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其次章 第三节
一、选择题
1．(文)(2022·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3为奇函数，f(x)＝2－x为非奇非偶函数，∴排解C、D；又f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，排解B，选A．
(理)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
[答案] D
[解析] 本题考查了函数的性质．
由于y＝x|x|＝，是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D．
解答本题可用排解法，选项A不具备奇偶性，选项B在(－∞，＋∞)上是减函数，选项C在(－∞，＋∞)上不具备单调性．
2．下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像确定与y轴相交；
②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数确定是f(x)＝0(x∈R)．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，由于奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是( )
[答案] B
[解析] 本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性．
y＝f(x)为偶函数，周期T＝2.
4．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，假如x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有( )
A．f(－x1)＋f(－x2)>0 B．f(x1)＋f(x2)<0
C．f(－x1)－f(－x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2，
又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)，
又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．
∴f(x1)－f(x2)<0.选D．
5．(文)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
(理)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)
[答案] D
[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝>0，
因此g(0)<f(2)<f(3)，选D．
6．(2022·福建高考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[答案] D
[解析] 本题考查函数的基本性质，由x>0得，x2＋1>1，当x≤0时，cosx∈[－1,1]，故f(x)∈[－1，＋∞)选D．
二、填空题
7．(文)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.
[答案]
[解析] 考查函数的奇偶性．
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
即＋a＝－－a，∴a＝.
(理)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
[答案] ±1
[解析] 解法1 若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．
解法2 由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.
[点评] 解此题时，简洁受习惯影响漏掉k＝－1.生疏的地方也有盲点，学问不全面、平常练习偷懒、保量不保质、解题后不留意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正缘由．
8．(文)(2022·新课标Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
[答案] 3
[解析] 本题考查函数奇偶性、对称性及周期性的综合应用．
∵f(x)＝f(x＋4)，∴周期为4，
∴f(－1)＝f(3)＝3，
找出周期是关键．
(理)(2022·新课标Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
[答案] (－1,3)
[解析] 本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，确定值不等式的解法．
∵偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单减，且f(2)＝0
∴f(x)>0的解集为|x|<2
∴f(x－1)>0的解集为|x－1|<2，解得－1<x<3.
故x∈(－1,3)．
9．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，若f(1)＝2 015，则f(103)＝________.
[答案] －
[解析] ∵f(x＋1)＝，
∴f(x＋2)＝＝＝－.
∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.
∵f(1)＝2 015.
∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－＝－.
三、解答题
10．(文)已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．
[解析] 由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，
∴c＝0.
又f(1)＝2，得a＋1＝2b，
而f(2)<3，得<3，解得－1<a<2，
又a∈Z，∴a＝0或a＝1.
若a＝0，则b＝∉Z，应舍去；若a＝1，则b＝1∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0.
(理)已知f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；
(3)求f(x)(x>0)的最值．
[分析] 利用f(－x)＝－f(x)求a，b的值．
[解析] (1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，
即－＝0恒成立，
则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．
∴a＝b＝0.
(2)∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴只需争辩(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0，
∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0，
函数y＝f(x)是增加的；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，
函数y＝f(x)是削减的．
又f(x)是奇函数，
∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是削减的．
又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值 .
∴f(1)＝，∴函数的最大值为，无最小值．
[点评] (1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．
(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，确定有相应的x的值.
一、选择题
1．(2022·山东高考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)
[答案] D
[解析] 本题属于赐予新定义题目，关键理解实质．
∵f(x)＝f(2a－x)，∴f(x)的对称轴为x＝a≠0即选项为有非零的对称轴的函数．A、B、C不具有轴对称性．故选D．D选项对称轴为x＝kπ－1，k∈Z.
2．(文)函数f(x)＝的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[答案] D
[解析] ∵f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．
(理)已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．以上都有可能
[答案] A
[解析] 由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.
又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，
又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．
∴f(x1)＋f(x2)＞0.
同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.
二、填空题
3．设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.
[答案] －1
[解析] 本题考查函数的周期性，转化与化归思想．
f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
4．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增加的，下列关于f(x)的推断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图像关于直线x＝2对称；
③f(x)在[0,1]上是增加的；
④f(x)在[1,2]上是削减的；
⑤f(4)＝f(0)．
其中推断正确的序号是________．
[答案] ①②⑤
[解析] f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，
故f(x)是周期函数．
又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，
故f(x)关于直线x＝1对称，
同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝2对称．
由此可得①②⑤正确．
三、解答题
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
[解析] 由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，
因此f(1－m)<f(m)等价于
解得：<m≤2.
因此实数m的取值范围是(，2]．
6．(文)已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是递减的；
(3)若f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
[解析] (1)∵函数定义域为R，
∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，
∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)设x1<x2，且x1、x2∈R.
则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)
＝f(x2)－f(x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.
即f(x)在R上单调递减．
(3)由(2)知f(x)在[－2,6]上为减函数．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，
∴f(－2)＝－f(2)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴所以f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
(理)已知函数y＝f(x)的定义域为R.且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)＝－3.
(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；
(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈N＋)上的值域．
[解析] (1)设任意x1，x2∈R，且x1<x2，
f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)＋f(x2－x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.
∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)<f(x1)，
故f(x)是R上的减函数．
(2)∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，
∴可令a＝－b＝x，
则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
从而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
故y＝f(x)是奇函数．
(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，
∴y＝f(x)在[m，n]上也是削减的，
故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，
最小值f(x)min＝f(n)．
由于f(n)＝f[1＋(n－1)]
＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，
同理f(m)＝mf(1)．
又f(3)＝3f(1)＝－3，
∴f(1)＝－1.
∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.
因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．
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