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课时提升作业(七)
指 数 函 数
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.等于( )
A.- B. C. D.
【解析】选A.由已知可得a≤0,所以原式=
2. y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象确定过点 ( )
A.(1,1) B.(1,3) C.(2,0) D.(4,0)
【解析】选B.由x-1=0,解得x=1,此时y=1+2=3,即函数的图象过定点(1,3).
3.(2021·阜阳模拟)设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.c>a>b
C.a>b>c D.b>a>c
【解析】选C.b=2.50=1,c=()2.5=2-2.5,
则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.
【方法技巧】比较指数幂大小的技巧
(1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小.
(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.
4.(2021·洛阳模拟)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是
( )
【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1,
易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),-1,32.又|f(x)|≥0,故选B.
【误区警示】本题易误选A或D,毁灭错误的缘由是误以为y=|f(x)|是偶函数.
5.当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的范围是( )
A.(1,)
B.(,1)
C.(,1)∪(1,)
D.(0,1)∪(1,)
【解析】选C.x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),
若a>1,y=ax是一个增函数,
则有a2<2,可得a<,故有1<a<;
若0<a<1,y=ax是一个减函数,
则有a-2<2,可得a>,故有<a<1.
综上知a∈(,1)∪(1,).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·枣庄模拟)若am<an(0<a<1),则m与n的大小关系为 .(填m>n,m<n,m≥n或m≤n)
【解析】由于0<a<1,am<an,所以m>n.
答案:m>n
7.(2021·龙岩模拟)已知f(x)=x,x≥0,12x,x<0,若f(x)≥2,则x的取值范围是 .
【解析】由题意得x≥0,x≥2或x<0,12x≥2,
解得x≥4或x≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[4,+∞)
8.(2021·天津模拟)函数y=14x-12x+1在x∈[-3,2]上的值域是 .
【解析】由于x∈[-3,2],若令t=12x,则t∈14,8.则y=t2-t+1=t-122+34.
当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.
答案:34,57
【误区警示】忽视换元后新元的取值范围致误,解决本题在令t=12x,易忽视t的范围,误认为t∈R或t∈[-3,2],从而结果毁灭错误.
【加固训练】函数y=19x+13x+1的值域是 .
【解析】函数y=19x+13x+1=13x2+13x+1,
令t=13x,则y=t2+t+1=t+122+34,
由t=13x,知t>0,
由于函数y=t+122+34在(0,+∞)上为增函数,
所以y>1,即函数的值域为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2022·上海高考)设常数a≥0,函数f(x)=依据a的不同取值,争辩函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.
【解析】若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)对任意x均成立,所以,
整理可得a(2x-2-x)=0,
由于2x-2-x不恒为0,所以a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;
若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x均成立,所以,
整理可得a2-1=0,所以a=±1,
由于a>0,所以a=1,
此时f(x)=,x≠0,满足条件;
综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数.
10.已知函数f(x)=
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,
在(-2,+∞)上单调递减,
而y=在R上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,
在(-2,+∞)上单调递增,
即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞),
递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=,
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
所以当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
【加固训练】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
【解析】令t=ax(a>0且a≠1),
则原函数化为y=(t+1)2-2(t>0).
(1)当0<a<1时,x∈[-1,1],t=ax∈[a,],
此时f(t)在[a,]上为增函数.
所以f(t)max=f()=(+1)2-2=14.
所以(+1)2=16,所以a=-或a=.
又由于0<a<1,所以a=.
(2)当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈[,a],
此时f(t)在[,a]上是增函数.
所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,
解得a=3(a=-5舍去).综上得a=或3.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·淮北模拟)函数y=(0<a<1)的图象的大致外形是( )
【解析】选D.由于y==且0<a<1,所以结合选项知,选D.
2.(5分)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( )
A.f()<f()<f()
B.f()<f()<f()
C.f()<f()<f()
D.f()<f()<f()
【解题提示】依据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f(),f()转化为[1,+∞)上的函数值.
【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).
所以f()=f(),f()=f().
又由于f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,
所以f()>f()>f().
即f()>f()>f().
【方法技巧】比较函数值大小的方法
(1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调整到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.
(2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.
3.(5分)(2021·南平模拟)函数y=ax+3-2(a>0且a≠1)的图象恒过点A,且点A在直线mx+ny+1=0(m>0, n>0)上,则1m+3n的最小值为( )
A.12 B.10 C.8 D.14
【解析】选A.由指数函数的性质知,A(-3,-1),所以-3m-n+1=0,即3m+n=1,
1m+3n=1m+3n(3m+n)=6+nm+9mn≥6+29=12,
当且仅当nm=9mn,即m=16,n=12时,“=”成立,
故1m+3n的最小值是12.
4.(12分)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域.
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,x∈[-3,0],则t∈[,1].
故y=2t2-t-1=2(t-)2-,t∈[,1],故值域为[-,0].
(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0.
【一题多解】本题还有以下解法:
方程2am2-m-1=0可化为a=,所以a的范围即为函数g(m)= 在(0,+∞)上的值域,所以a>0.
5.(13分)(力气挑战题)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,f(x)=3x3x+1.
(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式.
(2)推断f(x)在(0,2)上的单调性,并赐予证明.
(3)当λ为何值时,方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解?
【解析】(1)当-2<x<0时,0<-x<2,f(-x)=3-x3-x+1=13x+1,
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=-13x+1,
当x=0时,由f(-0)=-f(0)⇒f(0)=0,由于f(x)有最小正周期4,
所以f(-2)=f (-2+4)=f(2)⇒f(-2)=f(2)=0.
综上,
f(x)=3x3x+1,0<x<2,0,x∈{-2,0,2},-13x+1,-2<x<0.
(2)设0<x1<x2<2,
则3x1-3x2<0,(3x1+1)(3x2+1)>0,
f(x1)-f(x2)=1-13x1+1-1+13x2+1
=3x1-3x2(3x1+1)(3x2+1)<0,
所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,2)上为增函数.
(3)由题意即求函数f(x)在[-2,2]上的值域.
当x∈(0,2)时,由(2)知,f(x)在(0,2)上为增函数,
所以12<f(x)<910,
当x∈(-2,0)时,0<-x<2,
所以f(x)=-f(-x)∈-910,-12,
当x∈{-2,0,2}时,f(x)=0,
所以f(x)的值域为-910,-12∪{0}∪12,910,
故λ∈-910,-12∪{0}∪12,910时方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解.
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