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带电粒子在复合场中的运动
(限时：60分钟)
1．如图1所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面对里，电场线平行于y轴，一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，M、N之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
图1
(1)电场强度E的大小和方向；
(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；
(3)小球从A点运动到N点的时间t.
答案 (1)，方向竖直向上 (2) (3)＋
解析 (1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，有：qE＝mg，则E＝，电场强度方向竖直向上．
(2)小球做匀速圆周运动，设半径为r，
由几何关系知：sin θ＝
设小球做圆周运动的速率为v，有：qvB＝m
由速度的合成与分解得：cos θ＝
得：v0＝.
(3)设小球到M点的竖直分速度为vy，
vy＝v0tan θ＝gt1
t1＝
在磁场中运动时间为：t2＝·＝
运动总时间为：t＝t1＋t2＝＋.
2．如图2，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，板高h＝9 m，与板上端等高处水平线上有一P点，P点离挡板的距离x＝3 m．板的左侧以及板上端与P点的连线上方存在匀强磁场和匀强电场．磁场方向垂直纸面对里，磁感应强度B＝1 T；比荷大小＝1.0 C/kg可视为质点的小球从挡板下端处小孔以不同的速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最终都能经过位置P，g＝10 m/s2，求：
图2
(1)电场强度的大小与方向；
(2)小球不与挡板相碰运动到P的时间；
(3)要使小球运动到P点时间最长应以多大的速度射入．
答案 (1)10 N/C，方向竖直向下 (2)π＋arcsin (s)
(3)3.75 m/s
解析 (1)由题意可知，小球带负电，因小球做匀速圆周运动，有：Eq＝mg
得：E＝＝10 N/C，方向竖直向下
(2)小球不与挡板相碰直接到达P点轨迹如图：
有：(h－R)2＋x2＝R2得：R＝5 m
设PO与挡板的夹角为θ，则sin θ＝＝
小球做圆周运动的周期T＝
设小球做圆周运动所经过圆弧的圆心角为α，则t＝
运动时间t＝＝π＋arcsin (s)．
(3)因速度方向与半径垂直，圆心必在挡板上，
设小球与挡板碰撞n次，有R≤
又R≥x，n只能取0,1.
n＝0时，(2)问不符合题意
n＝1时，有(3R－h)2＋x2＝R2
解得：R1＝3 m，R2＝3.75 m
轨迹如图，半径为R2时运动时间最长
洛伦兹力供应向心力：qvB＝m
得：v＝3.75 m/s.
3．如图3甲所示，水平直线MN上方有竖直向下的匀强电场，场强大小E＝π×103 N/C，MN下方有垂直于纸面的磁场，磁感应强度B随时间t按如图乙所示规律做周期性变化，规定垂直纸面对外为磁场正方向．T＝0时将一重力不计、比荷＝106 C/kg的正点电荷从电场中的O点由静止释放，在t1＝1×10－5 s时恰通过MN上的P点进入磁场，P点左方d＝105 cm处有一垂直于MN且足够大的挡板．
图3
求：(1)电荷从P点进入磁场时速度的大小v0；
(2)电荷在t2＝4×10－5 s时与P点的距离Δx；
(3)电荷从O点动身运动到挡板所需时间t总．
答案 (1)π×104 m/s (2)20 cm (3)1.42×10－4 s
解析 (1)电荷在电场中做匀加速直线运动，则Eq＝ma
v0＝at1
解得v0＝＝π×103×106×1×10－5 m/s＝π×104 m/s
(2)电荷在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力供应向心力
qvB＝m，r＝
当B1＝ T时，半径r1＝＝0.2 m＝20 cm
周期T1＝＝4×10－5 s
当B2＝ T时，半径r2＝＝0.1 m＝10 cm
周期T2＝＝2×10－5 s
故电荷从t＝0时刻开头做周期性运动，其运动轨迹如图所示．
在t＝0到t2＝4×10－5 s时间内，电荷先沿直线OP运动t1，再沿大圆轨迹运动，紧接着沿小圆轨迹运动T2，t2＝4×10－5 s时电荷与P点的距离Δx＝r1＝20 cm
(3)电荷从P点开头的运动周期T＝6×10－5 s，且在每一个周期内向左沿PM移动x1＝2r1＝40 cm，电荷到达挡板前经受了2个完整周期，沿PM运动距离x＝2x1＝80 cm，设电荷撞击挡板前速度方向与水平方向成θ角，最终d－x＝25 cm内的轨迹如图所示．
据几何关系有r1＋r2sin θ＝0.25 m
解得sin θ＝0.5，
即θ＝30°
则电荷从O点动身运动到挡板所需总时间
t总＝t1＋2T＋＋T2
解得t总＝×10－5 s≈1.42×10－4 s.
4．如图4所示的直角坐标xOy平面内有间距为d，长度为d的平行正对金属板M、N，M位于x轴上，OP为过坐标原点O和极板N右边缘的直线，与y轴的夹角θ＝，OP与y轴之间及y轴右侧空间中分别存在磁感应强度大小相等方向相反且均垂直于坐标平面的匀强磁场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板左侧边缘以速度v0沿极板方向射入，恰好从N板的右侧边缘A点射出进入磁场．粒子第一次通过y轴时，速度与y轴负方向的夹角为.不计粒子重力，求：
图4
(1)极板M、N间的电压；
(2)匀强磁场磁感应强度的大小；
(3)粒子其次次通过y轴时的纵坐标值；
(4)粒子从进入板间到其次次通过y轴时经受的时间．
答案 (1) (2) (3)2d (4)()
解析 (1)粒子在M、N板间做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t1，则d＝v0t1
d＝at
依据牛顿运动定律得q＝ma
联立解得U＝.
(2)设粒子经过A点时的速度为v，方向与x轴的夹角为α，
依据动能定理，得qU＝mv2－mv
cos α＝
解得v＝2v0，α＝
设粒子第一次与y轴相交于D点，轨迹如图，由几何关系知D点与A点高度相等，△C1DO为等边三角形．
R＝d
依据牛顿定律，得qvB＝m
整理得B＝.
(3)粒子在y轴右侧空间的运动轨迹如图．
由几何关系知
DE＝2Rcos θ＝d
即E点的纵坐标为yE＝2d.
(4)粒子从A到D的时间
t2＝T
从D到E的时间t3＝T
而T＝＝
故t＝t1＋t2＋t3＝().
【必考模型4】 带电粒子在组合场中的运动
1.模型特点：电场、磁场同时存在，但空间位置不同.
2.表现形式：(1)在电场中做匀加速直线运动，在有界磁场中做匀速圆周运动.(2)在电场中做类平抛运动，在有界磁场中做匀速圆周运动.,3.应对模式：这类问题实质是类平抛运动、直线运动和圆周运动组成的多过程问题，要擅长把多过程分解，逐个击破.对于在电场中的加速和类平抛运动，要能娴熟应用力和运动的方法以及功和能的方法求解.对于粒子在磁场中的圆周运动，关键是找圆心画出运动轨迹，并结合几何学问，求出半径或运动的时间.
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