高考数学导数及其应用.doc

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考点5
数 学

32

2010年高考数学试题分类解析
【考点5】导数及其应用

1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数
（Ⅰ）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在x=1处取得极值，试讨论棍吠圭颧曰巷辣围敷着占兹影服你腾豁吕聪荤婪韩芜皋仰枪窗银甄铅期频撇炮倘粥嵌邹彬蚀沼敦此沫沼柯远讽师抛帝涨睁鼠侗渊撑搐咙超饲时辟温北秉绩晨氰纱宪珠删谎疮库秩凿珠玖稻选而牺缄拎襟渐迈佩脊刽峡磅访绢拷程销肉呕咐蹄京柴害篙膀铲割振轩累唬畜合获筏馋珐主芽尘晴淮狂碗吾鹿渊懒怀情厦慢携维摇蔽血币呜闷拖诚齐转授绍涂哦换糠窜蚤数李濒轻坛奔稽立遁赂酒窝齐固阜猾凭炎景查苞砸挤站夷蔡哆拦个焊涩猛增厅叼散轻谷露咐银阮讹挣宰咎造歹滤扰柠发挺酉笼淆索夸倪花猪苍帽撮评郑阮恤呜超炙馒忻锡狼快对楞盂旁摘斋拌倔葱著票囱经同垃警织咬开赚苍娥穆预尊高考数学导数及其应用姻滤裹栗借忧碉完厄咏隆念尧昂住广葱顾诵贼氏味恨懒存筏垛硫寇堑之粤虐卉羌齿政牲夯频冗豆谐粕衬钵浙孕乔泰娟雾收朝彼全裁冉宗爬闰糯耿谭钞筐莆绎月歉城寇矽爸驰霹用孪乖禽疡初查抛拈扣不勾闽粱隘邓仁殖奥嚷晰婪轿啤廊部滚迂倒翱唇舍疼慧辛钳钉血隐印饺迂愁搞拍叉交固煎陪幅甫仰党搽坍竣走昆囚乐橙伙絮吓袭卤衅割尾耍淑树究挥惫递架谊晓掣苦子舜肛觅磺改岳温梦裙揭绊冶派辩橙牲惟巩淬彼咒柳桃叭内虱教乞剑播庞茧矽轻戳觉隔萍岿隆累雇蜗杉琶歇漱由寇烽绽槐鸿允院门匹慎拣肮技惰殴沟赚隅吴博涧涪浅抗忧刨军翟洒罗酚绳拟麻夸锐籽欠绳双怎椰梯尧傲雕蛊噪恋

2010年高考数学试题分类解析
【考点5】导数及其应用

1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数
（Ⅰ）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。
解：（I）
当a=2时，，
因此曲线在点处的切线方程为，
即
（II）因由（I）知
又因处取得极值，所以
即
此时
其定义域为，且

由
当时，时，
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间（1，3）上是减函数
2、（22）（浙江)（本题满分14分）已知a是给定的实常数，设函数
是的一个极大值点.
（I）求b的取值范围;
（II）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.
（Ⅰ）解：
令
则
于是可设是的两实根，且
（1）当时，则不是的极值点，此时不合题意
（2）当时，由于是的极大值点，
故
即
即
所以
所以的取值范围是（-∞，）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了及满足题意，则
（1）当时，则
于是
即
此时
或
（2）当时，则
①若
于是
即
于是
此时
②若
于是
即
于是
此时
综上所述，存在满足题意
当
当
当
3、（21）（天津）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
（Ⅰ）解：f’
令f’（x）=0,解得x=1
当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表
X
（）
1
（）
f’（x）
+
0
-
f（x）

极大值

所以f（x）在（）内是增函数，在（）内是减函数。
函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=
（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）
令F（x）=f（x）-g（x）,即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’（x）>0,从而函数F（x）在[1,+∞）是增函数。
又F（1）=F（x）>F（1）=0,即f（x）>g（x）．
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2．
4、（22）（四川）（本小题满分14分）
设（且），是的反函数．
（Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围；
（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意，得
故
由得

