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专题一 考前题型训练“短、平、快”
高考试卷虽然是选拔性的试卷，但是试卷中仍旧有相当部分的送分题．所谓送分题是指学问点基础，数据计算量小，解题方法基本的试题．这部分试题往往由于简洁，导致很多考生思想重视不够，从而失分，特殊是一些数学成果优秀的考生更是如此．笔者以多年送考的阅历告知大家，只要处理好以下几个方面的问题，即可达到“送分题，一分不丢”的效果，使考生能在高考考场上取得开门红，增加考试的信念．
问题一
使用概念要明确
[例1] (2022·宜昌模拟)已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
[尝试解答]
[易错分析] 本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件．
[解答] 由题意得解得a＝－1.
[答案] C
利用复数的有关概念解题时，肯定要过好审题关，认真辨析试题中的待求问题；在精确 用好概念的前提下对试题进行解答，这样才能避开应用概念出错．如本题，若能搞清复数z为纯虚数的概念，只需令复数z的实部为零，虚部不为零，从而把求参数问题转化为求方程组解的问题，即可避开概念的陷阱．
[例2] (2022·威海模拟)已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[尝试解答]
[易错分析] 本题的易错点是对充要条件的概念把握不清，推断错误，并且不会将充要条件进行转化．
[解答] ∵p：－2≤x－3≤2,1≤x≤5.∴p：x<1或x>5.
易得q：m－1≤x≤m＋1，∴q：x<m－1或x>m＋1.
又∵p是q的充分不必要条件，
∴∴2≤m≤4.
[答案] 2≤m≤4
对充要条件的判定需留意：
(1)要擅长举出反例：假如从正面推断或证明一个命题的正确与否不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(2)要留意转化：假如p是q的充分不必要条件，那么p是q的必要不充分条件．同理，假如p是q的必要不充分条件，那么p是q的充分不必要条件；假如p是q的充要条件，那么p是q的充要条件．
问题二
思考问题要严谨
[例3] 已知数列{an}中an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，3)
C．(－∞，2) D．(－∞，3]
[尝试解答]
[易错分析] 认为an是关于n的二次函数，定义域为整数集，又{an}递增，则必有≤1，即k≤2，思维不严谨导致解题错误．
[解答] an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分别变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．
[答案] B
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区分，即数列所对应的函数若单调则数列肯定单调，反之若数列单调，其所在函数不肯定单调，关键缘由在于数列是一个定义域为正整数N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的推断一般要通过比较an＋1与an的大小来推断：若an＋1>an，则数列为递增数列；若an＋1<an，则数列为递减数列．
[例4] (2022·台州模拟)f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
[尝试解答]
[易错分析] 认为函数f(x)在R上单调递增，只需在定义域的两段上均为增函数即可，而忽视函数在两段区间的分界点处函数值的大小，因思维不严谨致错．
[解答] f(x)在R上单调递增，则有
解得：4≤a<8.
[答案] B
对于分段函数的单调性，有两种基本的推断方法：一保证各段上同增(减)时，要留意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的推断．争辩函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的全部性质，在争辩函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、查找解决问题的方法．
问题三
特殊状况要谨记
[例5] (2022·西安模拟)已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．
[尝试解答]
[易错分析] 由数列前n项和求通项公式的问题，易忽视争辩n＝1这种特殊情形而致错．
[解答] 当n＝1时，20·a1＝S1＝3，∴a1＝3.
当n≥2时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6.
∴an＝－.
∴数列{an}的通项公式为an＝
[答案] an＝
已知Sn求an的三个步骤：
(1)先利用a1＝S1，求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，假如符合，则可以把数列的通项公式合写；假如不符合，则应当分n＝1与n≥2两段来写．
[例6] (2022·太原模拟)过点(0,3)作直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答]
[易错分析] 本题易只考虑斜率k存在的状况，而忽视斜率k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴时的两种情形．
[解答] 当斜率k存在且k≠0时，由题中条件知，直线l的方程为y＝x＋3；
当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时l平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点；
当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程为x＝0.
综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3，y＝3，x＝0，共3条．
[答案] D
解答直线与抛物线位置关系的相关问题时，留意直线与抛物线的两种特殊的位置关系：直线和抛物线的对称轴垂直与直线和抛物线的对称轴平行．
问题四
问题分类要全面
[例7] 已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
[尝试解答]
[易错分析] 本题易忽视对公比大于0和小于0的争辩．
[解答] 由于等比数列{an}中a2＝1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.
