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课时提升作业(三十三)
空间几何体的结构
及其三视图和直观图
(45分钟 100分)
一、选择题(每题5分,共40分)
1.布满气的车轮内胎(厚度忽视不计)可由下面某个图形绕旋转轴旋转而成,这个图形是( )
【解析】选C.选项A得到的是空心球;D得到的是球面;B得到的是空心的环状几何体;选项C得到的是车轮内胎.
2.给出下列三个命题:
①各侧面都是全等四边形的棱柱确定是正棱柱;
②各对角面是全等矩形的六面体确定是长方体;
③长方体确定是正四棱柱.
其中正确的命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体.③明显错误,故选A.
3.(2021·杭州模拟)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A.②③④ B.①②③
C.①③④ D.①②④
【解析】选A.①的三个视图都是边长为1的正方形;②的俯视图是圆,正视图、侧视图都是边长为1的正方形;③的俯视图是一个圆,正视图、侧视图是相同的等腰三角形;④的俯视图是边长为1的正方形,正视图、侧视图是相同的矩形.
【方法技巧】由直观图确定三视图的技巧
(1)将几何体放在自己的前面,从正面、左面、上面观看几何体,得到三视图.
(2)画三视图时,看得到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线要画成虚线.
4.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
A.20 B.15 C.12 D.10
【思路点拨】本题主要考查空间想象力气及体对角线的概念,由多面体体对角线的概念可得答案.
【解析】选D.如图,在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,
从顶点A动身的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点动身的对角线也有两条,共2×5=10条.
5.如图所示,几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体,现用一个平面截它,所得截面图形不行能是( )
【解析】选D.以正方体上底面中心与下底面中心连线为轴作出截面,截面绕轴旋转过程中分别毁灭截面A,B,C.
【误区警示】解答本题时常因空间想象力不强而不能想象出具体图形,造成解题错误.平常对空间几何体要多观看,多训练.
6.(2021·金华模拟)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2,以下给出a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.把三视图还原成几何体,a,b,c,d都是表示该正三棱柱的三视图.
【加固训练】如图所示的几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )
【解析】选A.在正视图中,不能看到的是带有一条实线的矩形,故排解B,C,对于A,D,由于侧视图中,在看到的线中,应当有两条实线的投影,因此排解D.
7.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为2,则原梯形的面积为( )
A.2 B.2 C.22 D.4
【解析】选D.直观图为等腰梯形,若上底设为x,高设为y,则S直观图=12y(x+2y+x)=2,而原梯形为直角梯形,其面积为S=12·22y(x+2y+x)=22×2=4.
8.(力气挑战题)(2021·银川模拟)如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不行能正确的是( )
A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台
【解析】选D.依据棱台的定义(侧棱延长之后,必交于一点,即棱台可以还原成棱锥)可知,几何体Ω不是棱台.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.一个简洁几何体的正视图、侧视图如图所示,则下列图形:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.
不行能是其俯视图的有 (填上序号).
【解析】依据画三视图的规章“长对正,高平齐,宽相等”可知,该几何体的俯视图不行能是圆和正方形.
答案:②③
10.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,则圆台的母线长为 cm.
【解析】由圆台上、下底面积之比为1∶16,设圆台上下底面的半径分别为r,4r.圆台的母线长为l,依据相像三角形的性质得=r4r,解得l=9.
答案:9
11.(2022·嘉兴模拟)一个正四棱锥的全部棱长均为2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为 .
【解析】依题意可知,画出正四棱锥的直观图如图,则正视图为一等腰三角形,底边长为2,高等于(3)2-12=2,所以,其面积为12×2×2=2.
答案:2
12.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 .
【解析】如图所示:
由于OE=(2)2-1=1,
所以O′E′=12,E′F=24,
则直观图A′B′C′D′的面积为
S′=12×(1+3)×24=22.
答案:22
【方法技巧】数形结合思想解决直观图问题
(1)由直观图很难发觉所求与已知的关系,当依据直观图画出原来的实际图形时,原图形及数量关系很简洁发觉,体现了数形结合思想的应用.
(2)利用数形结合思想解决直观图问题时,应对斜二测画法的规章娴熟把握.
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
【解析】圆台的轴截面如图.
设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm,延长AA1交OO1的延长线于点S.
在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.
所以SO=AO=3x,OO1=2x.
又12×(6x+2x)×2x=392,解得x=7,
所以圆台的高OO1=14cm,
母线长l=2OO1=142cm,
底面半径分别为7cm和21 cm.
14.如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试推断该几何体是什么几何体.
(2)画出其侧视图,并求该平面图形(侧视图)的面积.
【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.
(2)该几何体的侧视图如图:
其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离,即BC=3a,AD是正棱锥的高,则AD=3a,所以该平面图形(侧视图)的面积为S=12×3a×3a=32a2.
【加固训练】已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示.
(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图.
(2)求出侧视图的面积.
【解析】(1)如图.
(2)依据三视图间的关系可得BC=23,
所以侧视图中VA=42-23×32×232=12=23.
则S△VBC=12×23×23=6.
15.(力气挑战题)某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.
【思路点拨】可将该几何体放在长方体中,且已知长为7的棱为长方体的体对角线来解决.
【解析】如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱,则长方体的体对角线A1C=7,则它的正视图投影长为A1B=6,侧视图投影长为A1D=a,俯视图投影长为A1C1=b,则a2+b2+(6)2=2·(7)2,
即a2+b2=8,
又a+b2≤a2+b22,当且仅当“a=b=2”时等号成立.
所以a+b≤4,即a+b的最大值为4.
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