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第六章 静电场
学案26 电荷及其守恒定律 库仑定律
一、概念规律题组
1．关于元电荷的理解，下列说法正确的是( )
A．元电荷就是电子
B．元电荷是表示跟电子所带电荷量相等的电荷量
C．元电荷就是质子
D．物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍
2．下面关于点电荷的说法正确的是( )
A．只有体积很小的带电体才可看做点电荷
B．只有做平动的带电体才可看做点电荷
C．只有带电荷量很少的带电体才可看做点电荷
D．点电荷所带电荷量可多可少
3．关于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体
B．依据F＝k，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
C．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D．库仑定律和万有引力定律的表达式相像，都是平方反比定律
二、思想方法题组
4．有三个完全一样的金属小球A、B、C，A带电荷量＋7Q、B带电荷量－Q、C不带电，将A、B分别固定起来，然后让C球反复很多次与A、B球接触，最终移去C球，则A、B球间的库仑力变为原来的( )
A．35/8倍 B．7/4倍
C．4/7倍 D．无法确定
图1
5．如图1所示，带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，OA＝OB，都用长L的丝线悬挂在O点．静止时A、B相距为d.为使平衡时AB间距离减为，可接受以下哪些方法( )
A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍
B．将小球B的质量增加到原来的8倍
C．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍
一、点电荷和库仑定律
1．如何理解电荷量、元电荷、点电荷和摸索电荷？
(1)电荷量是物体带电的多少，电荷量只能是元电荷的整数倍．
(2)元电荷不是电子，也不是质子，而是最小的电荷量，电子和质子带有最小的电荷量，即e＝1.6×10－19 C.
(3)点电荷要求“线度远小于争辩范围的空间尺度”，是一种抱负化的模型，对其带电荷量无限制．
(4)摸索电荷要求放入电场后对原来的电场不产生影响，且要求在其占据的空间内场强“相同”，故其应为带电荷量“足够小”的点电荷．
2．库仑定律的理解和应用
(1)适用条件
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的状况，可以直接应用公式．
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
(2)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体打算，且同种电荷相互排斥，为斥力；异种电荷相互吸引，为引力．
【例1】 (2011·海南·3)三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
[规范思维]
图2
【例2】 (2010·启东模拟)如图2所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离L为球半径的3倍．若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的确定值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为( )
A．F引＝G，F库＝k B．F引≠G，F库≠k
C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k
[规范思维]
二、库仑力作用下的平衡问题
1．分析库仑力作用下的平衡问题的思路
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体平衡的方法是一样的，学会把电学问题力学化．分析方法是：
(1)确定争辩对象．假如有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”，一般是先整体后隔离．
(2)对争辩对象进行受力分析．
有些点电荷如电子、质子等可不考虑重力，而尘埃、液滴等一般需考虑重力．
(3)列平衡方程(F合＝0或Fx＝0，Fy＝0)或用平衡条件推论分析．
2．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必需大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同始终线上；
“两同夹异”——正负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
图3
【例3】 (2010·金陵中学模拟)如图3所示，电荷量为Q1、Q2的两个正电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以L为直径的光滑绝缘上半圆环上，穿着一个带电小球q(可视为点电荷)在P点平衡，若不计小球的重力，那么PA与AB的夹角α与Q1、Q2的关系满足( )
A．tan2 α＝ B．tan2 α＝
C．tan3 α＝ D．tan3 α＝
[规范思维]
[针对训练1] (2009·浙江理综·16)如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q＞0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l.已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为( )
图4
A．l＋ B．l－
C．l－ D．l－
图5
【例4】 如图5所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，问：C应带什么性质的电？应放于何处？所带电荷量为多少？
[规范思维]
图6
[针对训练2] 如图6所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电小球a、b，左边放一个带正电的固定球＋Q时，两悬球都保持竖直方向．下面说法中正确的是( )
A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小
C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小
三、库仑力与牛顿定律相结合的问题
图7
【例5】 一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性能很好，管内部有两个完全一样的弹性金属小球A和B(如图7)，分别带电荷量＋9Q和－Q.两球从图中位置由静止释放，问两球再次经过图中位置时，A球的瞬时加速度为释放时的几倍？
[规范思维]
[针对训练3]
图8
光滑绝缘的水平面上固定着三个带电小球A、B、C，它们的质量均为m，间距均为r，A、B带等量正电荷q，现对C球施一水平力F的同时，将三个小球都放开，如图8所示，欲使得三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：
(1)C球的电性和电荷量；
(2)力F及小球的加速度a.
