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提能专训(二) 数形结合思想
一、选择题
1．(2022·锦州质检)设全集U＝R，A＝，B＝{x|2x<2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
[答案] B
[解析] A＝＝{x|0<x<2}，B＝{x|2x<2}＝{x|x<1}，则题图中阴影部分表示的集合为A∩∁RB＝{x|0<x<2}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x＜2}．
2．(2022·唐山二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] B
[解析] 由题图知，T＝2＝，∴ω＝＝3，∴f(x)＝sin(3x＋φ)，代入点，得sin ＝0，则可取φ＝－.∴f(x)＝sin ，∴f＝sin ＝sin ＝－.
3．(2022·临沂4月质检)当a>0时，函数f(x)＝(x2－ax)ex的图象大致是( )
[答案] B
[解析] f(x)＝(x2－ax)ex，∵ex>0，∴当x∈(0，a)时，f(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f(x)>0，且增长很快．当x∈(－∞，0)时，f(x)>0，由于ex的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.
4．(2022·郑州质检二)设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4] C．[，2] D．[2,4]
[答案] B
[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
5．(2022·云南统检)已知圆M经过双曲线S：－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为( )
A.或 B.或 C. D.
[答案] D
[解析] 依题意可设圆心M的坐标为(x0，y0)．若圆M经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F与右顶点A为例，由|MA|＝|MF|知，x0＝＝4，代入双曲线方程可得y0＝±，故M到双曲线S的中心的距离|MO|＝＝.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.
6．(2022·衡水一模)设x，y满足约束条件
若目标函数z＝ax＋by(a，b>0)的最大值是12，则a2＋b2的最小值是( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 作出可行域可得，z＝ax＋by在x－y＋2＝0与3x－y－6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a＋6b＝12.化简，得2a＋3b＝6，又∵(a2＋b2)(22＋32)≥(2a＋3b)2，则a2＋b2≥.
7．对于图象Γ上的任意点M，存在点N，使得·＝0，则称图象Γ为“美丽 图象”．下列函数的图象为“美丽 图象”的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝log3(x－2)
C．y＝ D．y＝cos x
[答案] D
[解析] 在y＝2x＋1图象上取点M(0,2)，由于y＝2x＋1>0，所以在y＝2x＋1图象上不存在点N，使·＝0，排解A；在y＝log3(x－2)图象上取点M(3,0)，由于x>2，所以在y＝log3(x－2)图象不存在点N，使·＝0，排解B；在y＝图象上取点M(1,2)，在y＝图象上不存在点N，使·＝0，排解C.故选D.
8．过顶点在原点、焦点在x轴正半轴上的抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|BF|＝2|AF|＝6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
[答案] A
[解析] 如图，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，分别过A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C，D，分别过点A，F作AM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，依据抛物线定义知|AC|＝|AF|＝3，|BD|＝|BF|＝6，所以|BM|＝3，|BN|＝6－p.易知△AMB∽△FNB，故＝，即＝，解得p＝4，故抛物线C的方程为y2＝8x，故选A.
9．(2022·唐山期末)f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
[答案] B
[解析] 令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
10．(2022·安阳调研)设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y＝kx＋k(k>0)与函数f(x)的图象恰好有3个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 画出函数f(x)＝
g(x)＝k(x＋1)(k>0)的图象，
若直线y＝kx＋k(k>0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：kPB≤k＜kPA，
∵kPA＝＝，kPB＝＝，
∴≤k＜，故选B.
11．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件则称f(x)为闭函数：①f(x)是D上的单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．现已知f(x)＝＋k为闭函数，则k的取值范围是( )
A. B．(－∞，1)
C. D．(－1，＋∞)
[答案] A
[解析] 如图，函数的定义域为x∈－，＋∞，明显在定义域上函数f(x)单调递增，依题可知，在x∈上，方程x－k＝有两个不同的解，结合图象易得实数k的取值范围为－1<k≤－.
12．(原创题)已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝tan 2x}，C＝A∩B，则集合C的子集个数为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
[答案] D
[解析] 集合A表示圆心为(0,0)，半径为且在x轴上方的半圆(包括与x轴的两个交点)，由于函数y＝tan 2x的周期为，画出函数y＝与y＝tan 2x的图象(如图所示)，由图知，函数y＝与y＝tan 2x的图象有4个交点．由于C＝A∩B，所以集合C有四个元素，故集合C的子集个数为24＝16.故选D.
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 由题意知，当且仅当圆x2＋y2＝4的圆心到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1时，圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，此时有d＝<1，解得c∈(－13,13)．
14．(2022·山西四校联考)已知f(x)＝g(x)＝f(x)－－b有且仅有一个零点时，b的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]∪∪[1，＋∞)
[解析] 要使函数g(x)＝f(x)－－b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图象与函数y＝＋b的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b≥1或b＝或b≤0.
15．(2022·温州十校联考)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y且x＋y＝1，函数f(m)＝|－m|的最小值为，则||的最小值为________．
[答案]
[解析] 如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，记＝－m，则当N在D处，即AD⊥BC时，f(m)取得最小值，因此||＝，简洁得到∠ACB＝120°.
∵＝x＋y且x＋y＝1，∴O在边AB上，∴当CO⊥AB时，||最小，||min＝.
三、解答题
16．(2022·浙江抽测)已知抛物线C：y＝x2.过点M(1,2)的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P.
(1)若直线l的斜率为1，求|AB|的值；
(2)求△PAB的面积的最小值．
解：(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的方程为y＝x＋1，由消去y解得，x1＝，x2＝.
所以|AB|＝＝.
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋2，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y整理得，
x2－kx＋k－2＝0，
x1＋x2＝k，x1x2＝k－2，
又y′＝(x2)′＝2x，所以抛物线y＝x2在点A，B处的切线方程分别为y＝2x1x－x，y＝2x2x－x.
得两切线的交点P.所以点P到直线l的距离d＝.
又|AB|＝
＝·.
设△PAB的面积为S，所以S＝|AB|·d＝()3≥2(当k＝2时取得等号)．
所以△PAB面积的最小值为2.
17．(2022·皖南八校二联)已知函数f(x)＝ax＋1＋，其中a∈R.
(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝a＋＝，
又∀x>0，f′(x)≥0，
∴ax2－ln x＋1≥0，∀x>0，
∴a≥，令h(x)＝，
则h′(x)＝＝＝0有根：x0＝e，
x∈(0，x0)，h′(x)>0，函数h(x)单调增；
x∈(x0，＋∞)，h′(x)<0，函数h(x)单调减；
∴a≥h(x)max＝h(x0)＝；
故实数a的取值范围是.
(2)由题g(x)＝xf(x)＝ax2＋x＋ln x＝0，即a＝有唯一正实数根，
令φ(x)＝，即函数y＝a与函数y＝φ(x)有唯一交点，
φ′(x)＝
＝.
再令R(x)＝x－1＋2ln x，R′(x)＝1＋>0，∀x>0，R(x)为增函数，且易得R(1)＝0.
∴当x∈(0,1)时，R(x)<0，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，R(x)>0，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增．
即φ(x)≥φ(1)＝－1，
又当x→0时，φ(x)→＋∞，
而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，
故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0或a＝－1}．
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