2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-5-第2讲-不等式的证明.docx

第2讲不等式的证明1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：假如a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：假如a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)假如a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(i1，2，n)为实数，则(a)(b)(aibi)2，当且仅当(当ai0时，商定bi0，i1，2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等(参阅本书第六章相应内容),同学用书P224)_利用基本不等式证明不等式_设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明由于a，b，c为正实数，由均值不等式可得3，即，当且仅当，即abc时，等号成立，所以abcabc.而abc22，当且仅当abc，即abc时，等号成立，所以abc2.规律方法利用基本不等式必需要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个出名不等式的特征，留意检验等号成立的条件，特殊是多次使用基本不等式时，必需使等号同时成立1.设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，求证4.证明：由是3a与3b的等比中项得3a3b3，即ab1.要证原不等式成立，只需证4，即证2.a0，b0，22(当且仅当，即ab时，取“”号)，4._放缩法证明不等式_(2021洛阳模拟)有小于1的n(n2)个正数x1，x2，x3，xn，且x1x2x3xn1.求证：4.证明0xi，其中i1，2，3，n，n.，n，n2224，4.规律方法放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头2.设n是正整数，求证：n(k1，2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，0，比较(1)2与(1)2的大小解：(1)2(1)2(1)(1)(1)(1)4.x0，0，40，(1)22，求证：2和2中至少有一个成立证明：假设2和0且y0，所以1x2y，且1y2x.两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知条件xy2冲突，因此2和.证明：要证，只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0，即证abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20，即证abc2abm(abc)m20.由于a，b，c分别是ABC的三边长，故有abc.m0，(abc)m20，abc2abm(abc)m20是成立的，因此成立4已知a0，b0，c0，abc.求证：.证明：a0，b0，.而函数f(x)1在(0，)上递增，且abc，c0，f(ab)f(c)，则，所以，则原不等式成立5(2022高考课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.6(2021贵州省六校第一次联考)已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明：(1)ab1，a0，b0，2224448(当且仅当ab时，等号成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.1(2021高考新课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac； (2)1. 证明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)由于b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.2(2021河北唐山模拟)设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.3(2022高考辽宁卷)设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x0，即(x3y3)(x2yxy2)0，x3y3x2yxy2.(2)依据柯西不等式有()2(111)2(121212)()2()2()233(xyz)33618，3.又|a1|恒成立，|a1|3，a13或a13，即a31或a13，a的取值范围是(，1313，)