所以当公比q>0时，
S3＝1＋q＋≥1＋2＝3(当且仅当q＝1时，等号成立)；
当公比q<0时，
S3＝1－≤1－2＝－1(当且仅当q＝－1时，等号成立)．
所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[答案] D
在利用基本不等式解决函数的值域问题时，要留意其使用条件和等号成立的条件，即所谓“一正、二定、三相等”．例如，求函数y＝x＋的值域和＋的取值范围问题时，要留意分类争辩．
[例8] 设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求f(x)的极值；
(2)争辩函数f(x)的单调性．
[尝试解答]
[易错分析] 本题的易错点是在争辩函数y＝f(x)的单调性时，因缺乏分类争辩意识，导致解题错误；或者有分类争辩意识，但分类标准模糊导致分类不全致误．
[解答] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝3时，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2.
f′(x)与f(x)随x的变化如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
微小值
递增
所以f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝－1；
在x＝2处取得微小值，f(2)＝1－3ln 2.
(2)f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8，
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，且都大于0，
f′(x)与f(x)随x的变化如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
微小值
递增
故f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
推断含参数的单调性问题应留意：先树立分类争辩的思想意识，做题时应先对问题作深化的争辩，明确其分类的标准，如本题中要争辩函数f(x)的单调性，应争辩f′(x)的符号，即争辩x2－ax＋2的符号，从而应分Δ≤0与Δ>0两种状况争辩；由于考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，应争辩f′(x)＝0的两根与定义域的关系，故再次分a<－2和a>2两种状况．一般地，与y＝ax2＋bx＋c有关的争辩有三种依据：a取值，Δ取值，根的大小．
问题五
作图用图要精确
[例9] (2022·滨州模拟)函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2 x的图象的交点个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[尝试解答]
[易错分析] 不能精确 作出两函数在相应区间的图象以及两函数图象的相对位置关系，只是想当然、没有依据地乱作图象，很简洁导致错误．
[解答] 分别在同一坐标系内作出两函数的图象．如图所示，观看易知两函数图象有且仅有3个交点．
[答案] B
在推断函数图象交点的个数或利用函数图象推断方程解的个数时，肯定要留意函数图象的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x＝时，4x－4<log2x，即此时对函数图象上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对精确 地确定两函数图象的相对位置关系．
[例10] 已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－2,1] D．(－2,1)
[尝试解答]
[易错分析] 不能依据函数解析式的特点以及零点所在区间确定a，b所满足的条件，导致找不到解决问题的突破口，或者忽视a>0的限制条件，导致错解．
[解答] 由于a>0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又由于f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内，则有即
如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(－1,0)连线的斜率．而直线QA的斜率k＝＝1，直线4a＋2b－1＝0的斜率为－2，明显不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(－2,1)．
[答案] D
本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问题，先结合函数图象确定函数在指定区间存在零点的条件，再确定不等式组所表示的平面区域，将目标函数转化为平面区域内的点与定点连线的斜率，依据图形推断其取值范围．在作图时要留意不等式组中各个不等式是否带有等号，否则很简洁忽视边界值而导致错解．
问题六
等价转化要严谨
[例11] 曲线y＝与直线y＝x＋b没有公共点，则实数b的取值范围为____________．
[尝试解答]
[易错分析] 本题易直接联立y＝与y＝x＋b，整理为2x2＋2bx＋b2－1＝0，然后错误地认为曲线y＝与直线y＝x＋b没有公共点等价于方程2x2＋2bx＋b2－1＝0无解，从而导致解题错误．
[解答] 如图，依据图象可知：当b>或b<－1时，方程组无解，即曲线y＝与直线y＝x＋b没有交点．故b的取值范围为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
[答案] (－∞，－1)∪(，＋∞)
在争辩直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点的个数时，通常联立直线与曲线的方程，通过方程组解的个数来推断．但是在解决此类问题时，肯定要留意圆或圆锥曲线是否为完整的圆或圆锥曲线，否则应画出图形，利用数形结合法解决，如本例中曲线y＝表示的图形为半圆而不是整个圆，故应接受数形结合的方法求解．
[例12] 若sin x＋sin y＝，则sin y－cos2x的最大值为________．
[尝试解答]
[易错分析] 本题易将sin y－cos2x转化为－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－，误认为sin x∈[－1，1]，致使问题转化不等价而导致解题错误．
[解答] 由已知条件有sin y＝－sin x，
且sin y＝∈[－1,1]，结合sin x∈[－1,1]，得－≤sin x≤1，
而sin y－cos2x＝－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－，
令t＝sin x，
则原式＝t2－t－＝2－，
由于对称轴为t＝，
故当t＝－，即sin x＝－时，原式取得最大值.
