高考数学第二轮专题目复习测试题目9.doc

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2013高考数学第二轮专题复习测试题9
A级　基础达标演练
(时间：40分钟　满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的(　　)．
A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项
解析　3＝＝.
答案　B
2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第七个三角形数是(　　)．
A．27 B．28 C．29 D．30
解析　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案　B
3．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，
∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
答案　B
4．(2011·绵阳模拟)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 (　　)．
A．103 B. C. D．108
解析　根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.
答案　D
5．(2011·四川)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)．
A．0 B．3 C．8 D．11
解析　因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)．即an＋1－an＝2n－8，所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
答案　B
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在函数f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．
答案　1，，，2，
7．数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式an＝________.
解析　通过观察得知an＋1－an＝n，利用累差叠加法，可求出an＝1＋2＋…＋(n－1)＋1＝.
答案　
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．
解析　∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，
∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.
答案　8
三、解答题(共23分)
9．(11分)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
10．(★)(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．
解　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.
因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．
因此an＋1－an－3＝0.
即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.
【点评】 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系，求通项an的问题，步骤主要有：,第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；
第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项；
第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；
第四步：明确规范表述结论.

B级　综合创新备选
(时间：30分钟　满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·惠州二模)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是(　　)．
A．(5,5) B．(5,6) C．(5,7) D．(5,8)
解析　按规律分组
第一组(1,1)
第二组(1,2)，(2,1)
第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)
则前10组共有＝55个有序实数对．
第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．
答案　C
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是(　　)．
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
解析　an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
答案　D
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2011·合肥三检)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
解析　由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
答案　
4．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析　由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.
∴Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，
n＝1时不适合an，∴an＝
答案　
三、解答题(共22分)
5．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.
解　由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.
所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，
a4－a3＝22，
a5－a4＝23，
…
an－an－1＝2n－2(n≥2)，
将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，
所以an＝2n－1(n≥2)，又因为a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n≥1)．
6．(12分)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解　(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝＜0，
∴{cn}是递减数列．
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