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第1讲 几何证明选讲
考情解读 本讲主要考查相像三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查规律推理力气．
1．(1)相像三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像．
判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像．
判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像．
(2)相像三角形的性质
①相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比；
②相像三角形周长的比等于相像比；
③相像三角形面积的比等于相像比的平方．
(3)直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
2．(1)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
3．(1)圆内接四边形的性质定理
①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形判定定理
假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
4．(1)圆的切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)圆的切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(3)弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(5)切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相像，若不相像，则进行线段替换或等比替换．
6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要留意找相等的角，找相像三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应留意代数法在解题中的应用．
热点一 相像三角形及射影定理
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC的值为________．
答案 3∶2
解析 方法一 由于∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
所以()2＝＝.
又AD∶BD＝9∶4，
所以AC∶BC＝3∶2.
方法二 由于AD∶BD＝9∶4，
所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋.
又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
由射影定理，得CD2＝AD·BD，
所以CD＝6k.
由勾股定理，得AC＝3和BC＝2，
所以AC∶BC＝3∶2.
思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相像三角形中的基本图形，本题中毁灭多对相像三角形，这为解决问题供应了很多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相像三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理格外简捷．
如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，BE的长为________．
答案 4
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，
∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，∴BE＝＝＝4.
热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用
例2 如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，则tan∠ACD和sin P的值为________．
答案 ，
解析 连接OC，BC.由于PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.
故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.
由条件，得∠PCA＝∠PBC，
又∠P＝∠P，
所以△PCA∽△PBC.
所以＝.
由于AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.
所以tan∠ACD＝tan B＝＝＝＝.
由于PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°.
又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.
所以sin P＝＝＝.
思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后依据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．
(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相像进行转化，在圆中的相关问题，应留意机敏利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．
(2021·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝____________.
答案 2
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.
热点三 圆的有关性质的综合应用
例3 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
若△ABC的面积S＝AD·AE，则∠BAC的大小为________．
答案 90°
解析 由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
由于∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，
则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝90°.
思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加确定的挂念线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；其次应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时留意四点共圆的判定及性质的应用．
(2021·湖北)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为________．
答案 8
解析 易知△CDO∽△CED，
∴＝，
设圆O半径为R，则AD＝R，OD＝R，
∴CD2＝R2－(R)2＝R2，
∴CE＝＝R，EO＝R，故＝8.
1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相像或全等，利用平行线的有关定理，犹如位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等查找中间量进行过渡．
2．证明或查找圆内接图形中的角之间的关系，除了留意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应留意弦切角、同弧所对角等性质的机敏运用．
真题感悟
1．(2022·湖南)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．
答案
解析 如图，延长AO交圆O于点D，连接BD，则AB⊥BD.
在Rt△ABD中，AB2＝AE·AD.
∵BC＝2，AO⊥BC，∴BE＝.
∵AB＝，∴AE＝1，
∴AD＝3，∴r＝.
2．(2022·广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝_________________________.
答案 9
解析 在平行四边形ABCD中，由于EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.由于AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝()2＝9.
押题精练
1.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
答案
解析 连接DE，由于E是AB的中点，
故BE＝.
又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，
F是AD的中点，故EF＝.
2．(2022·陕西)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝____________.
答案 3
解析 ∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，
∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3.
3．(2022·天津改编)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.
则全部正确结论的序号是________．
答案 ①②④
解析 对于①，∵BF是圆的切线，
∴∠CBF＝∠BAC，∠4＝∠1.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，
即BD平分∠CBF，故①正确；
对于②，依据切割线定理有FB2＝FD·FA，
故②正确；
对于③，∵∠3＝∠2，∠BED＝∠AEC，
∴△BDE∽△ACE.
∴＝，即AE·DE＝BE·CE，故③错误；
对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD＝∠AFB，
∴△BFD∽△AFB，∴＝，
即AF·BD＝AB·BF，故④正确．
(推举时间：40分钟)
1．(2022·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
答案 4
解析 由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.则PB＝PA＝2QA＝4.
2．(2022·重庆)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.
答案 4
解析 由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.
3．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．
答案
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.∵＝，＝，
∴＝.
4．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
答案
解析 由于AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，
所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，
所以4x2＝，所以x＝.
5.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则的值为______．
答案
解析 过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点，
∴在△BDM中，BF＝FM，
又点D是AC的中点，
∴在△CAF中，CM＝MF，
∴＝＝.
6．(2021·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
答案 2
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.
7.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.
答案
解析 由切割线定理可得PA2＝PB·PC，
即PC＝＝＝4，
所以BC＝PC－PB＝3，
由于AC是圆O的直径，
所以∠ABC＝90°，
所以AB2＝BC·BP＝3，
所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，
即AC＝＝2，
所以2R＝2，即R＝.
8．如图，AB，CD是圆O内的两条平行弦，BF∥AC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC＝ED＝1，PA＝2，则AC的长为________．
答案
解析 ∵PA是⊙O的切线，
∴由切割线定理得PA2＝PC·PD.
∵PA＝2，PC＝1，
∴PD＝4.
又∵PC＝ED＝1，
∴CE＝2，由题意知四边形ABEC为平行四边形，
∴AB＝CE＝2，连接BC，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝∠CBA.
∵AB，CD是圆的两条平行弦，
∴∠PCA＝∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，∴＝，
∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝.
9．如图，已知AD＝5，DB＝8，AO＝3，则圆O的半径OC的长为________．
答案 5
解析 由圆的割线定理得，AE·AC＝AD·AB，即(AO－OE)·(AO＋OC)＝AD·(AD＋DB)，即(3－OC)·(3＋OC)＝5×(5＋8)，解得OC＝5.
10．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°得到OD，则PD的长为________．
答案
解析 ∵PA切⊙O于点A，B为PO的中点，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD中，由余弦定理，得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－)＝7，故PD＝.
11．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，则PA·PB＝________.
答案 12
解析 由AD＝BD＝4，得∠PAD＝∠B，又∠B＝∠C，所以∠PAD＝∠C，又∠ADP＝∠CDA，所以△ADP∽△CDA.又PC＝6，设PD＝x，由＝，得＝，解得x＝2或x＝－8(舍去)，
即PD＝2，由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD＝6×2＝12.
12.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，则AD∶BC＝________.
答案 2∶5
解析 设AC＝k，则AB＝2k，BC＝k，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，
∴k2＝CD·k，∴CD＝k，
又BD＝BC－CD＝k，
∴AD2＝CD·BD＝k·k＝k2，
∴AD＝k，∴AD∶BC＝2∶5.
13.如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连接BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为________．
答案 6
解析 过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，则BD＝，由Rt△DFB∽Rt△ENB，
知＝，
所以EN＝，又BD∥EC，所以EN为△BCD底边BD上的高，故S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DF＋BD·EN＝×3×3＋××＝6.
14.如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD＝，则AB＝________，
EF＝________.
答案 3
解析 ∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.
∵CD⊥AB于D，
∴由射影定理得CD2＝AD·BD.
∵AD＝2BD，CD＝，
∴()2＝2BD·BD，解得BD＝1，
∴AD＝2BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3.
在Rt△CDE中，∵E为AD的中点，
∴DE＝AD＝1，又CD＝，
∴CE＝＝，
又AE＝DE＝1，EB＝2，
由相交弦定理得EF＝＝.
15.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．
答案 4π
解析 ∠ACD＝∠ABC＝30°，
AC＝＝2，
AB＝＝4，
故圆O的面积为π·22＝4π.
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