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第2章 平面对量
§2.1 向量的概念及表示
课时目标
1．把握向量的有关概念及向量的几何表示.2.把握平行向量与相等向量的概念．
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．
留意 数量可以比较大小，而向量无法比较大小．
2．向量的几何表示
(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作________．
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．
(2)向量的有关概念：向量的________称为向量的长度(或称为模)，记作||.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．
3．平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a与b平行，通常记为a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a，都有0∥a.
4．相等向量与共线向量
(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，通常记为a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向全都的有向线段表示同一个向量．
(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．
5．相反向量
我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的________________，记作________，a与－a互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a有____________．
一、填空题
1．下列命题中正确的个数为______．
①向量a与向量b平行，则a、b方向相同或相反；
②若向量、满足||>||，且与同向，则>；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行；
⑤若向量a与向量b方向相反，则a与b是相反向量．
2．下列结论中，正确的是________．(填序号)
①向量，共线与向量∥同义；
②若向量∥，则向量与共线；
③若向量＝，则向量＝；
④只要向量a，b满足|a|＝|b|，就有a＝b.
3．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的外形为________．
4．下列说法正确的有________．(填序号)
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不愿定相等；⑥平行向量方向相同．
5．下列四个命题
①若|a|＝0，则a＝0；
②若|a|＝|b|，则a＝b，或a＝－b；
③若a∥b，则|a|＝|b|；
④若a＝0，则－a＝0.
其中正确命题的个数是________．
6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；
⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填写序号)
7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)
①向量的模确定是正数；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同始终线上．
8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号)
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行．
9．下列各种状况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把全部单位向量移到同一起点；
②把平行于某始终线的全部单位向量移到同一起点；
③把平行于某始终线的一切向量移到同一起点．
①__________；②____________；③____________.
10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．
二、解答题
11.
在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
12.
如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
力气提升
13.
如图，已知＝＝.求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
14.
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时确定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
第2章 平面对量
§2.1 向量的概念及表示
学问梳理
1．(1)方向
2．(1) (2)大小 0 1
3．相同 相反 平行
4．(1)长度 (2)直线
5．相反向量 －a 相反向量 零向量 －(－a)＝a
作业设计
1．0
2．①②③
解析 依据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；依据向量相等的概念知③正确；④不正确．
3．菱形
解析 ∵＝，∴AB綊DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
4．②⑤
解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．
5．2
解析 ②③错，①④正确．
6．①③④
解析 相等向量确定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量确定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
7．②
解析 ①错误.0的模|0|＝0.
②正确．对于一个向量只要不转变其大小和方向，是可以任意移动的．
③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必需在同始终线上．
8．③
解析 若b＝0，则a与c不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a，b中有一个是零向量，则a与b确定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确．
9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线
10.，，
解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点，
∴EF∥BC，
∴符合条件的向量为，，.
11．解
(1)依据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(如图)．
(2)由平面几何学问可知全部这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(如图)．
12．解 (1)由于E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又由于D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
13．证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||.
∴＝.同理可证＝.
14．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
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