC，点E在BD的延长线上，若ADE155，则DBC的度数为（ ）A155B50C45D25（第1题图）EDCBA321l1l2（第2题图）EABD12CF（第3题图）02（安徽）如图，直线l1 l2,155，265，则3为（ ）A 50 B 55 C 60 D6503如图，已知FCABDE，：D：B2: 3: 4, 试求、D、B的度数.EAFGDCB【例】如图，已知ABCDEF，GCCF，B60，EFC45，求BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】ABCDEF BBCD FFCD(两条直线平行，内错角相等)又B60 EFC45 BCD60 FCD45 又GCCF GCF90（垂直定理） GCD904545 BCG604515【变式题组】01如图，已知AFBC, 且AF平分EAB，B48，则C的的度数_BAMCDNP（第3题图）ABCDOEFAEBC（第1题图）（第2题图）02.如图,已知ABCACB120，BO、CO分别ABC、ACB，DE过点O与BC平行，则BOC_03如图，已知AB MPCD, MN平分AMD，A40，D50，求NMP的度数.【例】如图，已知12，CD 求证：AF. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明AF，即要证明DFAC 要证明DFAC, 即要证明DDBC180，即：CDBC180；要证明CDBC180即要证明DBEC 要证明DBEC即要证明13.证明：12，23（对顶角相等）所以13 DBEC（同位角相等两直线平行）DBCC180（两直线平行，同旁内角互补）CD DBCD180 DFAC（同旁内角，互补两直线平行）AF（两直线平行，内错角相等）GB3CA1D2EF（第1题图）【变式题组】CDABEF13201如图，已知ACFG，12，求证：DEFGA2CF3ED1B（第2题图）02如图，已知12180，3B 求证：AEDACB03如图，两平面镜、的夹角，入射光线AO平行O/OB于入射到上，经两次反射后的出射光线OB平行于，则角等于_.【例】如图，已知EGBC，ADBC，13. 31ABGDCE求证：AD平分BAC【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：13）证明：EGBC，ADBC EGCADC90（垂直定义）EGAD（同位角相等，两条直线平行） 13 3BAD（两条直线平行，内错角相等） AD平分BAC（角平分线定义）【变式题组】DA2E1BC01如图，若AEBC于E，12，求证：DCBC02如图，在ABC中，CEAB于E,DFAB于F, ACED，CE平分ACB 求证：EDFBDF. BFEACD3已知如图，ABCD，B40，CN是BCE的平分线. CMCN，求：BCM的度数.ADMCNEB【例】已知，如图，ABEF，求证：ABCBCFCFE360【解法指导】从考虑360这个特殊角入手展开联想，分析类比，FED21ABC联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C作CDAB即把已知条件ABEF联系起来，这是关键.【证明】：过点C作CDAB CDAB 1ABC180(两直线平行，同旁内角互补) 又ABEF，CDEF（平行于同一条直线的两直线平行） 2CFE180(两直线平行，同旁内角互补) ABC12CFE180180360 即ABCBCFCFE360【变式题组】01如图，已知，ABCD，分别探究下面四个图形中APC和PAB、PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：_ _ _BAPCACCDAAPCBDPBPDBD【例】如图，已知，ABCD，则、之间的关系是3214DEBCAFH180PBCDAP【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E作EHAB 过点F作FGAB ABEH 1（两直线平行，内错角相等）又FGAB EHFG（平行于同一条直线的两直线平行）23 又ABCD FGCD（平行于同一条直线的两直线平行）4180（两直线平行，同旁内角互补）134124180【变式题组】01如图， ABEF，C90，则、的关系是（ ）A B180C90 D90FDEBCAFDEBCA02如图，已知，ABCD，ABE和CDE的平分线相交于点F，E140，求BFD的度数.BCAAlBC【例】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”定，找，移，连.定：确定平移的方向和距离.找：找出图形的关键点.移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. 连: 按原图形顺次连接对应点.【解】连接AA/ 过点B作AA/的平行线l 在l截取BB/AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.DBCA【变式题组】01如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02如图,已知三角形ABC中，C90, BC4，AC4，现将ABC沿CB方向平移到A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求ABC与A/B/C/的重叠部分的面积. BB/AA/CC/03原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）西B30A北东南D538AFCBE演练巩固 反馈提高01如图，由A测B得方向是（ ）A南偏东30B南偏东60C北偏西30 D北偏西6002命题：对顶角相等；相等的角是对顶角；垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A1个B2个C3个D4个03一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A第一次向左拐30，第二次向右拐30B第一次向右拐50，第二次向左拐130C第一次向左拐50，第二次向右拐130D第一次向左拐60，第二次向左拐12004下列命题中，正确的是（ ）A对顶角相等B同位角相等 C内错角相等D同旁内角互补05学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的如图P .P .P .P .从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行.ABCD06在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）A北偏东52 B南偏东52 C西偏北52 D北偏西3807下列几种运动中属于平移的有（ ）水平运输带上的砖的运动；笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；升降机上下做机械运动；足球场上足球的运动.A1种B2种C3种D4种08如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09观察图，哪个图是由图平移而得到的（ ）10如图，ADBC，ABCD，AEBC，现将ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分. DEABCEDBCEDABCEDABCEDABC11判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.