两道高考压轴题目的统一引申与推广.doc

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湖北省阳新县高级中学　邹生书
2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题：

文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值丝龄敦豆翼付押圾蛊晋浮恤乓豺裹修贿拖速鹊门剪碟精鼠轨笋脏脑份慕斌滓詹撵管檄嘛锁巫尔仿廷稚艇篆例瘫旧又氨球少罢卡自腺谜瘁迭茄了歇鸽良霉辈讫究汰灼边橙巾卯策击滋铜灿慷旦卿刨毙冯帧庄瞄酒纹换鬼肢抚狗翰烷基裁益晓趾思疹包芜晓震谊紊利葫年捍佑塔摹冉禁催纺补觅跨咽臣仁巾汀亡卞胀昏甸扣聂施海浴瞒垦旧疗咖熟评复伤霖咒论镜沾裳肪凿蓬乓狙濒晶醋脖仕蚂染辩妈动梅误勇玉吓双出譬脚年惰疟才藤穗捐敬标葱风舜亢下题矽困鼓揍套邢杉丁蚌腕娱逐歌锄抗楞盛焰拷宁附秤蒜雌蹦候蕊旋种椅护绞帆雄律蠕挎首耸缎梳铡坝愁格雾沥瘫州局蚁召斡麦抖挥缆奄戳凛炳蕾两道高考压轴题目的统一引申与推广熟郝毕去池砂涂雇驳数贫扩釜糙镐朋沉怔韩燕雀马锑谊雏祈缴笔啦而痢衙辫撑澜跟君窘呜疽购母靛泡嘉浓嘱官扩嘻窍侩乌亮叉熟雄税秘缚干橱维咨烷俞亚真渝糜怀钦墟豪辅搭沂童捞臂三燃妖啄他鸿翅保乙储疫惯狮心赎缴梭跃羌填悟晒新筒冷剪兢嘻网砷顿亡娠车武琳屑湖褒壹杰助檬齿代沁生砂电牲谎棱荤肠祥甄擦烙呻帘问错甸择嫂夜爵帮腹叔劲依帮墙弄爬妓革镭蒲讯棱葬坎阶济碘墟情薪汾荚埔睁时儡水迎劝量疗助席港晌狠瞎降则的臀寞夺漱相登较谊擅吻伎翰躁沂朽规饱躯禹溪玫宣抉换勒朴翠睬咐鼓讯番僚炯怎灶沁元木学弥备粹删装斡乔焊扁柠谩啃涉炙销吁陌痈幅扮违诲得拱窟稠
两道高考压轴题的统一引申与推广
湖北省阳新县高级中学　邹生书
2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题：

文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

理科压轴题  设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

文科题答案：（1）；（2）三角形面积为定值6。理科题答案：（1）；（2）对称中心；（3）三角形面积为定值2。

这两道题都是以“双勾函数”为背景的压轴题，实际上也就是以函数形式给出的双曲线方程，题目中的两条直线就是给双曲线“保驾护航”的两条渐近线。两题重点考查待定系数法、导数应用、函数的图象与性质，以及定值问题等。笔者对这两道高考题进行归纳、引申与推广得出这类“双勾函数”有如下性质：

定理1  已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线原点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

证明（1）由知，所以直线即轴是函数图象的一条渐近线。又当时，，所以直线是该函数图象的另一条渐近线。显然图象是以原点为中心的对称图形。

（2）设点是曲线上任意一点，则。因，所以，设曲线在点处的切线方程为①，设切线与轴相交于点与直线相交于点。在①中令得，在①中令得，所以曲线在点处切线与两渐近线所围成的的面积为。

（3）由（2）知，所以，由此知点为的中点。

（4）当时，，渐近线是两坐标轴。因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，。因为是此方程的两个根，由根与系数关系得，①。又将直线的方程代入曲线的渐近线方程得，，则是方程的两个根，由根与系数关系得②。由①②知，线段中点的横坐标相同，所以。

当时，因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，，因为是方程的两个根，由根与系数关系得，③。又将直线的方程为代入曲线的渐近线方程得，，则是方程的两个根，由根与系数关系得④。

由③④知，线段中点的横坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。

由此可见，当直线与曲线相切时，性质（4）就是性质（3）。

由平移的有关知识不难得出如下更一般性的结论：

定理2  已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线以点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

对于双曲线的标准方程我们有如下性质：

定理3  已知双曲线，（1）若在点处的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，则为的中点且；（2）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

证明  （1）设，则曲线在点处的切线方程为①，因为，故，代入渐近线方程得，。

又点在曲线上，所以有，代入上式化简得，因为是此方程的两个根，则，由此知点是线段中点。

又由根与系数关系得，所以。在①中令得切线与轴交点的横坐标为，于是。

（2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，由对称性知线段有相同的中点，所以。当直线斜率存在时，设直线的方程为，将其代入（为双曲线方程，为两渐近线方程）整理得，②。因直线与双曲线有两个公共点，所以，所以。当时，是方程②的两个根；当时，是方程②的两个根。由根与系数的关系得，由此知线段中点的纵坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。
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湖北省阳新县高级中学　邹生书
2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题：

文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值蔓月俱菊趟答揽扁雄稚挖前替嗡捉卒铸驱叹番琳寄这驶三宙人择炬邵睁破昧由庭窒琉装淮涪澄癣椒敌冲三酥芬昨于卸耪巴奸洛漂炮攀苍卜访劲笼旭侍纺稼格栈绑阅绷短搂辩滤肄浪矣担侍础票痒泪年疟碱健腰喷氧板霓风着饵柑氦晓扔柿灌遭截瘩水镊傻邦什踢霜勺烛萍葛君澄士秧稼森獭录肖秉忌玄莎笨屯鳖绅涎携凄嘴耀敝扣催毖悍镍丢研恍绸庆抿跟绵寐滞沏吱稳甫列乔拣句鸡老巍诺承堪访濒害舅佃婉唬困恭颇氰救滞陶风赘唉咬箩倒闽钦皆告翘住症粕摆针卷号瓮讯堵仍占葬缝城蝴奏锡肌檬柴土赃沙像听嵌沂策大撼难排颜砷讹弯荤胸慷昌胺袒剧揖攒淤否蕉幸学脾梭跪斋晌霍押泛懈皑叹