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课时提升作业(三十五)
空间点、直线、平面之间的位置关系
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、异面或相交
【解析】选D.当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的状况毁灭.
2.已知E,F,G,H是空间内四个点,条件甲:E,F,G,H四点不共面,条件乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.点E,F,G,H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交;但由直线EF和GH不相交不愿定能推出E,F,G,H四点不共面.例如,EF和GH平行,这也是直线EF和GH不相交的一种状况,但E,F,G,H四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件.
3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )
A.α内的全部直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】选B.由题意知直线l与平面α相交,不妨设直线l∩α=M,对A,在α内过M点的直线与l不异面,A错误;对B,假设存在与l平行的直线m,则由m∥l且l⊄α得l∥α,这与l∩α=M冲突,故B正确,C错误;对D,α内存在与l异面的直线,故D错误.
4.(2021·湖州模拟)下列四个命题中真命题是( )
A.垂直于同始终线的两条直线相互平行
B.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
C.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个
【解析】选B.垂直于同一条直线的两条直线之间的关系可以平行、相交和异面;过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线只有一条;正四棱柱的概念是底面是正四边形,侧棱都与底面垂直;过球面上任意两点的大圆不愿定是唯一的,若所取的任意两点与球心在同始终线的话,就可以得到很多个大圆了.故选B.
5.(2021·台州模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( )
①假如两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.①两个平面有三个公共点,若这三个公共点共线,则这两个平面相交,故①不正确;两异面直线不能确定一个平面,故②不正确;在空间,交于一点的三条直线不愿定共面(如墙角),故④不正确;据平面的性质可知③正确.
6.(2021·东城模拟)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
【解析】选C.A中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;
B中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;
C中,若AB=AC,DB=DC,AD不愿定等于BC;
D中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.
7.(2021·沈阳模拟)正方体AC1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
【解析】选A.如图所示,连接CD1,则CD1∩C1D=F,由于A1B∥CD1,所以直线A1B与CD1确定的平面为A1BCD1,E∈BC,所以EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
【加固训练】将正方体纸盒开放如图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交成60°角 D.异面且成60°角
【解析】选D.折起后如图,
明显AB与CD异面,由于AM∥CD,△AMB为正三角形,所以∠MAB=60°.
8.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,则异面直线BE和SC所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.如图,设AC中点为O,则OE∥SC,
则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角,由EO=12SC=22,BO=12BD=62,
在△SAB中,cos∠SAB=12ABSA=322=64=AB2+AE2-BE22AB·AE,
所以BE=2.在△BEO中,cos∠BEO=12,
所以∠BEO=60°.
【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤
(1)作:通过作平行线得到相交直线.
(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
(3)算:通过解三角形求出角.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·嘉兴模拟)a,b,c是空间中的三条直线,下面给出三个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a∥b,b与c异面,则a与c异面;
③若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的命题是 (只填序号).
【解析】由基本性质知①正确;当a∥b,b与c异面时,a与c可能相交也可能异面,故②不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故③不正确.
答案:①
10.如图,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .
【解析】①③中,GM∥HN,所以G,M,N,H四点共面,从而GH与MN共面;②④中,依据异面直线的判定定理,易知GH与MN异面.
答案:②④
【加固训练】如图,E,F是AD上互异的两点,G,H是BC上互异的两点,由图可知,①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC,DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.①②
【解析】选A.依据图形,AB与CD互为异面直线,故①正确;当F点与D重合时,B,F,C,H四点共面,FH与DC,DB不为异面直线,故②错误;由于EG与FH不行能共面(否则A,B,C,D四点共面),所以EG与FH互为异面直线,故③正确;当G与B重合时,AB与EG为共面直线,故④错误.所以应选A.
11.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .
【思路点拨】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,可得C1D=2AD,从而可得结论.
【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,
则由于C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,
由于C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,
所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,
由于圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=2AD,
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2,
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.
答案:2
12.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN 12(AC+BD)(填“>”“<”或“=”).
【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必需将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连接MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=12BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=12AC,又依据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,
即MN<12BD+12AC=12(AC+BD).
答案:<
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为BC,AD上的点,并且
BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=7,求AB与CD所成的角的大小.
【解析】取BD上一点H,使得BH∶HD=1∶2.连接FH,EH,由题意知FH∥AB,EH∥CD,则∠EHF为异面直线AB与CD所成的角(或其补角).
又AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2,
所以FH=23AB=2,HE=13CD=1.
在△EFH中,由余弦定理知:
cos∠EHF=EH2+FH2-EF22EH·FH=12+22-72×1×2=-12,
即异面直线AB与CD所成的角为60°.
【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围0,π2.在解答过程中易误认为∠EHF即为异面直线AB与CD所成的角.实际上,当∠EHF为锐角或直角时,为两条异面直线AB与CD所成的角;而当∠EHF为钝角时,它为异面直线AB与CD所成角的补角.
14.如图,已知:E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,证明:FE,HG,DC三线共点.
【证明】连接C1B,HE,FG,
由题意知HC1∥EB,且HC1=EB.所以四边形HC1BE是平行四边形.所以HE∥C1B.
又C1G=GC=CF=BF,故GF∥C1B,
且GF=12C1B,
所以GF∥HE,且GF≠HE,所以HG与EF相交.
设交点为K,则K∈HG,HG⊂平面D1C1CD,
所以K∈平面D1C1CD.
由于K∈EF,EF⊂平面ABCD,
所以K∈平面ABCD.
由于平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,
所以K∈DC,FE,HG,DC三线共点.
15.(力气挑战题)(2021·杭州模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)若AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
(2)当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?
【解析】(1)在△ABC中,E,F分别是边AB,BC中点,
所以EF∥AC,且EF=12AC,
同理有GH∥AC,且GH=12AC,
所以EF∥GH且EF=GH,
故四边形EFGH是平行四边形.
又EH∥BD且EH=12BD,
故若AC=BD,则有EH=EF,
又由于四边形EFGH是平行四边形,
所以四边形EFGH是菱形.
(2)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH是正方形.
由(1)知AC=BD时四边形EFGH是菱形,
当AC⊥BD时,由于EF∥AC,FG∥BD,
所以EF⊥FG,故四边形EFGH是正方形.
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