【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：5.1.docx

第五章 5.1 第1课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是(　　)
A．e＝　　　　　　　　　B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
答案　D
解析　对于A，当a＝0时，没有意义，错误
对于B、C、D当a＝0时，选项B、C、D都对；
当a≠0时，由a∥e可知，a与e同反或反向，选D.
2．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b　　　　　　　B．a＝－b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
答案　C
3.

如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)
A．－＋　 B．－－
C.－ D.＋
答案　A
解析　∵D是AB的中点，∴＝.
∴＝＋＝－＋
4．设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么(　　)
A.与同向，且||>||
B.与同向，且||>||
C.与反向，且||>||
D.∥
答案　A
解析　＝＋＋＝2a＋3b＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b，
＝－8a－2b，∴＝，
∴与同向，且||＝||.
∴||>||.故选A.
5．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么确定有(　　)
A.＝2　　　　　　　B.＝2
C.＝2 D.＝2
答案　D
解析　由题意得＋＋＝－，即＝－2＝2，选D.
6．已知ΔABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由＋＋＝0得点M是ΔABC的重心，可知＝(＋)，＋＝3，则m＝3，选B.
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
答案　C
解析　由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为RtΔABC斜边BC上的中线，因此||＝||＝2，选C.
二、填空题
8．设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则λ＝________.
答案　－
解析　＝＋＝3e－5e＝－2e
由＝λ·得3e＝λ·(－2)·e
∴λ＝－
9．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．
答案　12
解析　

如图，取AC中点D.
＋＝2
∴＝
∴O为BD中点，∴面积比为高之比．
10．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为________．
答案　λ1λ2－1＝0
解析　A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1，故选C
11．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．
答案　45°

解析　如右图所示，作向量＝a，＝b，则＝a－b.
∵OA＝1，OB＝，OA⊥BA，∴cos∠AOB＝，
∴∠AOB＝45°，故a与b的夹角为45°.
12．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是________．
答案　0
解析　

＝－，＝－.
∴＝－－＝－－.
∴＝－，
∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　＝＋，＝＋，＝＋，于是得，所以λ＋μ＝
三、解答题
14．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：＝(＋)．

证明　如图所示，∵E、F是AD与BC的中点，∴＋＝0，＋＝0，
又∵＋＋＋＝0，
∴＝＋＋，①
同理　＝＋＋，②
由①＋②得，2＝＋＋(＋)＋(＋)＝＋，
∴＝(＋)
15．如右图所示，

已知＝，＝，用、表示，求.
答案　－＋
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－.
16．设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
解析　(1)∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴与共线，且有公共端点B，
∴A、B、C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得
(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)
⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，
∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.

拓展练习·自助餐

1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)

A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案　A
解析　∵＝，＝，＝，∴＋＋＝(＋＋)＝(＋)＝×0＝0，故选A.
2．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行　　　　　　　B．同向平行
C．相互垂直 D．既不平行也不垂直
答案　A
解析　求解本题应先建立向量＋＋与的线性关系，再依据平面对量的平行和垂直的充要条件进行推断．
由题意，得＝＋，＝＋.
又＝2，所以＋＝2(＋)．所以＝＋.
同理，得＝＋，＝＋.
将以上三式相加，得＋＋＝－.故选A.
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)的充要条件是＝λ(＋)，则λ的取值范围是(　　)
A．λ∈(0,1)　　　　　B．λ∈(－1,0)
C．λ∈(0，) D．λ∈(－，0)
答案　A

解析　如图，∵点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，
∴＝λ＝λ(＋)，由与同向知，λ>0；
又||<||
∴＝＝λ<1，
∴λ∈(0,1)，反之亦然．
4．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
分析　取a、b作为一组基底，依据向量的线性运算表示出向量、、即可．
解析　如下图所示，

＝－＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.