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其次章测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左到右的挨次成等差数列，每列的3个数按从上到下的挨次成等差数列，且表中心中间的数a22＝2，则表中全部数字之和为( )
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
A.2 B．18
C．20 D．512
解析 a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32＝3×3a22＝18.
答案 B
2．在等比数列{an}中，假如a6＝6，a9＝9，那么a3等于( )
A．4 B.
C. D．3
解析 ∵a＝a3·a9，∴a3＝4.
答案 A
3．等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a3＝，S3＝，则此数列的首项为( )
A．6 B．－
C. D.或6
解析 ∵a3＝，S3＝，
∴a1＋a2＝3，＝＝＝.
∴q＝－，或q＝1.
∴a1＝6，或a1＝.
答案 D
4．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D．n2＋n
解析 设数列{an}的公差为d，则依据题意，得(2＋2d)2＝2·(2＋5d)，解得d＝，或d＝0(舍去)，所以数列{an}的前n项和Sn＝2n＋×＝＋.
答案 A
5．设等比数列{an}的公比为q(q为实数)，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．4
解析 ∵数列{an}为等比数列，∴a2·a6＝a3·a5，a3·a7＝a，
∴a＋2a2a6＋a3·a1＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(2)2＝8.故选C.
答案 C由Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
可得Sn－Sn＋1＝Sn＋2－Sn，
∴－an＋1＝an＋2＋an＋1.
∴an＋2＝－2an＋1.
∴q＝－2.故选B.
答案 C
6．数列{an}的前n项和是Sn，假如Sn＝3＋2an(n∈N*)，那么这个数列肯定是( )
A．等比数列
B．等差数列
C．除去第一项后是等比数列
D．除去第一项后是等差数列
解析 ∵Sn＝2an＋3，an＝Sn－Sn－1＝(2an＋3)－(2an－1＋3)(n≥2)，
∴an＝2an－1(n≥2)，∴＝2(n≥2)．
∴{an}是等比数列，公比为2.
答案 A
7．定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为( )
A．2n－1 B．4n－1
C．4n－3 D．4n－5
解析 ∵{an}的“均倒数”为，
∴{an}的前n项和为Sn＝(2n－1)n.
∴an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)(n≥2)．
∴an＝4n－3(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足an＝4n－3.
∴an＝4n－3(n∈N*)．
答案 C
8．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为( )
A．128 B．80
C．64 D．56
解析 S8＝＝＝＝64.
答案 C
9．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析 ∵S5＝＝5a3＝25，∴a3＝5.
∵a2＝3，∴d＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
答案 B
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，若存在自然数p≥10，使得Sp＝ap，则当n>p时，Sn与an的大小关系是( )
A．an>Sn B．an≥Sn
C．an<Sn D．an≤Sn
解析 ∵Sp＝ap，∴Sp－ap＝0，即Sp－1＝0.
∵a1>0，∴d<0.
设Sn＝n2＋n，an＝dn＋(a1－d)．
它们的图象如图所示，
由图象可知，当n>p时，an>Sn.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和等于________．
解析 ∵a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，
12d＝(a7＋a8)－(a1＋a2)＝24，
∴d＝2，∴a1＝1.
∴S10＝10a1＋×2＝10＋90＝100.
答案 100
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴S5＝5a1＋10d，S3＝3a1＋3d.
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4.
答案
13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析 由已知q≠1，∵2·2S2＝S1＋3S3，
∴4a1(1＋q)＝a1＋3×，∴3q2－q＝0.
∴q＝0(舍去)，或q＝.
答案
14.设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为∏n，则∏2022＝________.
解析 由an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2.
∴数列{an}以周期为3重复消灭，且a1a2a3＝2××
(－1)＝－1，∴2022＝3×671＋1，∴∏2022＝－1＋a1＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共4小题，共50分，其中15、16、17题每题12分，18题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足Sn＝1－nan(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2的值；
(2)求{an}的通项公式．
解 (1)当n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.
当n＝2时，a1＋a2＝1－2a2，∴a2＝.
(2)∵Sn＝1－nan，
当n≥2时，Sn－1＝1－(n－1)an－1，
∴an＝(n－1)an－1－nan(n≥2)．
∴an＝an－1(n≥2)．
∴a2＝a1，a3＝a2，a4＝a3，…，an＝an－1，
上面各式相乘，an＝a1＝.
16．(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解 (1)依题意，有
a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知，可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
17．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，
由已知，得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝
＝6n2－22n.
18．(14分)已知{an}是整数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.
解 (1)由已知得an＋1＝an＋1，
∴数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)bn＋1－bn＝2an＝2n，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＝＝2n－1.
bnbn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝－5·2n＋4·2n＝－2n<0.
∴bnbn＋2<b.
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