【基础演练】
1．关于点电荷的概念，下列说法正确的是( )
A．当两个带电体的外形对它们之间相互作用力的影响可以忽视时，这两个带电体就可以看做点电荷
B．只有体积很小的带电体才能看做点电荷
C．体积很大的带电体确定不能看做点电荷
D．对于任何带电球体，总可以把它看做电荷全部集中在球心的点电荷
2．M和N是两个不带电的物体，它们相互摩擦后M带正电1.6×10－10 C，下列推断正确的有( )
A．在摩擦前M和N的内部没有任何电荷
B．摩擦的过程中电子从M转移到N
C．N在摩擦后确定带负电1.6×10－10 C
D．M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子
3．下面各图A球系在绝缘细线的下端，B球固定在绝缘平面上，它们带电的种类以及位置已在图中标出．A球能保持静止的是( )
4.
图9
如图9所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在M、N间放一带电小球b，则b应(a、b两小球均可看成点电荷)( )
A．带负电，放在A点
B．带正电，放在B点
C．带负电，放在C点
D．带正电，放在C点
5．(2010·辽宁沈阳二测)如图10所示，点电荷＋3Q与＋Q分别固定在A、B两点，C、D两点将AB连线三等分．现使一个带负电的摸索电荷，从C点开头以某一初速度向右运动，不计摸索电荷的重力．则关于该电荷在CD之间的运动，下列说法中可能正确的是( )
图10
A．始终做减速运动，且加速度渐渐变小
B．做先减速后加速的运动
C．始终做加速运动，且加速度渐渐变小
D．做先加速后减速的运动
图11
6．(2010·广东模拟)如图11所示，三个小球a、b、c分别用三根绝缘细线悬挂在同一点O，细线的长度关系为Oa＝Ob<Oc，让三球带电后它们能静止在图中位置．此时细线Oc沿竖直方向，a、b、c连线恰构成一等边三角形，则下列说法正确的是( )
A．a、b、c三球质量确定相等
B．a、b、c三球所带电荷量确定相等
C．细线Oa、Ob所受拉力大小相等
D．a、b、c三球所受静电力大小确定相等
7．在光滑绝缘的水平面上，相距确定的距离放有两个质量分别为m和2m的带电小球(可视为质点)A和B.在t1＝0时，同时将两球无初速释放，此时A球的加速度大小为a；经一段时间后，在t2＝t时，B球的加速度大小也变为a.若释放后两球在运动过程中并未接触，且所带电荷量都保持不变，则下列推断正确的是( )
A．两个小球带的是同种电荷
B．两个小球带的是异种电荷
C．t2时刻两小球间的距离是t1时刻的倍
D．t2时刻两小球间的距离是t1时刻的倍
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
【力气提升】
图12
8．如图12所示，A、B是系在绝缘细线两端，带有等量同种电荷的小球，其中mA＝0.1 kg，细线总长为20 cm.现将绝缘细线绕过固定于O点的光滑定滑轮，将两球悬挂起来，两球平衡时，OA的线长等于OB的线长，A球依靠在光滑绝缘竖直墙上，B球悬线OB偏离竖直方向60°，求B球的质量和墙所受A球的压力．(g取10 m/s2)
9.
图13
如图13所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m，电荷量均为＋Q的物体A和B(A、B均可视为质点)，它们之间的距离为r，与水平面间的动摩擦因数均为μ.求：
(1)A受到的静摩擦力；
(2)假如将A的电荷量增至＋4Q，则两物体将开头运动．当它们的加速度第一次为零时，A、B同时运动了多远的距离？
10.
图14
如图14所示，一光滑绝缘导轨，与水平方向成45°角，两个质量均为m、电荷量均为Q的带同种电荷的小球从等高处由静止沿导轨下滑(导轨足够长)．求：
(1)两个小球间距离为何值时，两球速度达到最大值？
(2)以后小球做何种形式的运动？
11.
