【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章-第3节-函数的奇偶性与周期性.docx

其次章第三节一、选择题1(文)(2022湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x答案A解析f(x)x3为奇函数，f(x)2x为非奇非偶函数，排解C、D；又f(x)x21在(，0)上单调递减，排解B，选A(理)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3CyDyx|x|答案D解析本题考查了函数的性质由于yx|x|，是奇函数且在(，)上是增函数，故选D解答本题可用排解法，选项A不具备奇偶性，选项B在(，)上是减函数，选项C在(，)上不具备单调性2下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像确定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数确定是f(x)0(xR)A1B2C3D4答案A解析错误，如函数f(x)是偶函数，但其图像与y轴没有交点；错误，由于奇函数的定义域可能不包含x0；正确；错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)0，x(a，a)3设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像可能是()答案B解析本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性yf(x)为偶函数，周期T2.4已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，假如x10，且|x1|0Bf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0答案D解析x10，|x1|x2|，0x1x2，又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.选D5(文)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3B1C1D3答案D解析f(x)是奇函数，f(0)0，即020b，b1，故f(1)2213，f(1)f(1)3.(理)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0)Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3)Dg(0)f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)0得，x211，当x0时，cosx1,1，故f(x)1，)选D二、填空题7(文)若f(x)a是奇函数，则a_.答案解析考查函数的奇偶性f(x)为奇函数，f(1)f(1)，即aa，a.(理)若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.答案1解析解法1若定义域中包含0，则f(0)0，解得k1；若定义域中不包含0，则k1，验证得此时f(x)也是奇函数解法2由f(x)f(x)0恒成立，解得k1.点评解此题时，简洁受习惯影响漏掉k1.生疏的地方也有盲点，学问不全面、平常练习偷懒、保量不保质、解题后不留意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正缘由8(文)(2022新课标)偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_. 答案3解析本题考查函数奇偶性、对称性及周期性的综合应用f(x)f(x4)，周期为4，f(1)f(3)3，找出周期是关键(理)(2022新课标)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，确定值不等式的解法 偶函数yf(x)在0，)上单减，且f(2)0f(x)0的解集为|x|0的解集为|x1|2，解得1x3.故x(1,3)9已知函数f(x)满足f(x1)，若f(1)2 015，则f(103)_.答案解析f(x1)，f(x2).f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为4.f(1)2 015.f(103)f(2543)f(3).三、解答题10(文)已知函数f(x)(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值解析由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，c0.又f(1)2，得a12b，而f(2)3，得3，解得1a0)的最值分析利用f(x)f(x)求a，b的值解析(1)f(x)f(x)0恒成立，即0恒成立，则2(ab)x22a0对任意的实数x恒成立ab0.(2)f(x)(xR)是奇函数，只需争辩(0，)上f(x)的单调区间即可任取x1，x2(0，)，且x10，x10，x2x10，而x1，x20,1时，x1x210，当x1，x20,1时，f(x1)f(x2)0，函数yf(x)是削减的又f(x)是奇函数，f(x)在1,0上是增加的，在(，1上是削减的又x0,1，u1,0时，恒有f(x)f(u)，等号只在xu0时取到，故f(x)在1,1上是增加的(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在1，)上递减，则f(x)在x1处可取得最大值 .f(1)，函数的最大值为，无最小值点评(1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，确定有相应的x的值.一、选择题1(2022山东高考)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tanxDf(x)cos(x1)答案D解析本题属于赐予新定义题目，关键理解实质f(x)f(2ax)，f(x)的对称轴为xa0即选项为有非零的对称轴的函数A、B、C不具有轴对称性故选DD选项对称轴为xk1，kZ.2(文)函数f(x)的图像()A关于原点对称B关于直线yx对称C关于x轴对称D关于y轴对称答案D解析f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称(理)已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0B小于0C等于0D以上都有可能答案A解析由x1x20，得x1x2.又f(x)为减函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为R上的奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.二、填空题3设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.答案1解析本题考查函数的周期性，转化与化归思想f(1)f(12)f(1)121.4定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x1)f(x)，且在1,0上是增加的，下列关于f(x)的推断：f(x)是周期函数；f(x)的图像关于直线x2对称；f(x)在0,1上是增加的；f(x)在1,2上是削减的；f(4)f(0)其中推断正确的序号是_答案解析f(x1)f(x)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数又f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，故f(x)关于直线x1对称，同理，f(x4)f(x)f(x)，f(x)关于直线x2对称由此可得正确三、解答题5设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：0时，f(x)0恒成立(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是递减的；(3)若f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解析(1)函数定义域为R，在f(xy)f(x)f(y)中令yx得，f(0)f(x)f(x)令x0，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明：函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明：函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，n(m，nN)上的值域解析(1)设任意x1，x2R，且x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，故f(x)是R上的减函数(2)f(ab)f(a)f(b)恒成立，可令abx，则有f(x)f(x)f(0)又令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意的xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)故yf(x)是奇函数(3)由于yf(x)是R上的单调递减函数，yf(x)在m，n上也是削减的，故f(x)在m，n上的最大值f(x)maxf(m)，最小值f(x)minf(n)由于f(n)f1(n1)f(1)f(n1)nf(1)，同理f(m)mf(1)又f(3)3f(1)3，f(1)1.f(m)m，f(n)n.因此函数yf(x)在m，n上的值域为n，m