【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第12章-第1节-几何证明选讲.docx

第十二第十二章章 第一节第一节 一、填空题 1.(2022 湖北黄冈模拟)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上，直线 CA 与圆 O相切于 A，ACB 的平分线分别交 AB，AE 于 D，F 两点，若ACB20，则AFD_.答案 45 解析 由于 AC 为圆的切线，由弦切角定理知BEAC，又由于 CD 平分ACB，则ACDBCD，所以BBCDEACACD，依据三角形外角定理，ADFAFD，由于 BE 是圆 O 的直径，则BAE90，所以ADF 是等腰直角三角形，所以ADFAFD45.2(文)(2022 重庆理)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 依次交圆于 B，C，若 PA6，AC8，BC9，则 AB_.答案 4 解析 如图所示：依据切割线定理，得 PA2PB PC，又由于 PC(PBBC)，且 PA6，BC9，所以 36PB(PB9)，解得 PB3.在PAC 中，依据余弦定理 cosACPAC2PC2AP22AC PC 821226228124348，在ACB 中，依据余弦定理 AB2AC2BC22AC BCcosACB8292289434816，所以 AB4.(理)(2021 广东梅州联考)如图，PAB、PCD 为O 的两条割线，若 PA5，AB7，CD11，AC2，则BD 等于_ 答案 6 解析 设 PCx，则 PDPCCDx11，由割线定理知 PC PDPA PB，x(x11)5(57)60，x0，x4.PC4，PD15.PACPDB，P 为公共角，PACPDB，PAPDACBD，BDAC PDPA21556.3.(2022 陕西咸阳二模)如图，已知ABC 的BAC 的平分线与 BC相交于点 D，ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，若 EB8，EC2，则 ED_.答案 4 解析 依据弦切角定理可得ABCEAC，由于线段 AD 为BAC 的角平分线，所以BADDAC，又ADEABCBAD，则可以得到EDAEAD，即ADE 为等腰三角形，则有 DEAE，在ACE，ABE 中，由于EACABC 且AECAEB，所以CAEABE，则有AEBECEAEAE4，即 DEAE4.4如图，已知 PA 是O 的切线，A 是切点，直线 PO 交O 于 B、C 两点，D 是 OC 的中点，连接 AD并延长交O 于点 E.若 PA2 3，APB30，则 AE_.答案 10 77 解析 PA 是O 的切线，OAPA，在直角三角形 PAO 中，tan30 AOPA33.PA2 3，AOPA332，即圆 O 的半径为 r2，同理 sin30 AOPO12，PO4.D 是 OC 的中点，ODDC1，从而 BDBOOD213，PDPOOD415，在三角形 PAD 中，由余弦定理得：AD2PA2PD22PA PD cos30(2 3)25222 35327，AD 7，再由相交弦定理得：AD DEBD DC，即 7 DE313，DE3 77，AEADDE 73 7710 77.5(文)(2022 广州综合测试一)如图，PC 是圆 O 的切线，切点为点 C，直线 PA 与圆O 交于 A，B 两点，APC 的角平分线交弦 CA，CB 于 D，E 两点，已知 PC3，PB2，则PEPD的值为_ 答案 23 解析 由切割线定理可得 PC2PA PBPAPC2PB92，由于 PC 切圆 O 于点 C，由弦切角定理可知PCBPAD，由于 PD 是APC 的角平分线，则CPEAPD，所以PCEPAD，由相像三角形得PEPDPCPA39223.(理)(2022 广东汕头模拟)如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF与圆 O 交于另一点 G，给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AF AGAD AE；AFBADG.其中正确结论的序号是_ 答案 解析 由题意，依据切线长定理，有 BDBF，CECF，所以 ADAE(ABBD)(ACCE)(ABBF)(ACCF)ABACBC，所以正确；由于 AD，AE 是圆的切线，依据切线长定理，有 ADAE，又由于 AG 是圆的割线，所以依据切割线定理有 AD2AF AGAD AE，所以正确；依据弦切角定理有ADFAGD，又由于 BDBF，所以BDFBFDADF，在AFB 中，ABF2ADF2AGD，所以错误 6如图所示，在ABCD 中，BC24，E、F 为 BD 的三等分点，直线 AE 交 BC 于 M，直线 MF 交 AD 于N，则 BMDN_.