图15
如图15所示，在光滑绝缘的水平面上沿始终线等距离排列三个小球A、B、C，三球质量均为m，相距均为L.若小球均带电，且qA＝＋10q，qB＝＋q，为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球，使三者一起向右匀加速运动．求：
(1)F的大小；
(2)C球的电性和电荷量．
学案26 电荷及其守恒定律 库仑定律
【课前双基回扣】
1．BD
2．D [能否将一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否无需考虑它的体积大小和外形，即它的体积大小和外形可不予考虑时就可以将其看成点电荷，至于它的电荷量就可多可少．]
3．D
4．C [C与A、B反复接触后，最终结果是A、B原先所带的总和，最终在三个小球间均分，最终A、B两球的电荷量为＝2Q.A、B原先有引力：F＝k＝k＝7k；A、B最终的斥力F′＝k＝4k，所以F′＝F，A、B间的库仑力减小到原来的.]
5．BD [对B球，依据共点力平衡可知，＝，而F＝k，可知d＝，故选B、D.]
思维提升
1．元电荷是自然界中最小的电荷量；而点电荷是一种抱负化的物理模型，二者的物理意义完全不同．并且点电荷所带电荷量确定为元电荷的整数倍．
2．三种起电方式的本质是相同的，都是电子的转移．移出电子的物体带正电；移入电子的物体带负电．在电子移动中，电荷总量不会转变，即电荷是守恒的．
3．实际带电体在距离较近时，不能被看做点电荷，即库仑定律不再适用．
4．电荷平分的条件是相互接触的导体球必需完全相同，由于电荷的分布与导体的大小、外形等有关系．
【核心考点突破】
例1 D [依据库仑定律，球3未与球1、球2接触前，球1、2间的库仑力F＝k，三个金属小球相同，接触后电量均分，球3与球2接触后，球2和球3的带电量q2＝q3＝，球3再与球1接触后，球1的带电量q1＝＝，此时1、2间的作用力F′＝k＝k，由题意知F′＝F，即n＝，解得n＝6.故D正确．]
[规范思维] 本题解题关键是明确两完全相同的金属球接触后将平分电荷．
例2 D [由于a、b两球所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布较密集，又L＝3r，不满足Lr的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律，故F库≠k.此时两个电荷间的实际距离L′＜L，所以F库＞k.万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然不满足Lr，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看作质量集中于球心的质点，可以应用万有引力定律，故F引＝G.故D项正确．]
[规范思维] (1)万有引力定律适用于质点间的相互作用，而均匀球体可看做质点．(2)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，两相距较近的球体不能被看做电荷量集中于球心的点电荷，由于两球体相距较近时，电荷将重新分布．
例3 D
[小球的受力状况如图所示，FAP、FBP为库仑力，FN为环对球的弹力，依据矢量三角形：tan α＝
由库仑定律得：FAP＝，FBP＝
由几何关系得：tan α＝
联立解得：tan3 α＝，D正确．]
[规范思维] 本题实质上是三力平衡问题
画出物体受力的矢量三角形，再借助几何学问，问题即迎刃而解．
例4 负电 A的左边0.2 m处且与AB在一条直线上
－Q
解析 依据平衡条件推断，C应带负电，放在A的左边且和AB在一条直线上．设C带电荷量为q，与A点相距为x，则以A为争辩对象，由平衡条件：
k＝k①
以C为争辩对象，则
k＝k②
解①②得x＝r＝0.2 m，q＝－Q
故C应带负电，放在A的左边0.2 m处，且与AB在一条直线上，带电荷量为－Q.
[规范思维] 三个点电荷都平衡的规律：三个点电荷确定满足：(1)在同始终线上；(2)两同夹一异；(3)两大夹一小．
例5
解析 释放后A、B吸引、相碰，相碰后电荷中和一部分后重新支配，对于本题中两个小球完全相同，电荷应均匀支配，即A、B两球相碰后均带电4Q.对于A球，释放时受库仑力F1＝k.
再次经过图示位置时受库仑力F2＝.