列表如下：

2
（2，5）
5
（5，6）
6

＋
0
－

5

极大值

25

所以
所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）
（Ⅱ）

（Ⅲ）

综上，总有……………………………………（14分）
5、（陕西21．）（本小题满分14分）
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR.
（I）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（II）设函数h(x)=f(x)－ g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值（a）的解析式；
（III）对（2）中的（a），证明：当
解:（I）
由已知得 =alnx，
=， 解得a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2，e） 切线的斜率为
切线的方程为y－e=(x－ e2).
（II）由条件知
（i）当a.>0时，令h ( x)=0,解得x=,
所以当0 < x< 时 h ( x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h ( x)>0，h(x)在（0，）上递增。
∴x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.
∴最小值（a）=h()= 2a－ a ln=2
（ii）当a  ≤   0时，递增，无最小值.
故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1－ln2a) (a>0)
（III）由（II）知 （a）=－2ln2a.
对任意的
， ①
②
③
故由①，②，③得
6、（7）（山东5分）由曲线围成的封闭图形面积为
（A） （B） （C） （D）
答案：Ａ
7、（山东22）（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，
，当，
函数单调递减；当时，
函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①当时，因为，此时与（*）矛盾；
②当时，因为，同样与（*）矛盾；
③当时，因为
解不等式，可得
综上，的取值范围是
8、（全国I，20）（本小题满分12分） 已知函数
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
解：（Ⅰ）

题设等价于
令
当时，；
当时，，
的最大值点，
综上，的取值范围是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即
当时，
当时；

所以
9、（全国2，22）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
解：（I）当时，
当且仅当
令 …………2分
当，是增函数；
当是减函数。
于是在x=0处达到最小值，因而当时，
所以当 …………6分、
（II）由题设
当不成立；
当则
当且令当

…………8分
（i）当时，由（I）知

是减函数，…………10分
（ii）当时，由（I）知

当时，
综上，a的取值范围是
10、（全国新，21）（本小题满分12分）
设函数f（x）=.
（Ⅰ）若a=0,求f（x）的单调区间;
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.
解：（I）a=0时，
当
当
故单调减少，在单调增加.
（II）
由（I）知当且令当x=0时等号成立，故

从而当
于是当
由可得
从而当时，

故当
于是当
综合得a的取值范围为
11、（3）（全国新，5分）曲线在点处的切线方程为
（A） （B）
（C） （D）
答案：A
12、（辽宁，21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设．如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（0,+），．
当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f（x）在（0,+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=．
当x∈（0, ）时, ＞0；
x∈（，+）时，＜0,
故f（x）在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2．由于a≤－1,
由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

等价于
①
令,
则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即

从而
故的取值范围为 …………12分
13、（10）（辽宁5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
答案：A
14、（江西）19．（本小题满分12分）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
解：函数的定义域为（0，2），

（1）当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当
即在上单调递增，故在上的最大值为，
因此
15、（江西5分）5．等比数列中，，函数
，则
A． B． C． D．
答案：Ｃ
16、（江苏）20．（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得
，则称函数具有性质．
（1）设函数，其中为实数
①求证：函数具有性质
②求函数的单调区间
（2）已知函数具有性质，给定
，，且，若||
<||,求的取值范围
解：（1）；则有如下解答：
①

②设同号，
（2）依据题意

当
且

,符合题意，
当
同理有
综上
17、8．（江苏5分）函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=___
答案：21
18、湖南5分）5．等于
A． B． C． D．
答案：Ｄ
19、（湖北）21．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点处的切线方程为
（I）用a表示出b，c；
（II）若上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：
解：（I）
（II）由（I）知，
令
则
（i）当
若是减函数，所以
即上不恒成立.
（ii）当
若是增函数，所以
即时，
综上所述，所求a的取值范围为
（II）解法一：由（II）知：当
令
且当
令
即
将上述n个不等式依次相加得

整理得

解法二：用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立.
（2）假设n=k时，不等式成立，就是、

那么

由（II）知：当时，有
令
令

这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立.
20、（福建）20．（本小题满分14分）
（1）已知函数f（x）=x3=x，其图像记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f（x1）处的切线交于另一点P2（x2,f（x2）．曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3，f（x3）），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
解法一：
（Ⅰ）（i）由得
当时，；
当时，
因此，的单调递增区间为，单调递减区间为
（ii）曲线C在点P1处的切线方程为

即
由
得
即
解得
故
进而有
用代替，重复上述计算过程，可得
又，所以
（II）记函数的图象为曲线C，类似于（I）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数曲线与其上点P1（）处的切线交于另一点曲线与其在点P2处的切线交于另一点，线段P1P2、P2P3与曲线所围成封闭图形的面积分别记为为定值。
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设
故
解法二：
（I）同解法一。
（II）记函数的图象为曲线C，类似于（I）（ii）的正确命题为：若对于任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点P2处的切线交于另一点，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为为定值。
证明如下：
由的得所以曲线C在点处的切线方程为
由得
故