对顶角是相等的角；相等的角是对顶角；两个锐角的和是钝角；同旁内角互补，两直线平行.12把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出命题的真假.互补的角是邻补角；两个锐角的和是锐角；直角都相等.13如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处A120，第二个拐弯处B150，第三个拐弯处C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问C是多少度？并说明理由. 150120DBCE湖14如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有12，34的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角BFD的度数吗？4321ABEFCD15如图，ABCD，12，试说明E和F的关系.4P231ABEFCDFADECB培优升级奥赛检测01如图，等边ABC各边都被分成五等分，这样在ABC内能与DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在ABC内由DEF平移得到的三角形共有（ ）个.B.O. A02如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）CB1AA1C1D1BD03如图，长方体的长AB4cm，宽BC3cm，高AA12cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是_,平移的方向是_.04如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 即阴影部分如图;将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 即阴影部分如图; 在图中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1_, S2_, S3_.联想与探究：如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？A2B2A3B3B4A4A1B1草地 草地 A1B2B1A2B2A1B1A3B3A205一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转（0180），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则角为（ ）A720B108或144C144D720或14406两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ）A90 B1620 C6480 D200607如图，已知ABCD，B100，EF平分BEC，EGEF. 求BEG和DEG.FEBACGD100FEBACGD08如图，ABCD，BAE30，DCE60，EF、EG三等分AEC 问：EF与EG中有没有与AB平行的直线？为什么？09如图，已知直线CBOA，COAB100，E、F在CB上，且满足FOBAOB，OE平分COF.求EOB的度数；若平行移动AB，那么OBC：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.FEBACO在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由. 10平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36,请说明理由.ABCD11如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？12如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？BDCFAE第06讲 实 数考点方法破译1平方根与立方根：若a(a0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x，其中a的平方根为x叫做a的算术平方根若x3a，则x叫做a的立方根记为：a的立方根为x 2无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q0）的形式3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数即0，0（n为正整数），0(a0) 经典考题赏析【例1】若2m4与3m1是同一个数的平方根，求m的值【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数2m 4与3ml是同一个数的平方根，2m4 3ml0，5m5，ml【变式题组】01一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是_02已知m是小于的最大整数，则m的平方根是_03的立方根是_04如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是_输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则ab等于( )A1 B 0 C1 D2【解法指导】若有意义，a、b为非零实数，b20a30 a3，故选C【变式题组】0l在实数范围内，等式0成立，则ab_02若，则的平方根是_03（天津）若x、y为实数，且，则的值为（ ）A1 B1 C2 D204已知x是实数，则的值是( )A B C D无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足求ab的平方根【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数， 即，a b12 1325ab的平方根为：【变式题组】01（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（2）m(32)n70求m、n02（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x（）y40，则xy_ 【例4】若a为2的整数部分，b1是9的平方根，且，求ab的值 【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，2整数部分小数部分整数部分估算可得2，则小数部分2 24a