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时间：45分钟 分值：75分
1．(本小题15分)(2021·山东淄博一模)已知向量m＝，n＝(1,2sinB)，m·n＝sin2C，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＋sinB＝2sinC，且S△ABC＝，求边c的长．
解 (1)∵m·n＝sin(A－B)＋2cosAsinB
＝sinAcosB＋cosAcosB＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C且0<C<π，
∴sin(A＋B)＝sinC.
又∵m·n＝sin2C，∴sinC＝sin2C＝2cosCsinC.
∴cosC＝，∴C＝.
(2)∵sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c，
S△ABC＝absinC＝ab＝，得ab＝4，
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(a＋b)2－3ab＝4c2－12，∴c＝2.
2．(本小题15分)(2021·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝sin·cos＋sin2，其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，S△ABC＝2，角C为锐角，且满足f＝，求边c的值．
解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋
＝sin＋.
∵两个相邻对称中心的距离为，∴T＝π.
由＝π，ω>0，得ω＝2.
又f(x)过点，∴sin＋＝1，
得cosφ＝.又∵0<φ<，∴φ＝.
∴f(x)＝sin＋.
(2)∵f＝，得：sinC＋＝，∴sinC＝.
∵角C为锐角，∴cosC＝.
又∵a＝，S△ABC＝absinC＝··b·＝2，∴b＝6.
由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC
＝5＋36－2··6·＝21，
∴c＝.
3．(本小题15分)(理)(2021·福建卷)如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k (k>0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；
(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1外形和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱外形和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)
解 (1)取CD的中点E，连接BE.
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形．
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2.
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
所以＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由
得取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.
(3)共有4种不同的方案．f(k)＝
3．(本小题15分)(文)(2021·陕西卷)如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
解 (1)由题设知，BB1綊DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝××＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
4．(本小题15分)(理)(2021·重庆卷)某商场进行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．依据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余状况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．
解 设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的全部可能值为：0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝；
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝；
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝；
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上知X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
4．(本小题15分)(文)(2021·江西八所重点高中模拟)某省重点中学从高二班级同学中随机地抽取120名同学，测得身高(单位：cm)状况如下表所示：
分组
频数
频率
[160,165)
6
0.05
[165,170)
27
0.225
[170,175)
42
②
36
0.3
[180,185)
①
0.05
3
0.025
合计
120
1
(1)请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图；
(2)现从身高在180～190 cm的这些同学中随机地抽取两名，求身高为185 cm以上(包括185 cm)的同学被抽到的概率．
解 (1)表中的①的数据为6，②的数据为0.35.
频率分布直方图如图所示．
(2)记身高在 cm的人编号为1,2,3.
从中抽取2人的全部可能状况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(c,1)，(c,2)，(c,3)，(d，e)，(d，f)，(d,1)，(d,2)，(d,3)，(e，f)，(e,1)，(e,2)，(e,3)，(f,1)，(f,2)，(f,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共36种，其中抽到身高在185 cm以上(包括185 cm)的同学有21种，故所求概率为P＝＝.
5．(本小题15分)(理)(2021·山东聊城一模)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每年每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的按一小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该自行车租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙两人两小时内还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
解 (1)由题意得，甲、乙两人在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
记“甲，乙两人所付的租车费用相同”为大事A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)随机变量ξ的全部可能取值为0,2,4,6,8，且
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝2)＝×＋×＝；
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝6)＝×＋×＝；
P(ξ＝8)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P
所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
5．(本小题15分)(文)(2021·银川、吴忠部分中学联考)在一次考试中，5名同学的数学、物理成果如下表所示：
同学
A1
A2
A3
A4
A5
数学x(分)
89
91
93
95
97
物理y(分)
87
89
89
92
93
(1)要从5名同学中选2名参与一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成果高于90分的概率；
(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程．
参考公式：回归直线的方程是＝bx＋a，其中b＝，a＝－b.
解 (1)从5名同学中任取2名同学的全部状况为：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5、A2)、(A5、A3)、(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)，共10种状况．
其中至少有一人的物理成果高于90分的状况有：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)，共7种状况．
故选中的同学中至少有一人的物理成果高于90分的概率P＝.
(2)散点图如图所示．
可求得：＝＝93，
＝＝90，
(xi－)(yi－)＝30，
(xi－)2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，
b＝＝0.75，a＝－b＝20.25.
故所求的线性回归方程是＝0.75x＋20.25.
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