2022届高考数学(全国通用)：单元评估检测(六).docx

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单元评估检测(六)
第六章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·大庆模拟)若a<b<0,则下列不等式不成立的是(　　)
A.> B.> C.|a|>|b| D.a2>b2
【解析】选A.特值法:令a=-2,b=-1,代入可知A不成立.
2.(2021·湖北八校联考)不等式组表示的平面区域是
(　　)
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
【解析】选D.由(x-y+3)(x+y)≥0,得或且0≤x≤4,故所求平面区域为等腰梯形.
3.已知集合A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则A∩B=(　　)
A.(-3,2] B.(-3,+∞)
C.
【解析】选B.由约束条件|x|+|y|≤1,作出可行域如图,设z=2x+y,则y=-2x+z,平移直线y=-2x,当经过点A(1,0)时,z取得最大值2,当经过点B(-1,0)时,z取得最小值-2,故选B.

7.(2021·昆明模拟)已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=(　　)
A.2 B.-2 C.- D.
【解析】选B.依据不等式与对应方程的关系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的两个根,所以-1×=-,所以a=-2,故选B.
8.已知关于x的方程x2+2px+(2-q2)=0(p,q∈R)有两个相等的实数根,则p+q的取值范围是(　　)
A. B.(-2,2)
C. D.(-,)
【解题提示】利用Δ=0,得到p,q的关系,再利用基本不等式的变形公式求得p+q的范围.
【解析】选A.由题意知4p2-4(2-q2)=0,即p2+q2=2,
由于≤=1,
所以-1≤≤1,即-2≤p+q≤2,故选A.
9.(2021·杭州模拟)设二元一次不等式组
所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[,9]
【解析】选C.作二元一次不等式组的可行域如图所示,
由题意得A(1,9),C(3,8).
当y=ax过A(1,9)时,a取最大值,此时a=9;
当y=ax过C(3,8)时,a取最小值,此时a=2,所以2≤a≤9.
10.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于(　　)
A.f(1)+2f(1)+…+nf(1)
B.f
C.n(n+1)
D.n(n+1)f(1)
【解析】选D.由已知f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)
=2f(1)=4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=6,…,依此类推,f(n)=f(n-1+1)
=f(n-1)+f(1)=…=nf(1)=2n,所以f(1)+f(2)+…+f(n)=2+4+6+…+2n
==n(n+1).故C正确,明显A,B也正确,只有D不行能成立.
11.(2021·六盘水模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是(　　)
A.2- B.-1 C.3+2 D.3-2
【解题提示】先利用已知条件确定出a,b的关系,再用均值不等式求最小值.
【解析】选C.由x2+y2-2x-4y-6=0得
(x-1)2+(y-2)2=11,
若直线2ax+by-2=0平分圆,
则2a+2b-2=0,即a+b=1,
所以+=+=3++
≥3+2=3+2,
当且仅当=,且a+b=1,即a=2-,b=-1时取等号.
12.(2021·郑州模拟)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立,假照实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是(　　)
A.(3,7) B.(9,25)
C.(13,49) D.(9,49)
【解题提示】由已知不等式组得到m,n的不等式组,利用线性规划解得取值范围.
【解析】选C.依题意得-f(n2-8n)=f(2-n2+8n),于是题中的不等式组等价于又函数f(x)是R上的增函数,所以上述不等式组等价于即留意到m2+n2=可视为动点(m,n)与原点间的距离的平方,因此问题可转化为不等式组表示的平面
区域内的全部的点(m,n)与原点间的距离的平方的取值范围,该不等式组表示的平面区域是如图所示的半圆及直线m=3所围成的区域(不含边界),结合图象不难得知,平面区域内的全部的点与原点间的距离的平方应大于原点与点(3,2)间的距离的平方,应小于原点与点(3,4)间的距离再加上2的和的平方,即当m>3时,m2+n2的取值范围是(13,49).
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2021·衡阳模拟)已知点C在直线AB上运动,O为平面上任意一点,
且=x+4y(x,y∈R+),则x·y的最大值是　　　　.
【解析】由题易知x+4y=1,xy=x·4y
≤=,当且仅当x=4y=时取等号.
答案:
14.(2021·北京模拟)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　.
【解析】该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为·4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x(万元),·4+4x≥160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案:20
15.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为
…问:
(1)此表第n行的第一个数与最终一个数分别是多少?
(2)此表第n行的各个数之和是多少?
(3)2021是第几行的第几个数?
【解析】(1)此表第n行的第一个数为2n-1,第n行共有2n-1个数,依次构成公差为1的等差数列.
由等差数列的通项公式,此表第n行的最终一个数是2n-1+(2n-1-1)×1=2n-1.
(2)由等差数列的求和公式,此表第n行的各个数之和为
=22n-2+22n-3-2n-2.
(3)设2021在此数表的第n行.
则2n-1≤2021≤2n-1可得n=11.
故2021在此数表的第11行,
设2021是此数表的第11行的第m个数,而第11行的第1个数为210,
因此,2021是第11行的第992个数.
20.(12分)(2021·无锡模拟)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度确定,池的四周墙壁建筑单价为每米400元,中间一条隔壁建筑单价为每米100元,池底建筑单价每平方米60元(池壁厚忽视不计).
(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.
(2)假如受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.
【解析】(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,
总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12000≥1600+12000=36000(元),当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.
即污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.
(2)记g(x)=x+(0<x≤14.5),明显是减函数,
所以x=14.5时,g(x)有最小值,相应造价f(x)有最小值,此时宽也不超过14.5米.
21.(12分)一种计算装置,有一数据入口点A和一个运算出口点B,依据某种运算程序:
①当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为f(1)=;
②当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n-1)的倍.
试问:当从A口分别输入自然数2,3,4时,从B口分别得到什么数?试猜想f(n)的关系式,并证明你的结论.
【解析】由已知得f(n)=f(n-1)(n≥2,n∈N*),
当n=2时,f(2)=×f(1)=×=,
同理可得f(3)=,f(4)=,
猜想f(n)=(*).
下面用数学归纳法证明(*)成立
①当n=1,2,3,4时,由上面的计算结果知(*)成立.
②假设n=k(k≥4,k∈N*)时,(*)成立,即f(k)=,
那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)=·,
即f(k+1)=,
所以当n=k+1时,(*)也成立.
22.(12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c的一个零点是-1,且满足·≤0恒成立.
(1)求f(1)的值.
(2)求f(x)的解析式.
【解析】(1)由均值不等式得≥=x,
若·≤0恒成立,
即x≤f(x)≤恒成立,
令x=1得1≤f(1)≤=1,故f(1)=1.
(2)由函数零点为-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,
又由(1)知a+b+c=1,
所以解得a+c=b=.
又f(x)-x=ax2+x+c-x=ax2-x+c,
由于f(x)-x≥0恒成立,
所以Δ=-4ac≤0,
因此ac≥①,
于是a>0,c>0.再由a+c=,
得ac≤=②,
故ac=,且a=c=,
故f(x)的解析式是f(x)=x2+x+.

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