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第3讲 不等式选讲
考情解读 本部分主要考查确定值不等式的解法，求含确定值的函数的值域及求含参数的确定值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、确定值不等式的应用成为命题的热点，从力气上主要考查基本运算力气与推理论证力气及数形结合思想、分类争辩思想．
1．含有确定值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用确定值不等式的几何意义求解．
2．含有确定值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：假如a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b
时，等号成立．
定理3：假如a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)假如a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
热点一 含确定值不等式的解法
例1 不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集为________________．
答案
解析 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，
解得x<－，∴－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
思维升华 (1)用零点分段法解确定值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去确定值号；③分别解去掉确定值的不等式；④取每个结果的并集，留意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有确定值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(1)若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，3]
解析 由确定值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|<a无解，∴a≤3.
(2)(2022·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2,4]
解析 利用确定值不等式的性质求解．
∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
热点二 不等式的证明
例2 求证下列不等式：
(1)设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；
(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
证明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2·(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.
∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.
∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
(2)a6＋8b6＋c6≥3
＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，
∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.
(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，
a2＋9c2≥2＝6ac，
4b2＋9c2≥2＝12bc，
∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，
∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
思维升华 (1)作差法应当是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形力气．
(2)留意观看不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．
(2021·课标全国Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)由于＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
热点三 不等式的综合应用
例3 (2021·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
答案 2
解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，留意等号取得的条件．
∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”．
∴所求最小值为2.
思维升华 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件．
(2022·湖北改编)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________.
答案
解析 通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系．
由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①与a2＋b2＋c2＝10相加可得
(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令，
则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.
1．对于带有确定值的不等式的求解，要把握好三个方法：一个是依据确定值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二
是依据确定值的意义，接受零点分区去确定值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中依据不同的问题情境机敏选用这些方法．
2．使用确定值三角不等式求最值很便利，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6.
3．易错点：解确定值不等式时忽视去掉确定值的分界点；在使用算术—几何平均不等式求最值时忽视争辩等号成立的条件.
真题感悟
1．(2022·江西改编)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为________．
答案 3
解析 ∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
2．(2022·湖南)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为{x|－<x<}，则a＝________.
答案 －3
解析 ∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.
当a>0时，－<x<，与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，<x<－，又不等式的解集为
{x|－<x<}，故a＝－3.
押题精练
1．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为______．
(2)若a＝2，且f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 (1)2 (2)(－∞，5]
解 方法一 (1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g(x)>5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
方法二 (1)同方法一．
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
2．设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件．
解 由于a，b，c均为正实数，
所以≥≥，
当且仅当a＝b时等号成立；
≥≥，
当且仅当b＝c时等号成立；
≥≥，
当且仅当a＝c时等号成立．
三个不等式相加，得＋＋≥＋＋，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(推举时间：40分钟)
1．假如关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是R，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析 在数轴上，结合确定值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
2．(2022·重庆)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，]
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<时，y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.由于不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]．
3．若不等式|ax＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a＝________.
答案 －2
解析 由－4<ax＋2<4，得－6<ax<2.
当a>0时，－<x<，与解集(－1,3)不符；
当a<0时，<x<－，∴a＝－2.
4．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1,4]
解析 由确定值的几何意义知，|x＋3|＋|x－1|的几何意义为数轴上点x到点－3,1的距离的和，
则|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，
∴不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
∴a的取值范围为[－1,4]．
5．已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.
答案 {x|－2≤x≤5}
解析 由|x＋3|＋|x－4|≤9，
当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；
当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；
当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4<x≤5.
综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．
又∵x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)，
∴x≥2－6＝－2，当且仅当t＝时取等号．
∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
6．已知关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．
答案 －7
解析 |x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，要使关于x的不等式不是空集，则|a－1|≤8，∴－7≤a≤9，即a的最小值为－7.
7．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1,3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
答案 (－3,3)
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1,3)，
∴>0且－1,3是x2－bx＋c＝0的两根．
则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t|≥7>1,1＋t2≥1，
则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－3<t<3.
8．(2021·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案 －2
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.
9．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．
答案 T1≤T2
解析 由于－＝s·
＝≤0.
所以T1≤T2.
10．设0<x<1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是________．
答案 c
解析 由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x>a2，a>0，b>0得b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大．
11．设x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________．
答案 M<N
解析 N＝＋>＋＝＝M.
12．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．
答案 M>N
解析 ∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
13．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
答案 5
解析 ∵|x－1|≤1，
∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.
又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，
从而－6≤－2y≤－2.
由同向不等式的可加性可得
－6≤x－2y≤0，
∴－5≤x－2y＋1≤1，
∴|x－2y＋1|的最大值为5.
14．不等式>|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (4,6)
解析 ＝|x|＋≥2，
所以|a－5|＋1<2，即|a－5|<1，∴4<a<6.
15．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 由确定值的几何意义知
|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
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