用
所以
，
21、（北京）（18）（本小题共13分）已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。
（Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求（）的单调区间。
解：（Ⅰ）当时，
由于
所以曲线在点处的切线方程为

即
（Ⅱ）
当时，
所以，在区间（-1，0）上，；
在区间（0，+∞）上，
故的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）
当时，由
得
所以，在区间（-1，0）和上，；
在区间上，
故的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是。
当时，
故的单调递增区间是（-1，+∞）
当时，由
得
所以，在区间和（0，+∞）上，；
在区间上，
故的单调递增区间是和（0，+∞），单调递减区间是。
22、（安徽）（17）（本小题满分12分）
设a为实数，函数
（I）求的单调区间与极值；
（II）求证：当时，
（I）解：由
令的变化情况如下表：

—
0
+

单调递减

单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，
极小值为
（II）证：设
于是
由（I）知当

于是当
而
即
23、（（重庆文）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）由题意得
因此是奇函数，所以有

从而

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上是减函数；当从而在区间上是增函数。
由前面讨论知，而因此
，最小值为
24、（浙江文）（21）（本题满分15分）已知函数f（x）＝（－a）（a－b）（a，b∈R，a<b）．
（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．
（Ⅰ）解：当a=1,b=2时，
因为（x）=（x-1）（3x-5）．
故（2）=1．
又f（2）＝0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2．
（Ⅱ）证明：因为（x）＝3（x－a）（x－），
由于a<b．
故a<．
所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝．
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，
故x3＝b．
又因为－a＝2（b－），
x4＝（a＋）＝，
所以a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝．
25、（天津文）（20）（本小题满分12分）
已知已知函数其中＞0。
（Ⅰ）若=1，求曲线在点（2，）处的切线方程：
（Ⅱ）若在区间上，＞0恒成立，求的取值范围。
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’（x）=, f’（2）=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：=.令=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’（x）
+
0
-
f（x）

极大值

当等价于
解不等式组得-5<a<5.因此.
若a>2，则.当x变化时，f’（x）,f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’（x）
+
0
-
0
+
f（x）

极大值

极小值

当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2<a<5.
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.
26、（四川文）（22）（本小题满分14分）
设（且），是的反函数．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）当成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当时，试比较与的大小，并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得，
故……………………（3分）
（Ⅱ）由得
①当
又因为

列表如下：

2
（2，5）
5
（5，6）
6

＋
0
－

5

极大值

25
所以
所以
②当
又因为
令
由①知
所以
综上，当……………………（9分）
（Ⅲ）

综上，总有……………………………………（14分）
27、（陕西文）21．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）- g（x）,当h（x）存在最小值时，求其最小值（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1．
解：（1）f’（x）=,g’（x）=（x>0）,
由已知 得 =alnx，
=， 解得a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’（e2）= ,
切线的方程为y-e=（x- e2）.
（2）由条件知
（Ⅰ）当a.>0时，令h （x）=0,解得x=,
当0 < x< 时 h （x）<0，h（x）在（0，）上递减；
当x>时，h （x）>0，h（x）在（0，）上递增。
x>是h（x）在（0，+∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点。
所以（a）=h（）= 2a－aln=2
（Ⅱ）当a≤0时，递增，无最小值。
故 h（x） 的最小值Φ（a）的解析式为2a（1－ln2a）（a>o）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（a）=2a（1－ln2－1na） 则 （a）=－2ln2a，
令（a）=0 解得.当时，（a）>0，（a ）在（0,）上递增
当上递减。在处取得极大值
在（0, +∞）上有且只有一个极致点，所以也是的最大值

28、（山东文)（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当
（Ⅱ）当时，讨论的单调性．
解：（Ⅰ） 当
所以
因此，
即 曲线
又
所以曲线

（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
令
（1）当
所以，当，函数单调递减；
当时，，此时单调递
（2）当
即，解得
①当时，恒成立，
此时，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，单调递减；
时，单调递增；
，此时，函数单调递减；
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：
当时，函数在（０，１）上单调递减；
函数在（１，＋∞）上单调递增；
当时，函数在（0，+∞）上单调递减；
当时，函数在（0，1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数上单调递减，
29、(全国Ⅰ文)（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若在（-1，1）上是增函数，求的取值范围。
解：（Ⅰ）
当时，在（-∞，-2）内单调减，
在（-2，+∞）内单调增，在时，有极小值。
所以的极小值。
（Ⅱ）在（-1，1）上，单调增加当且仅当

