高优指导2021高考数学一轮复习单元质检十三推理与证明算法初步与复数理含解析北师大版.doc

单元质检十三　推理与证明、算法初步与复数
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第25页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2015河北衡水中学二模)已知复数z满足=1-z,则z的虚部为(　　)

A.i B.-1
C.1 D.-i
答案:C
解析:由已知得1+z=(1-z)i=i-iz,则z==i,虚部为1,故选C.
2.(2015辽宁大连双基)执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则常数a的值为(　　)

A.4 B.2 C. D.-1
答案:D
解析:S和n依次循环的结果如下:,2;1-,4.
所以1-=2,a=-1,故选D.
3.(2015华师附中模拟)用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设(　　)
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
答案:B
解析:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”.
4.(2015湖北黄冈一模)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立,则(　　)
A.-1<a<1 B.0<a<2
C.-<a< D.-<a<
答案:C
解析:(x-a)⊗(x+a)<1⇔(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x-a2+a+1>0.
不等式恒成立的充要条件是Δ=1-4(-a2+a+1)<0,
即4a2-4a-3<0,解得-<a<.故选C.
5.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(　　)

A.(-2,2) B.(-4,0)
C.(-4,-4) D.(0,-8)〚导学号92950728〛
答案:B
解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,
x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,
x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x,y),即(-4,0).
6.复数z=(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:∵i2 014=(i2)1 007=(-1)1 007=-1,
∴z==-
=-=-,
∴z在复平面内的坐标为,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
7.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S'=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V'=S.则四维空间中“超球”的四维测度W=2πr4,猜想其三维测度V=　　　　　. 
答案:8πr3
解析:由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W'=(2πr4)'=8πr3.
8.执行如图的程序框图,则输出S的值为　　　　　. 

答案:2
解析:第一次循环,得S==-1,k=1;
第二次循环,得S=,k=2;
第三次循环,得S==2,k=3;
由此可知S的值以3为周期,又2 016=672×3,所以输出S的值为2.
9.若z=sin θ-i是纯虚数,则tan=　　　　　. 
答案:-7
解析:依题意
∴sin θ=,cos θ=-.
∴tan θ==-.
∴tan=-7.
10.(2015济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下:
1　3　7　13　21　…
5　9　15　23　…　…
11　17　25　…　…　…
19　27　…　…　…　…
29　…　…　…　…　…
…　…　…　…　…　…
则第30行从左到右的第3个数是　　　　　.〚导学号92950729〛 
答案:1 051
解析:先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=-1=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右的第3个数是929+60+62=1 051.
三、解答题(本大题共2小题,共30分)
11.(15分)(2015河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
(1)解:当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1得a1=1.
当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1得(1-q)·Sn-1+qan-1=1,
两式相减得an=qan-1(n≥2),
又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.
(2)证明:由(1)可知Sn=,
由S3+S6=2S9得,
化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8,
故a2,a8,a5成等差数列.〚导学号92950730〛
12.(15分)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f'(an+1),试比较+…+与1的大小,并说明理由.
解:∵f'(x)=x2-1,且an+1≥f'(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1,
∵函数g(x)=(x+1)2-1在[1,+∞)上单调递增,
于是由a1≥1得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
进而a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.
下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k(k≥1,且k∈N+)时结论成立,即ak≥2k-1.
当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,
ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,
即n=k+1时,结论也成立.
由①②知,对任意n∈N+,都有an≥2n-1,
即1+an≥2n,∴,
∴+…+
≤+…+=1-<1.〚导学号92950731〛

3