[答案]
在利用换元法解决问题时，要留意换元后自变量取值范围的变化，当题目条件中消灭多个变元时，要留意变元之间的相互约束条件，如本例中易忽视等式sin x＋sin y＝中两个变量的相互制约，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必需满足－1≤－sin x≤1这个隐含的约束条件．
问题七
推理论证要严谨
[例13] (2022·徐州模拟)如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面相互垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求证：BF∥平面ACE；
(2)求证：BF⊥BD.
[尝试解答]
[易错分析] 本题易失分的缘由有以下两点：
(1)推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如证明BF∥平面ACE时，易忽视指明BF⊄平面ACE；
(2)线面位置关系的证明思路出错，缺乏转化意识，不知道要证明线线垂直可以通过证明线面垂直达到目的．
[解答] (1)设AC与BD交于O点，连接EO.
在正方形ABCD中，BO＝AB，又由于AB＝EF，
∴BO＝EF.
又∵EF∥BD，
∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，
又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
∴BF∥平面ACE.
(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面相互垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE.
∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO.
∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，依据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解决这类问题时要留意推理严谨，使用定理时要找足条件，书写规范等．
[例14] 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函数y＝ax(a>1)的图象上任意不同两点，依据图象，可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论>a成立．运用类比思想，可知若点C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有____________________成立．
[尝试解答]
[易错分析] 本题通过类比推理，易得“>sin”的错误结论，其错误的缘由是类比推理不严谨，未真正读懂题意，未能把握两曲线之间相像的性质，导致得出错误结论．
[解答] 运用类比推理与数形结合，可知y＝sin x(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段CD的中点的纵坐标总是小于函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上的点的纵坐标，即<sin成立．
[答案] <sin
类比推理是从特殊到特殊的推理，求解有关类比推理题时，应找出两类事物之间的相像性和全都性，用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个正确的命题．类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义．
问题八
运算过程要合理
[例15] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝.
(1)若角C＝，则角A＝________；
(2)若角A＝，则b＝________.
[尝试解答]
[易错分析] 在用正弦定理解三角形时，易消灭丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中又由于没有考虑角C有两解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，这样就消灭了丢解的错误．
[解答] (1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a<c，∴A<C，∴A＝.
(2)由＝，得sin C＝＝，得C＝或.当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，此时得b＝1.
[答案] (1) (2)2或1
已知两边及其中一边的对角解三角形时，留意要对解的状况进行争辩，争辩的依据：一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应推断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．
[例16] 双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
[尝试解答]
[易错分析] 本题简洁因忽视特殊状况而出错．由于当点P在右顶点处，∠F1PF2＝π，所以0<∠F1PF2≤π.假如忽视特殊状况，就会消灭0<∠F1PF2<π的错误．
[解答]
如图所示，设|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，当点P在右顶点处时，θ＝π.
由条件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝＝＝. 又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．
[答案] (1,3]
本题在求解中稍不留意，就会消灭漏掉特殊状况的错误．在平常的训练中应当加强对解题的监控，留意多争辩问题的各种状况，以形成全面思考，周密答题的良好习惯．这对考生来说，是格外重要的．
[题型专练卷(一)]
一、选择题
1．(2022·济南模拟)已知集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(1－x)}，则A∩B为( )
A．(－∞，1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选C 由于A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，所以A∩B＝(0,1)．
2．已知复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A．|z|＝ B．z2≥0
C．|z－|＝2 D．z·＝5
解析：选D |z|＝＝，故A不正确；z2＝1＋4i2＋4i＝4i－3，不能和0比较大小，故B不正确；由于＝1－2i，|z－|＝4，故C不正确；z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故D正确．
3．(2022·潍坊模拟)已知命题p、q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由p为假命题可得p∧q为假命题，反之，p∧q为假命题，p未必为假命题，所以是充分不必要条件．
4．已知实数a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．b>a>c
解析：选D 明显易知b>a，又c＝5－＝<，a＝log32>log3＝，所以b>a>c.