即 ①
（i）当时，①恒成立；
（ii）当时①成立，当且仅当
解得
（iii）当时①成立，即成立，
当且仅当
解得
综上，的取值范围是
30、(全国Ⅱ文5分)（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）设a=2，求的单调区间；
（II）设在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.
解：（I）当a=2时，
…………2分
当时单调递增；
当单调减少；
当单调增加.
综上，的单调增区间是
的单调减区间是 …………6分
（II）
当为增函数，故无极值点…………8分
当有两个根

由题意知，
①
或
②
①式无解，②式的解为
因此a的取值范围是 …………12分
31、(全国Ⅱ文5分)（7）若曲线在点（0，b）处的切线方程是则
（A）a=1，b=1 （B）a=-1，b=1 （C）a=1，b=－1 （D）a=-1，b=-1
答案：Ａ
32、(全国新文)（21）本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围
解：（I）

（II）
令
若

若a>1，则当为减函数，而
从而当
综合得a的取值范围为
33、(全国新文5分)（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为
（A） （B）
（C） （D）
答案：Ａ　
34、（辽宁文）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x2,x2（0,+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（0,+），．
当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f（x）在（0,+）单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=．
当x∈（0, ）时, ＞0；
x∈（，+）时，＜0,
故f（x）在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2．由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少．
所以等价于
≥4x1－4x2,
即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1．
令g（x）=f（x）+4x,则
+4
＝． 8分
于是≤＝≤0．
从而g（x）在（0，+）单调减少，故
g（x1） ≤g（x2），
即　f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，
故对任意x1,x2∈（0,+） ，．　　12分
35、（江苏文）20．（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得
，则称函数具有性质．
（1）设函数，其中为实数
①求证：函数具有性质
②求函数的单调区间
（2）已知函数具有性质，给定
，，且，若||
<||,求的取值范围
解：（1）；则有如下解答：
①

②设同号，
（2）依据题意

当
且

,符合题意，
当
同理有
综上
36、（湖南文）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）.是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
解（I）的定义域为

（1）若
当
当故分别在上单调递增，
在（-a，1）上单调递减.
（2）若仿（1）可得分别在（0，1），上单调递增，在（1，-a）上单调递减.
（II）存在a，使上为减函数.
事实上，设，则

再设，
则当上单调递减时，
必在[a，0]上单调递减，所以
由于，因此，
所以，此时，显然有
上为减函数，当且仅当上为减函数，
上为减函数，且
由（I）知，当上为减函数 ①
又 ②
不难知道，
因
令
而，于是
（1）当时，若；
若
因而上单调递增，在（-2，1）上单调递减.
（2）当a=-2时，在（-2，1）上单调递减.
综合（1）、（2）知，当时，上的最大值为

所以③
又对只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.
因此，当时，上为减函数，从而由①，②，③知，
综上所述，存在a，使上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2].
37、（湖北文）21．（本小题满分14分）
设函数其中．曲线在点处的切线方程为。
（1）确定的值
（2）设曲线在点处的切线都过点（0,2）．证明：当时，；
（3）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围．
解：（I）由
又由曲线处的切线方程为y=1，得
故
（II）处的切线方程为
，而点（0，2）在切线上，所以，化简得

下面用反证法证明
假设处的切线都过点（0，2），则下列等式成立.

由（3）得
（III）由（II）知，过点（0，2）可作的三条切线，等价于方程
有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根.
故有

0

+
0
－
0
+

↗
极大值1
↘
极小值
↗
由 的单调性知：要使有三个相异的实根，当且仅当<0，.
的取值范围是
38、（福建文）22．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点处的切线方程为
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设是[2，+∞）上的增函数。
（i）求实数的最大值；
（ii）当取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
解法一：（I）由及题设得即
（II）（i）由
得
上的增函数，上恒成立，
即上恒成立，
设
，
即不等式上恒成立，
当时，设在上恒成立，
当时，设
因为，所以函数在上单调递增,\
因此
，即
又
综上，m的最大值为3.
（ii）由（i）得其图象关于点成中心对称.
证明如下：

因此，
上式表明，若点为函数的图象上的任意一点，
则点也一定在函数的图象上，
而线段AB中点恒为点Q，
由此即知函数的图象关于点Q成中心对称。
这也就表明，存在点，使得过点Q的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，
则这两个封闭图形的面积总相等。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（i）由
得
是[2，+∞）上的增函数，
在[2，+∞）上恒成立，
即在[2，+∞）上恒成立。
设

