2021高考数学(文理通用)一轮课时作业9-幂函数与二次函数.docx

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课时提升作业(九)
幂函数与二次函数
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=(　　)
A.3 B.1-2 C.2-1 D.1
【解析】选C.设幂函数为f(x)=xα,由f(9)=9α=3,即32α=3,所以2α=1,α=12,所以f(x)=x12=x,
所以f(2)-f(1)=2-1.
2.(2022·温州模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的
是(　　)
A.y=sinx,x∈R B.y=-x3,x∈R
C.y=x,x∈R D.y=12x,x∈R
【解析】选B.依据函数奇偶性的定义知A,B,C在定义域内为奇函数,但A中函数y=sinx在定义域内不单调,C中y=x在定义域内单调递增,因此选B.
3.(2022·衡阳模拟)若(2m+1)12>(m2+m-1)12,则实数m的取值范围是(　　)
A.-∞,-5-12 B.5-12,+∞
C.(-1,2) D.5-12,2
【解析】选D.由于函数y=x12在[0,+∞)上为增函数,所以由已知得2m+1≥0,m2+m-1≥0,2m+1>m2+m-1,
解得:5-12≤m<2.
4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a=c,则函数f(x)的图象不行能是(　　)

【解析】选D.由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2,由于a=c,所以x1x2=ca=1,比较四个选项,可知选项D的x1<-1,x2<-1,所以D不满足.
5.(2021·金华模拟)函数y=x-x13的图象大致为(　　)

【解析】选A.函数为奇函数,图象关于原点对称,所以排解C,D.当x=1时,y=0,当x=8时,y=8-38=8-2=6>0,排解B,故选A.
6.(2022·台州模拟)函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
C.[-2,0] D.[-3,0]
【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1明显成立,
当a≠0时,需a<0,-a-32a≤-1,解得-3≤a<0,
综上可得-3≤a≤0.
【误区警示】本题易忽视a=0这一状况而误选A,失误的缘由是将关于x的函数误认为是二次函数.
【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]
【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,
f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],
所以a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.
所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.
7.(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)= x,x≤0,x2-x,x>0,
若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(　　)
A.-12,1 B.-12,1
C.-14,0 D.-14,0
【思路点拨】在同一坐标系中分别作出f(x)与y=m的图象,数形结合求解.
【解析】选C.由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,

当x>0时,f(x)=x2-x=x-122-14≥-14,所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则-14<m<0,即-14,0.
8.(2022·绍兴模拟)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈0,12恒成立,则a的最小值是(　　)
A.0 B.2 C.-52 D.-3
【解析】选C.由x2+ax+1≥0得a≥-x+1x在x∈0,12上恒成立,
令g(x)=-x+1x,则知g(x)在0,12为增函数,
所以g(x)max=g12=-52,所以a≥-52.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为-32,49,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是　　　　　　.
【解析】设二次函数的解析式为f(x)=ax+322+49(a<0),方程ax+322+49=0的两个根分别为x1,x2,则|x1-x2|=2-49a=7,
所以a=-4,故f(x)=-4x2-12x+40.
答案:f(x)=-4x2-12x+40
10.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为　　　　.
【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,

结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈-94,-2,故当m∈-94,-2时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.
答案:-94,-2
11.已知函数f(x)=x2-x+1,若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.
【解析】f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
由于g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
所以g(x)min=g(1)=-m-1,
由-m-1>0得,m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
12.(2022·杭州模拟)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=x1,x1≥x2,x2,x1<x2.
若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为　　　　.
【思路点拨】先写出max(f(x),g(x))的表达式,然后画出图象求解.
【解析】由于f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,所以x2+x-2≥0时,解得x≥1或x≤-2.当-2<x<1时,x2+x-2<0,即f(x)<g(x),
所以max(f(x),g(x))=-x,-2<x<1,x2-2,x≥1或x≤-2,作出图象,由图象可知函数的最小值在A处,所以最小值为f(1)=-1.

答案:-1
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·衢州模拟)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
由于f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以2a=2,a+b=0,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.
(2)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=32,所以g(x)在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,
解得m<-1.
14.(2022·中山模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间.
(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围.
【解析】(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,
且-b2a=-1,所以a=1,b=2.
所以f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1],
单调增区间为[-1,+∞).
(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,
转化为x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.
设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减.
所以g(x)min=g(-1)=1.
所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).
15.(力气挑战题)设a为实数,记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a).
(1)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t).
(2)求g(a).
(3)试求满足g(a)=g1a的全部实数a.
【解析】(1)由于t=1+x+1-x,所以要使t有意义,必需1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.
由于t2=2+21-x2∈[2,4],且t≥0,①
所以t的取值范围是[2,2].
由①得:1-x2=12t2-1,
所以m(t)=a12t2-1+t=12at2+t-a,t∈[2,2].
(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=12at2+t-a,t∈[2,2]的最大值,
由于直线t=-1a是抛物线m(t)=12at2+t-a的对称轴,
所以可分以下几种状况进行争辩:
①当a>0时,函数y=m(t),t∈[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,
由t=-1a<0知m(t)在t∈[2,2]上单调递增,
故g(a)=m(2)=a+2;
②当a=0时,m(t)=t,t∈[2,2],有g(a)=2;
③当a<0时,函数y=m(t),t∈[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=-1a∈(0,2]即a≤-22时,
g(a)=m(2)=2,
若t=-1a∈(2,2],即a∈-22,-12时,
g(a)=m-1a=-a-12a,
若t=-1a∈(2,+∞)即a∈-12,0时,
g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,有g(a)=a+2,a>-12,-a-12a,-22<a≤-12,2,a≤-22.
(3)当-12<a<0时,1a∈(-∞,-2),g(a)=a+2>32>2;g1a=2,明显无解.
当-22<a≤-12时,1a∈[-2,-2),-a∈12,22,-12a∈22,1,
所以-a≠-12a,
g(a)=-a-12a>2(-a)·-12a=2;
g1a=2,明显无解.
当a>0时,1a>0,
由g(a)=g1a知:a+2=1a+2,故a=1.
当a≤-22时,1a∈[-2,0),a·1a=1,
故a≤-1或1a≤-1,从而有g(a)=2或g1a=2,
要使g(a)=g1a,必需有a≤-22,1a≤-22,
即-2≤a≤-22,
此时,g(a)=2=g1a.
综上可知a∈-2,-22或a=1.

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