5.
已知一个简洁几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不行能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B 对于①，俯视图是长方形是可能的，即此几何体为一个长方体，满足题意；对于②，由于正视图中的长与宽不相等，侧视图是正方形，可知此几何体不是正方体，故俯视图不行能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不相等，可知此几何体不是圆柱，故俯视图不行能是圆；对于④，假如此几何体是一个上、下底面均为椭圆的柱体，满足正视图中的长与侧视图中的长不相等，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不行能的图形．故选B.
6．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝( )
A. B．1
C．4 D．3
解析：选B 由于|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝22＋8·|b|·cos 60°＋4|b|2＝(2)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.故选B.
7．(2022·烟台模拟)已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为( )
A．－1 B．1
C．－1或1 D．－1或－
解析：选C 由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.
8．(2022·郑州模拟)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y＝2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是( )
A．f(x)＝2sin x B．f(x)＝2cos x
C．f(x)＝cos 2x D．f(x)＝sin 2x
解析：选D 由题意可知f(x)＝2sin2－1＝－cos＝sin 2x，选D.
9.
函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是( )
A B C D
解析：选C 由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝logf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知选C.
10．(2022·南昌模拟)已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e＝( )
A. B. C. D.
解析：选A 由题意可知∠F1PF2＝90°，不妨设|PF1|＝2，则由tan∠PF2F1＝2，得|PF2|＝1，从而|F1F2|＝＝，所以离心率e＝＝＝.
11．函数f(x)＝x3－bx2＋1有且仅有两个不同零点，则b的值为( )
A. B. C. D．不能确定
解析：选C f′(x)＝3x2－2bx＝x(3x－2b)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，由于f(0)＝1≠0，所以f＝0，解得b＝.
12．(2022·杭州模拟)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－6] B．[－6,0]
C．(－∞，－1] D．[－1,0]
解析：选B 在同始终角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1只有一个解得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6,0]．
二、填空题
13．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为________．
解析：执行程序框图可得：i＝1，S＝－1；i＝2，S＝3；i＝3，S＝－6；i＝4，S＝10；i＝5，程序结束，输出S＝10.
答案：10
14．(2022·长沙模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．
解析：由于甲＝＝20，所以乙＝≥20，得m≥23，m有23,24,25,26,27,28,29，共7种可能，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为.
答案：
15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，则角A的大小为________．
解析：由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sin A·sin C，故sin Asin C＝，cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C＝cos Acos C－，即cos Acos C－＝－，cos Acos C＝0，故cos A＝0或cos C＝0，可知A＝或.
答案：或
16．(2022·广州模拟)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 014＝________.
解析：a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，…，数列{an}是周期为3的周期数列，∴S2 014＝S2 013＋a2 014＝671×＋1＝－.
答案：－
[题型专练卷(二)]
一、选择题
1．(2022·广州模拟)已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为( )
A．－2 B．±2
C．± D．2
解析：选A ∵(m＋i)2＝3－4i，∴(m2－1)＋2mi＝3－4i，∴∴m＝－2.
2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{－1} D．{0,1}
解析：选B 由题意得B＝，故A∩B＝{1}．
3．(2022·南昌模拟)命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则x<－1或x>1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x<－1或x>1，则x2>1
D．若x≤－1或x≥1，则x2≥1
解析：选D 由逆否命题的定义可得，命题的逆否命题为：若x≤－1或x≥1，则x2≥1.
4．执行如图所示的程序框图，当输入n＝7时，输出的结果是( )
A．84 B．35 C．10 D．1
解析：选A 第一次循环后：m＝1，s＝1，i＝3；其次次循环后：m＝9，s＝10，i＝5；第三次循环后：m＝25，s＝35，i＝7；第四次循环后：m＝49，s＝84，i＝9，此时i>n，结束．故输出s＝84.
5．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切，则圆O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4
解析：选A 依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B.
C. D．2π
解析：选B 该几何体是一个组合体，左侧是一个底面半径为1，高为2的圆锥的一半，右侧是一个底面半径为1，高为3的圆柱的一半，故组合体的体积为××π×2＋×π×1×3＝.