答案 6 解析 连 CF 交 AD 于 P，E、F 为 BD 的三等分点，四边形为平行四边形，ABECDF，AEBCFDPFB，AMCP，M 为 BC 的中点，FBMFDN，BFMDFN，BFMDFN，BMDNBFDF2，DN14BC6.二、解答题 7如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合，已知 AE 的长为 m，AC的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214xmn0 的两个根 (1)证明：C，B，D，E 四点共圆；(2)若A90，且 m4，n6，求 C，B，D，E 所在圆的半径 解析(1)连结 DE，依据题意在ADE 和ACB 中，ADABmnAEAC，即ADACAEAB.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以 C，B，D，E 四点共圆(2)m4，n6 时，方程 x214xmn0 的两根为 x12，x212.故 AD2，AB12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连结 DH.由于 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH，由于A90，故 GHAB，HFAC.从而 HFAG5，DF12(122)5.故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.8(2022 哈三中二模)如图，O1与O2相交于 A，B 两点，AB 是O2的直径，过点 A 作O1的切线交O2于点 E，并与 BO1的延长线交于点 P，分别与O1、O2交于 C，D 两点 证明：(1)PA PDPE PC；(2)ADAE.证明(1)由于 PE，PB 分别是O2割线，所以 PA PEPD PB 又 PA，PB 分别是O1的切线和割线，所以 PA2PC PB 由得 PA PDPE PC.(2)连接 AC，DE，设 DE 与 AB 相交于点 F，由于 BC 是O1的直径，所以CAB90，所以 AC 是O2的切线，由(1)得 ACDE，所以 ABDE，所以 ADAE.一、填空题 9(2021 惠州三调)如图，PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 经过圆心 O，OBPB1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60 到 OD，则 PD 的长为_ 答案 7 解析 由图可知，PA2PB PCPB(PBBC)3，PA 3，AOP60，又AOD60，POD120，PO2，OD1，cosPOD2212PD222112，PD 7.10(2022 武汉调研)如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线交于点 P，E 为O 上一点，AE AC，DE 交 AB 于点 F.若 AB4，BP3，则 PF_.答案 215 解析 连接 OE，则易知OEFOFEAOECDEDFBP，OEFP，FOEFDP，PFEFDFOF，即 DF EFOF PF，而 DF EFAF FB，可得 OF PFAF FB.设 FBx，有(2x)(x3)(4x)x，解得 x65，则 PF215.11(文)(2021 广东揭阳一中期中)如图，已知 AB、BC 是O 的两条弦，AOBC，AB2，BC2 3，则O 的半径等于_ 答案 2 解析 设 AO 与 BC 相交于 D，与O 相交于 E，AOBC，AB2，BC2 3，AD1，由相交弦定理知 AD DEBD DC，1(2R1)(3)2，R2.(理)(2022 湖北八市联考)如图，A，B 是圆 O 上的两点，且 OAOB，OA2，C 为 OA 的中点，连接 BC并延长交圆 O 于点 D，则 CD_.答案 3 55 解析 延长 AO 交圆 O 于点 E，留意到 C 为 OA 的中点，则 CE213，CA1，BC 2212 5，由相交弦定理知 CE CABC CD，故 CDCE CABC3153 55.12(2022 陕西宝鸡三模)如图，ABC 是圆 O 的内接三角形，PA 是圆 O 的切线，PB 交 AC 于点 E，交圆O 于点 D，PAPE，PB9，PD1，ABC60，则 EC_.答案 4 解析 PA 是圆 O 的切线，PA2PD PB9，可得 PA3，PAC 是弦切角，夹弧 ADC，PACABC60，在APE 中，PEPA，APE 是正三角形，可得 PEAEPA3，BEPBPE6，DEPEPD2，圆 O 中，弦 AC，BD 相交于 E，BE DEAE CE，可得 623EC，EC4.