【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)专题5-高考中的圆锥曲线问题.docx

专题五高考中的圆锥曲线问题1.已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解析(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1由、及p0得：y11，y24，p2，则抛物线G的方程为：x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得：k0或kb0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率；(2)若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M，N外的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，求证：kPMkPN为定值解析(1)依据已知条件：2a4，即a2，所以椭圆方程为1，又A(1，)为椭圆C上一点，则1，解得b23，所以椭圆C的方程为1，所以c1，所以椭圆C的离心率e.(2)由于M，N是椭圆上关于原点对称的点，设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，设P点坐标为(x，y)，则1，1，即y3(1)，y23(1)，所以kPMkPN.即kPMkPN为定值3在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？假如存在，求k值；假如不存在，请说明理由解析(1)由已知条件，知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程，得(kx)21，整理得(k2)x22kx10.由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得8k24(k2)4k220，解得k，即k的取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，B(0,1)，得(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合题意的常数k.1.(2021温州测试)如图，已知过T(3，2)的动直线l与抛物线C：y24x交于P，Q两点，点A(1,2)(1)证明：直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值2；(2)以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个？请说明理由解析(1)证明：设直线l的方程为xm(y2)3，由得y24my8m120.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y24m，y1y28m12，所以kAPkAQ2.(2)一个理由如下：PQ的中点坐标为(，)，即(，)，由于4m24m6，所以PQ的中点坐标为(2m22m3,2m)，由已知得m，即m3m22m10.设f(m)m3m22m1，则f(m)3m22m20，所以f(m)在R上是增函数，又f(0)1，f(1)3，所以函数f(m)有且只有一个零点，即方程m3m22m10有唯一实根所以满足条件的等腰三角形有且只有一个2如图，点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)假如点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解析(1)解法一：由条件知，P(c，)故直线PF2的斜率为kPF2，由于PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为yx.故Q(，2a)由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.解法二：设直线x与x轴交于点M.由条件知P(c，)，由于PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2A所以解得故椭圆方程为1.(2)证明：直线PQ的方程为，即yxA将上式代入1得，x22cxc20，解得xc，y，所以直线PQ与椭圆C只有一个交点3(2021大连双基测试)已知O为坐标原点，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆1上的点，且x1x22y1y20，设动点P满足2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：yxm(m0)与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值解析(1)设点P(x，y)，则由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)，即xx12x2，yy12y2.由于点M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4.故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)由题意知，x1x22y1y20，所以x22y220.(2)将曲线C与直线l的方程联立得，消去y得3x24mx2m2200.由于直线l与曲线C交于A，B两点，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以16m243(2m220)0，又m0，所以0m20，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|？证明你的结论解析(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22,2a12.从而a11，c21.由于点P(，1)在双曲线x21上，所以()21，故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线()若直线l垂直于x轴，由于l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.()当直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.由于直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23.因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2.故|.综合()，()可知，不存在符合题设条件的直线