7．(2022·新乡模拟)在样本频率分布直方图中，共有五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为( )
A．100 B．120 C．150 D．200
解析：选A 由频率分布直方图的性质可得a1＋a2＋…＋a5＝1，即5a3＝5×(3a1)＝1，得a1＝，所以小长方形面积的最大值为5a1＝，又由于样本容量为300，所以小长方形面积最大的一组的频数等于×300＝100.
8．(2022·青岛模拟)如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝( )
A．3 B．4
C．5 D．不能确定
9．函数y＝x2ex的图象大致为( )
解析：选A 由于y′＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex，所以当x<－2或x>0时，y′>0，函数y＝x2ex为增函数；当－2<x<0时，y′<0，函数y＝x2ex为减函数，排解B，C，又y＝x2ex>0，所以排解D，选择A.
10．(2022·武汉模拟)三棱锥S ABC的全部顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为( )
A.π B.π C．3π D．12π
解析：选C 由于SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以SA⊥AB，由于BC⊥AB，SA＝AB＝BC＝1，所以可将S ABC视为正方体的一部分，球心O在体对角线SC上，设球O的半径为R，则(2R)2＝1＋1＋1，R＝，球O的表面积为4π2＝3π.
11．(2022·陕西质检)已知点P为抛物线x2＝12y的焦点，A，B是双曲线3x2－y2＝12的两个顶点，则△APB的面积为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
解析：选C 依题意有P(0,3)，A(－2,0)，B(2,0)，故|OP|＝3，|AB|＝4，所以S△APB＝·|AB|·|OP|＝×4×3＝6.
12．(2022·沈阳模拟)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B 依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0.当x>0时，g′(x)＝x·>0，g(x)是增函数，g(x)>0；当x<0时，g′(x)＝x<0，g(x)是减函数，g(x)>0.在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是1，选B.
二、填空题
13．(2022·郑州二模)若sin＝，则cos＝________.
解析：＋＝，故cos＝cos＝sin＝.
答案：
14．已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝y＋x取得最小值，则k＝________.
解析：由题意可知，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，即△ABC的边界及其内部，kx＋y－4＝0表示过定点(0,4)的直线，由于可行域中有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝y＋x取得最小值，所以最优降落在了直线kx＋y－4＝0上，且该直线与直线y＋x＝0平行，故k＝1.
答案：1
15．(2022·北京模拟)观看下列不等式：
<，
＋<，
＋＋<，
＋＋＋<，
…，
则第n个不等式为____________．
解析：由于不等式的右侧是一个分式，其中＝，＝＝，＝，…，故不等式的右侧依次构成数列；不等式的左侧是一些分式的和，其中＝，＝，＝，…，故不等式的左侧是数列的前n项和．故第n个不等式为＋＋＋＋…＋<.
答案：＋＋＋＋…＋<
16．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
答案：－2 2n－1－
犹如前面所讲，高考是选拔性的考试，送分题不会太多，保分题才是我们得分的主阵地．此类问题主要是指解答题，它们的特点是：对基础学问考查较多，计算相对简单，使用的数学思想方法相对深化等．它们主要分六块：三角函数(或与平面对量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面对量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发觉考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上状况，我们总结出一套体现解数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式的“答题模板”．这样，在解决高考解答题时，就可以依据肯定的解题程序和答题格式，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
模板一 三角函数的图象与性质
[例1] (2022·福建高考)(13分)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解题流程]
[规范解答]
f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.⇒4分
(1)由于0＜α＜，sin α＝，所以α＝，⇒6分
从而f(α)＝sin＝sin＝.⇒8分
(2)T＝＝π.⇒9分
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.⇒12分
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.⇒13分,
[解题模板]
第1步：三角函数式的化简，一般将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx
＋φ)＋b的形式．如本例中将f(x)化为f(x)＝sin；
↓
第2步：确定角α的大小；
↓
第3步：将α代入求f(α)的值；
↓
第4步：由T＝求最小正周期；
↓
第5步：确定单调递增区间；
↓
第6步：明确规范地写出答案．
[反思领悟] 查看关键点、易错点及解题规范，如本例中f(x)的解析式化简是否正确；单调区间是否求解正确．
模板二 解 三 角 形
[例2] (2022·浙江高考)(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
[解题流程]
[规范解答]
(1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，⇒2分
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，⇒3分
sin＝sin.⇒4分
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，⇒5分
即A＋B＝，⇒6分
所以C＝.⇒7分
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.⇒9分
由a<c，得A<C，从而cos A＝，⇒10分
故sin B＝sin(A＋C
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