2021高考数学(文)一轮知能检测：第4章-第2节-平面向量基本定理及坐标表示.docx

其次节　平面对量基本定理及坐标表示
[全盘巩固]
1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：选D　依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)．∵a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.
2．(2022·朝阳模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B. C. D．1
解析：选A　∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y (x＋y＝1)．
∵N为AM中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
3．(2022·西安模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1
解析：选C　若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
4．(2022·嘉兴模拟)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2)
解析：选D　由题意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．
设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则
a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)．
故解得即坐标为(0,2)．
5．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．很多多个
解析：选C　设P(x，y)，由点P在直线AB上，且||＝2||，得＝2，或＝－2，而＝(2,2)，＝(x－2，y)，故(2,2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，此时点P的坐标为(3,1)；或(2,2)＝－2(x－2，y)，解得x＝1，y＝－1，此时点P的坐标为(1,－1)．
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－ 6)
解析：选D　设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
7．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在其次象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
解析：由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，则tan 150°＝，
即－＝－，故λ＝1.
答案：1
8．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以推断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)
9. (2022·金华模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

解析：由于＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k) ＋，k为实数，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
答案：
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
解得k＝λ＝－，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
11．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1) ＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－；
若P在其次象限，则
∴－<t<－.
(2)∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若OABP为平行四边形，则＝.
∵无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形．
12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
∴得
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，k＝－.
(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由题意得
得或故d＝(3，－1)或(5,3)．
[冲击名校]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　m∥n⇒(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得 sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A⇒sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝.
2．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
解析：选A　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴
解得∴C(3,3)．
又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
[高频滚动]
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D　∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
2.如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

解析：连接AO，则＝(＋)＝＋，
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2