依据牛顿其次定律有：F1＝ma1 F2＝ma2
故＝＝.
即A球瞬时加速度为释放时的倍．
[规范思维] 通过此题进一步体会力学规律和方法在电场中的应用：①明确争辩对象；②分析受力状况；③列牛顿其次定律方程(或平衡方程或动能定理等)．
[针对训练]
1．C 2.B
3．(1)负 2q (2)3kq2/r2
解析 设取A、B、C系统为争辩对象，
由牛顿其次定律有：F＝3ma.以A为争辩对象，画出其受力图如右图所示，A球受到B球的库仑斥力F1和C球的库仑力F2后，要产生水平向右的加速度，故F2必为引力，所以C球带负电荷，又由库仑定律得：
F1＝k，F2＝k，
分解F2得：
解得：qC＝2q，ma＝，a＝
所以F＝.
【课时效果检测】
1．A 2.BC 3.AD 4.C 5.AB
6．C [以小球c为争辩对象，受到4个力的作用，重力，方向竖直向下，Oc绳的拉力，方向竖直向上，a球对c球的静电力Fac和b球对c球的静电力Fbc，由于小球c处于平衡状态，所以Fac和Fbc的合力必沿竖直方向，由于a、b、c构成一等边三角形，所以Fac＝Fbc.分别对a、b两球进行受力分析，依据力的正交分解、物体的平衡条件和牛顿第三定律易得，细线Oa、Ob所受拉力大小相等，C正确；a、b、c三球的质量、带电荷量没有要求，可能相等，也可能不相等，A、B错误；若三球的带电荷量不相等，三球所受的静电力也不相等，D错误．]
7．BD
8．0.2 kg 1.732 N，方向水平向左
解析 对A进行受力分析，如图所示，由平衡条件得
FT－mAg－Fsin 30°＝0①
Fcos 30°－FN＝0②
对B受力分析如图所示，由平衡条件得
FT＝F③
F＝mBg④
由①②③④式得mB＝0.2 kg
FN＝1.732 N，由牛顿第三定律，墙所受A球压力大小
FN′＝FN＝1.732 N，方向水平向左．
9．(1)k 方向水平向右(或指向B) (2) －
解析 (1)物体A静止时，受力如右图所示，依据库仑定律：
F＝k
由物体的平衡条件：F－Ff＝0
A受到的静摩擦力：Ff＝k，方向水平向右(或指向B)．
(2)设物体A、B的加速度第一次为零时，A、B间的距离为r′，如下图所示，Ff＝μmg
由牛顿其次定律得：k－Ff＝0
解得r′＝
由题意可知A、B运动的距离为x＝＝ －
10．(1)Q (2)振动
解析 如右图所示，小球A受力与B受力对称，对B受力分析，开头时Fcos 45°＜mgsin 45°，小球A、B分别沿斜面加速下滑，当Fcos 45°＝mgsin 45°时，A、B两球速度达到最大．这以后由于F增大，两球做减速运动，当速度减为零后又沿斜面对上加速运动．
故：(1)由Fcos 45°＝mgsin 45°，
所以F＝mg，而F＝k.所以r＝Q .
(2)以两小球相距r＝Q 的两点为平衡位置各自沿导轨来回运动，即振动．
11．(1) (2)带负电 q
解析 因A、B为同种电荷，A球受到B球的库仑力向左，要使A向右匀加速运动，则A球必需受到C球施加的向右的库仑力，即C球带负电．设加速度为a，由牛顿其次定律有：
对A、B、C三球整体，有F＝3ma
对A球，有k－k＝ma
对B球，有k＋k＝ma
解得：qC＝q(负电)，F＝.
易错点评
1．在电荷平分问题中，要留意两带电体的电性．同种电荷接触，直接将总电荷量平分；导种电荷接触，先中和，再将剩余电荷量平分．
2．库仑力是与距离相关的力，当两带电体间距离转变时，库仑力也随之转变，解题中应特殊留意这一点．
3．库仑力与其它力一样，其合成与分解遵循平行四边形定则．
4．利用库仑定律处理非对称带电体间作用时，往往用割补的思想等效为对称后再解答．
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