2022届数学(文科)高考总复习-课时提升作业(八)-2.5对数函数.docx

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课时提升作业(八)
对 数 函 数
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
【解析】选C.要使有意义,需满足x+1>0且x-1≠0,得x>-1且x≠1.
2.(2021·沈阳模拟)函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点(　　)
A.(1,2) B.(2,2)
C.(2,3) D.(4,4)
【解析】选B.由函数图象的平移公式,我们可得:
将函数y=logax(a>0,a≠1)的图象向右平移一个单位,再向上平移2个单位,
即可得到函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象.
又由于函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,0),
由平移向量公式,易得函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点(2,2).
故选B.
3.已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c
【解析】选B.a=log23+log2=log23>log22=1,b=log29-log2=log23= a>1,c=log32<log33=1,所以a=b>c.
4.函数y=lg的大致图象为　(　　)

【解析】选D.由于y=lg在(0,+∞)上单调递减且为偶函数,其关于y轴对称,则y=lg的图象是由y=lg的图象向左平移一个单位长度得到的.
5.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,)
C.(,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选C.由于loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,
所以0<a<1,所以a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,
所以解得<a<1.
【误区警示】本题易忽视loga2a<0这一条件,而误选A.
【加固训练】(2021·南京模拟)若log2a<0,则a的取值范围是　　　　.
【解析】当2a>1时,由于log2a<0=log2a1,
所以<1.由于1+a>0,所以1+a2<1+a,
所以a2-a<0,所以0<a<1,所以<a<1.
当0<2a<1时,由于log2a<0=log2a1,
所以>1.
由于1+a>0,所以1+a2>1+a.
所以a2-a>0,所以a<0或a>1,此时不合题意.
综上所述,a∈(,1).
答案:(,1)
6.(2021·金华模拟)已知函数f(x)=lg,若f(a)=,则f(-a)=(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
【解析】选D.由>0得-1<x<1,
又f(-x)+f(x)=lg+lg=lg 1=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,
所以f(-a)=-f(a)=-,选D.
【易错警示】忽视对数的真数的限制条件而致误
(1)思考简洁,直接把f(a)=代入函数式求a.
(2)推断函数奇偶性,仅用f(-x)=±f(x),而忽视定义域即真数>0.
7.(2021·西城模拟)已知函数f(x)=logm(2-x)+1(m>0,且m≠1)的图象恒过点P,且点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,那么ab的(　　)
A.最大值为 B.最小值为
C.最大值为 D.最小值为
【解析】选A.当2-x=1,即x=1时,y=f(1)=logm(2-1)+1=1,
所以函数f(x)的图象恒过点P(1,1).
又点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,
所以a+b=1,所以ab≤()2=,
当且仅当a=b=时,“=”成立.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2021·成都模拟)已知函数f(x)=则f(log27)的值为　　　　.
【解析】f(log27)=f(log27-1)=f(log2)
=f(log2)==.
答案:
9.(2021·上饶模拟)函数y=的值域是　　　　.
【解析】令u=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,
又y=在[8,+∞)上为减函数,
所以y≤=-3.
答案:(-∞,-3]
10.(2021·济南模拟)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为　　　　.
【解析】由已知得f(m)+f(2n)
=log2(m-2)+log2(2n-2)=log22(m-2)(n-1),
又f(m)+f(2n)=3,
所以log22(m-2)(n-1)=3,即2(m-2)(n-1)=23=8,因此(m-2)(n-1)=4,
所以m+n=(m-2)+(n-1)+3
≥2+3=2×2+3=7,
当且仅当m-2=n-1=2,即m=4,n=3时取等号.
答案:7
(20分钟　40分)
1.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=(　　)
A.1 B. C.-1 D.-
【解析】选C.由f(x-2)=f(x+2),得f(x)=f(x+4),由于4<log220<5,所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log2)
=-()=-1.
2.(5分)(2022·浙江高考)在同始终角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0), g(x)=logax(x>0)的图象可能是(　　)

【解题提示】依据对数函数、幂函数的图象与性质逐项分析.
【解析】选D.A项中y=xa(x≥0)的图象错误,不符合;B项中y=xa(x≥0)中a>1,y=logax(x>0)中0<a<1,不符合;C项中y=xa(x≥0)中0<a<1,y=logax(x>0)中a>1,不符合;D项中y=xa(x≥0)中0<a<1,y=logax(x>0)中0<a<1,符合,故选D.
3.(5分)(2021·长沙模拟)设方程2x+x-3=0的根为α,方程log2x+x-3=0的根为β,则α+β的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.6
【解析】选C.将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3,如图所示,可知α是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标;β是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,所以A,B两点也关于直线y=x对称,所以A(α,β),B(β,α).留意到A(α,β)在直线y=-x+3上,所以有β=-α+3,即α+β=3.
4.(12分)(2021·大连模拟)已知函数f(x)=log3的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值.
【解析】由y=f(x)=log3,得3y=,即(3y-m)x2-8x+3y-n=0,
由于x∈R,所以Δ=64-4(3y-m)(3y-n)≥0,即32y-(m+n)×3y+mn-16≤0,由0≤y≤2,得1≤3y≤9,由根与系数的关系得解得m=n=5.
5.(13分)(力气挑战题)已知函数f(x)=loga是奇函数,(其中a>1)
(1)求实数m的值.
(2)争辩函数f(x)的增减性.
(3)当x∈(n,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求n与a的值.
【解题提示】(1)由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)恒成立,求出m的值,再由对数的真数大于0得出m.
(2)由a>1,利用单调性的定义判定它的单调性并进行证明.
(3)由x∈(n,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),依据函数的单调性确定出n与a的方程,解出n与a的值.
【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以
所以
即1-m2x2=1-x2对一切x∈D(D为定义域)都成立,所以m2=1,m=±1,由于>0,所以m=-1.
所以f(x)=loga,D=(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)当a>1时,f(x)=loga,任取x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=

由于x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,
所以
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减;
又由于f(x)是奇函数,
所以f(x)在(-∞,-1)上也单调递减.
(3)当a>1时,要使f(x)的值域是(1,+∞),
则loga>1,所以>a,即>0,
而a>1,上式化为<0,又f(x)=loga
=loga(1+),所以当x>1时,f(x)>0;当x<-1时,f(x)<0;
因而,欲使f(x)的值域是(1,+∞),必需x>1,所以对上述不等式,当且仅当1<x<时成立,所以解得a=+3,n=1.
【加固训练】(2021·青岛模拟)已知函数f(x)=为偶函数.
(1)求实数a的值.
(2)记集合E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ=lg22+lg 2lg 5+lg 5-,推断λ与E的关系.
(3)当x∈[](m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
【解析】(1)由于f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),
所以
所以2(a+1)x=0,由于x∈R且x≠0,所以a=-1.
(2)由(1)可知:f(x)=,
当x=±1时,f(x)=0;当x=2时,f(x)=,
所以E={0,}.
由于λ=lg22+lg 2lg 5+lg 5-=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-=lg 2+lg 5-=
lg 10-=,所以λ∈E.
(3)由于f(x)=,x∈[],
所以f′(x)= >0,
所以f(x)在[]上单调递增.
所以所以
所以m,n为x2-3x+1=0的两个根,
又由题意可知:,且m>0,n>0,所以m>n.
所以
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