资源描述
2.1.1 椭圆及其标准方程
教学目标：
（1） 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。
（2） 经受从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，把握椭圆的定义、标准方程及简洁几何性质。
（3） 通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。
教学任务分析：
（1） 同学已有的主要学问结构
同学已经学习过圆，了解圆的定义，经受了依据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。
（2） 建立新的学问结构
与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。
回忆圆的定义，与已有的学问联系
小结与布置作业
教学基本流程：
通过作图，提出问题，引入椭圆的定义义
依据条件，确定椭圆的标准方程
教学过程：
问题
设计意图
师生活动
备注
1、回顾圆的定义，让同学用预备好的工具画圆。
同学动手画圆，结合图形，重现思维轨迹，为椭圆的学习作好铺垫。
1.由同学动手试验，并说出圆的定义；
画圆时，绳子一端固定在纸板上，一端栓在笔上同学再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。
2.将圆心分开变为两个，绳子两端固定在这两个定点上，用笔勾住绳子，将会画出什么样的曲线呢？
提出新的问题，激发同学的奇异 心，引发学习爱好。
1.师生一起画图，得到一个压扁的“圆”—椭圆；
2.老师演示课件：拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等。
让同学领悟到数学的美，生疏到数学与生活息息相关。
3.在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？
4.应当如何描述动点M所满足的几何条件？
1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。
2.让同学体会类比思想，整理试验，归纳抽象成数学问题。
1.引导同学分析试验，发觉两个确定的量—定点及绳长，变动的量—笔尖（即椭圆上的点）。
2.再次演示画椭圆的过程，引导同学发觉规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。
这里应赐予同学充分思考和争辩的机会，引导他们说出自己的发觉，并逐步修正得到椭圆的定义。
5.将两位同学所画的椭圆投影到大屏幕，并提出问题：在绳长相同的状况下，为什么画出的椭圆有圆有扁呢？
使同同学疏到椭圆的外形受到两定点的距离的影响。
1．老师：转变原有的两定点的距离画椭圆并观看图形，大家有什么发觉?
同学：的距离愈近椭圆愈圆，的距离愈远椭圆愈扁。
6.假如只转变绳长，而不转变的距离，又会毁灭什么结果呢
使同学进一步生疏到椭圆的外形也受到绳长的影响。
老师：假如定点的位置相同，只转变绳长，椭圆又有什么变化？
同学：绳愈短椭圆愈扁，绳愈长椭圆愈圆。
老师：设||=2C，||+||=2a,如何通过a,c刻划椭圆的扁圆程度。
同学：当越小时，椭圆愈圆，当越大时，椭圆越扁。
7.椭圆与两定点位置及定线段长有关，是否给定了线段长和两定点位置就确定能作出椭圆呢？
加深对概念的理解
师生共同探讨，并演示课件，呈现2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不怜悯形的轨迹。
同学：当2a>2c时，轨迹是椭圆;当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以为端点的线段;当2a<2c时，无轨迹;当c=0时，轨迹为圆.
写出动点M所满足的几何条件的点的集合：P=M|||+||=2a。
明确椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数2a（2a大于||）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
8.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等领域有着广泛的应用，因此，有必要进一步探求它的性质，争辩它的方程。求曲线方程的步骤是什么？怎样建立适当的坐标系，求椭圆的方程呢？
温旧知新，让同同学疏到适当的坐标系有利于化简，也会使所得的方程比较简洁。
同学回答求曲线方程的步骤，老师引导同学争辩如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性，得出以线段的中点为原点，以的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
事实上，椭圆的美主要体现在均匀对称上，应充分引导同学争辩、发觉这一点。
完成了“建系”，设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与的距离的和等于常数2a（2a>||）。
由定义可知，椭圆就是集合P=M|||+||=2a。
||=,||=,+=2a.
能否将上面所得等式两边同时平方？应当如何处理两个根号的位置更有利于化简？
在同学已懂得一个根式化简的状况下，针对具体的问题，寻求解决问题的想法。
请3—4名同学板演方程化简，老师在教室中走动，观看同学的化简状况。
组织同学评价板演状况，使同学明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给同学。
老师：设||=2c, ||+||=2a，观看图形能否找出a,c，所表示的线段及其关系呢？
结合图形，赐予a,c，以具体的几何意义。
（呈现图形）同学：可以看出a,c是以为底边的等腰三角形的腰及底边的一半。
老师：不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何？
同学：a>b>0.
通过类比，让同学写出焦点在y轴上椭圆的标准方程，并依据方程辨别椭圆的焦点在x轴或y轴上。
老师用总结性的语言引导同学对椭圆方程再生疏：
椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。
椭圆的三个参数a.b.c满足。
椭圆标准方程中的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。
1教材中例1.
2补充练习：已知椭圆的方程为则
（1）a= b= c
（2）焦点在 轴上，其焦点坐标为 ，焦距为 。
（3）若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为 ，∆F2CD的周长为 。
椭圆标准方程的应用。
2位同学板演例1，补充练习由同学口答。
老师：假如将椭圆方程改为=1，上述问题（1）（2）（3）有何变化？
同学：（回答略）
小结：
（1）学问方面：总结了椭圆的定义；探讨了椭圆的扁圆；争辩了在a、c的四种不同关系下的曲线轨迹；求出了椭圆的标准方程；了解焦点与方程形式的关系。（以上各学问点可借助课件呈现出来）
（2）力气方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，学会用运动变化的观点争辩问题，通过椭圆学问学习进一步体会到数学学问的和谐美，几何图形的对称美。
布置作业：
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