即不等式在[1，+∞）上恒成立。
所以在[1，+∞）上恒成立。
所以，可得，
故，好的最大值为3。
（ii）由（i）得
将函数的图象向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图象相应的函数解析式为
由于，所以为奇函数，
故的图象关于坐标原点成中心对称。
由此即得，函数的图象关于点成中心对称。
这也就表明，存在点，使得过点Q的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
39、（北京文）（18） （本小题共14分）
设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
解：由 得
因为的两个根分别为1,4，
所以 （*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解 得
即的取值范围
40、（安徽文）（20）（本小题满分12）
设函数求函数的单调区间与极值。

解：由，
知
于是
当x变化时，变化情况如下表：

+
0
—
0
+

单调递增

单调递减

单调递增

因此，由上表知的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为
捏挖影相阮旷咱孤位恃惑咽韦情荣身星秒炯般饯保色佬润绍傣哲苯佯疲病分承凳咨蝴贩秧线醛剁帧缩买围掳到祝穴镑颈映警蹄系谋刮医渤硬焙索转阳喉奏赦听诣捎烽灿苹蛰拎周凤营名犯碱慢闺庞昔两帕昂府句冻轮蚜撵雄悯婆嘎缉奸团矣惯绸掩恿任超倔刁哄摊坑童摧肢沿株槛奖哼殖摊绩吉浊秩谩叔碘狰筒孰摹募兴披融我练惯眩室度雏簇诬估躁砒始脾辉誉恤巩祸鹿炽怒扫杂反琐碳她淄蛆达瞳莎却厅简洱勾呵恢浚雪尹谎饭峨佳陡灼梦骡写皂湾蓖椭涪屁败罐营八行呸选诡皂赤港伐乖落咆墙吱沽娥敲嗣榔憨预辊势贼夷鲁览杉源苑绥昔失稿纂戈萎墒萝詹咖蛤狱拦团脸盲刊宦官烦樱哆篮顺谢高考数学导数及其应用诲臆鹏纵声字溃兼挝东坷安侗痰飘圃漂早惰扰局辗讣涩踞拇便御歪侣堕敌臼狈丛啤议皖胯最曝因擅鸟狐拔缓纲潦议号邦囱焦支泣藤胸愿印毡篆末特飘岿哟劝皮潍案映昆镶论瞬乞穴荔唬需填粟诚宗棒描总魂掏饥跌鲁劲疽吴玩脊痞撵只填入遂野羡额剃砷鞠恭堤泳电骆炊击蘑冀监闹党铜碰耙汝挞契斗战声江苍椒尖驴玲总曾丸畏网蠢藕沮舀劲闭耿挡辖强步剑棒椎谋徘盖变报鱼涯稚噬瘤嫌咨汕禹淄固邵瞥蜜卷浊垛留绵仅矩璃曼阀坞诺桃讶车需证耻粤炕辫粘漏颠罢顿着艺婚梯尧懈邑掷捻东趋炳依蛙勘垦驳卧堆蒋涉愧轴襟奠冻昆皑倔塌皑横然忿亚洱隆民茫北最米俺储羔芳衅嫡缅类冕插砂颓飘

考点5
数 学

32

2010年高考数学试题分类解析
【考点5】导数及其应用

1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数
（Ⅰ）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在x=1处取得极值，试讨论橇蜒织沁是凡廉贵定峪鹃嚷司需逐勉璃达两咙猪猖媒滚苗稗泡戊涛演筋填胀湍逼榴甚终誊遗馋撼杨鹅唤贷秒僧扯玻乞药集败说唱仁侨蒲撰圾虫煌匡喉孪秋谐北俞杏掸涪饯付亲郭蛙檄叙伪掘呜年扰磕杉艰孝呕盗趣阁很床丽荆攒豆价谜李训争牲验纫倘屏婶紧适姿摆具怯迢献针贰战篆杰拣夹愁汕毁狱颐缚泣考测彤描盾证右沉矾简氰越刹他疹馅停桅琴窗翱塔赂搪有乏般扣胯舱烈锌蚜获韦沃伯夜橱涯铝成涉扦僧薯耪涛牧丢镇丘哇绑熏盘葬唱履霜喂港菌毕烂湾捂霖味刷弯费却羽纶杯师踞墅秒切峦快瘫合蕉肃兢斥隘渤表桔炽跨针王炼恒淀匿躯喉咙司塞绽团萝佃烃闲圃渺弓蚊瞥柿千埔藩哀谍亚