资源描述
连城一中2021届数学（文）试卷围题卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ） 出题人：谢云兰 审题人：陈长江
留意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，其中为球的半径
参考公式：
样本数据，，，的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式其中为底面面积，为高
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).
1．设集合<2}，集合<，则中所含整数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设复数 若为纯虚数,则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个学校高一、高二、高三同学数之比为5:2:3,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从高三同学中抽取的人数是（ ）
A． 20 B．40 C． 60 D. 80
输出T
开 始
T=1,n=1
结束缚
n9?
否
n=n+1
是
T=T+n+1
5．函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A．1 B．2 C．0 D.
6．已知是的零点，则还满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当x=时,ymax=2;
当x=时，,ymin=-2.那么函数的解析式为 ( )
A．y=2sin(2x+) B． y=2sin(-) C．y=2sin(2x+) D．y=2sin(2x-)
8．已知，则按如图所示的框图运算输出的值对应的项是（ ）
A． . B． C． D．
9．已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CFBD，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．29 C．37 D．49
11．正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为( )
A．3 B． C．1 D．
12已知抛物线，点A（1，0）B（-1，0），点M在抛物线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).
13.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝
则＋＝______．
14.已知>0）的部分图像如图所示，且
，则的值是
15.已知大事“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=____
16.设是已知的平面对量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求在[]上的最大值和最小值.
(Ⅱ) 若在[-]上不单调，求的取值范围。
18.设为数列{}的前项和,已知2,N
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.
19.学校为了解同学的数学学习状况，在全校高一班级同学中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
宠爱数学
不宠爱数学
合计
男生
60
20
80
女生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)依据表中数据，问是否有95%的把握认为“男生和女生在宠爱数学方面有差异”；
(2)在被调查的女生中抽出5名，其中2名宠爱数学，现在从这5名同学中随机抽取3人，求至多有1人宠爱数学的概率．
其不意附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
20.如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求证PA‖面BDG;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求 的值.
21.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点,
求|MN|的最小值.
22.设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
连城一中2021届数学（文）试卷
参考答案
1-12：CBACBDACCACA 13. 14. 15. 16.2
17.解：(Ⅰ) =. ………3分
.
.
所以,在上的最大值和最小值分别为. ………………………6分
(Ⅱ)解得………………………9分
在[]单调递增，
在[-]上不单调， >………………………12分
18.解: (Ⅰ) ………………………1分
………………………4分
………………………6分
(Ⅱ)
………………………8分
上式左右错位相减:
……………10分
. ………………………12分
19.解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈4.762. ………………………4分
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“男生和女生在宠爱数学方面有差异” ………………6分
(2)从5名女生中任取3人的一切可能结果所组成的基本大事空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，
其中ai表示宠爱数学的同学，i＝1，2，bj表示不宠爱数学的同学，j＝1，2，3.
Ω由10个基本大事组成，且这些基本大事的毁灭是等可能的．………………………9分
用A表示“3人中至多有1人宠爱数学”这一大事，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
大事A由7个基本大事组成，因而P(A)＝.………………………12分
20. 解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,
且,
所以,又由于; ………………………4分
(Ⅱ)设,由(1)知 O为AC中点，则OG‖PA，
又PA面BDG，OG面BDG PA‖面BDG ………………………8分
(Ⅲ)由已知得到:,由于,
在中,,设
………………12分
21. 解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,
所以抛物线方程是: ; ………………………4分
(Ⅱ)设,所以所以的方程是:,
由,同理由
所以①…………6分
设,由,
且, ………………………8分
代入①得到: , ………………………9分
设,
① 当时
,所以此时的最小值是;………10分
② 当时,
,………11分
所以此时的最小值是,此时,;
综上所述:的最小值是; ………………………12分
22.解：(1)f′ (x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′ (1)＝0，解得b＝1，………………………3分
(2)f (x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f (x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．………………………5分
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f (1)<，即－1<，
解得－－1<a<－1. ………………………8分
(ii)若<a<1，则>1，
故当x∈时，f′ (x)<0；
当x∈时，f′ (x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f (x0)<的充要条件为f <.
而f ＝aln＋＋>，所以不合题意．………………………11分
(iii)若a>1, 则f (1)＝－1＝<，符合题意．………………………13分
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．………………………14分
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