二、解答题 13(文)(2022 南京、盐城二模)如图，ABC 为圆的内接三角形，ABAC，BD 为圆的弦，且 BDAC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F.(1)求证：四边形 ACBE 为平行四边形；(2)若 AE6，BD5，求线段 CF 的长 解析(1)由于 AE 与圆相切于点 A，所以BAEACB.由于 ABAC，所以ABCACB.所以ABCBAE.所以 AEBC.由于 BDAC，所以四边形 ACBE 为平行四边形(2)由于 AE 与圆相切于点 A，所以 AE2EB(EBBD)，即 62EB(EB5)，解得 BE4.依据(1)有 ACBE4，BCAE6.设 CFx，由 BDAC，得ACBDCFBF，即45x6x，解得 x83，即 CF83.(理)(2022 吉林长春三调)如图，圆 M 与圆 N 交于 A、B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆N 于 C，D 两点，延长 DB 交圆 M 于点 E，延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC5，BD10.(1)求 AB 的长；(2)求CFDE.解析(1)依据弦切角定理，知BACBDA，ACBDAB，ABCDBA，则ABDBBCBA，故 AB2BC BD50，AB5 2.(2)依据切割线定理，知 CA2CB CF，DA2DB DE，两式相除，得CA2DA2CBDBCFDE(*)由ABCDBA，得ACDAABDB5 21022，CA2DA212，又CBDB51012，由(*)得CFDE1.14(文)(2021 黑龙江哈尔滨六校联考)如图，已知四边形 ABCD 内接于O，且 AB 是O 的直径，过点 D的O 的切线与 BA 的延长线交于点 M.(1)若 MD6，MB12，求 AB 的长；(2)若 AMAD，求DCB 的大小 解析(1)由于 MD 为O 的切线，由切割线定理知，MD2MA MB.又 MD6，MB12，MBMAAB，所以 MA3，AB1239.(2)由于 AMAD，所以AMDADM，连接 DB，又 MD 为O 的切线，由弦切角定理知，ADMABD，又由于 AB 是O 的直径，所以ADB 为直角，即BAD90 ABD.又BADAMDADM2ABD，于是 90 ABD2ABD，所以ABD30.所以BAD60.又四边形 ABCD 是圆内接四边形，所以BADDCB180.所以DCB120.(理)(2021 石家庄模拟)如图，过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD，分别交圆 O 于点 A、B，C、D，弦 AD 和 BC 交于点 Q，割线 PEF 经过点 Q 交圆 O 于点 E、F，点 M 在 EF 上，且BADBMF.(1)求证：PA PBPM PQ；(2)求证：BMDBOD.证明(1)BADBMF，A、Q、M、B 四点共圆，PA PBPM PQ.(2)PA PBPC PD，PC PDPM PQ，又CPQMPD，CPQMPD，PCQPMD，则BCDDMF，BADBCD，BMDBMFDMF2BAD，又BOD2BAD，BMDBOD.15(2022 东北三校一模)如图，PA，PB 是圆 O 的两条切线，A，B 是切点，C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点，直线 PC 交圆 O 于另一点 D，Q 在弦 CD 上，且DAQ PBC.求证：(1)BDADBCAC；(2)ADQDBQ.解析(1)连结 AB.由于PBCPDB，BPCDPB，所以PBCPDB，所以BDBCPDPB.同理ADACPDPA.又由于 PAPB，所以BDBCADAC，即BDADBCAC.(2)由于BACPBCDAQ，ABCADQ，所以ABCADQ，即BCACDQAQ.故BDADDQAQ.又由于DAQPBCBDQ，所以ADQDBQ.16(2021 内蒙古赤峰市统考)如图，已知O 和M 相交于 A、B 两点，AD 为M 的直径，直线 BD 交O 于点 C，点 G 为 BD 的中点，连接 AG 分别交O、BD 于点 E、F，连接 CE.(1)求证：AG EFCE GD；(2)求证：GFAGEF2CE2.解析(1)连接 AB，AC，AD 为M 的直径，AGD90，AC 为O 的直径，CEF90，DFGCFE，ECFGDF，G 为 BD 的中点，DAGGDF，ECFEFCGDFDFG，ECFGDF，DAGECF，CEFAGD，CEEFAGGD，AG EFCE GD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，DFGADG，DG2AG GF，由(1)知EF2CE2GD2AG2，GFAGGF AGAG2DG2AG2EF2CE2.