资源描述
第九章 9.3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
1.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a<－2或a> B．－<a<0
C．－2<a≤0 D．－2<a<
答案 D
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0
转化为(x＋)2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，
所以若方程表示圆，则有－a2－a＋1>0，
∴3a2＋4a－4<0⇒－2<a<.
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 由题意得线段AB的中点C的坐标为(0,0)，直线AB的斜率为kAB＝－1，
则过点C且垂直于AB的直线方程y＝x，
圆心坐标(x，y)满足，得y＝x＝1，
从而圆的半径为＝2.
因此，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3．过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的全部直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )
A．x＝0 B．y＝1
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 C
解析 依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，选C.
4．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
答案 D
解析 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排解A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排解B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排解C，答案为D.
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x2＋(y－2)2＝1，选A.
6．过圆点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝－x
答案 C
解析 圆x2＋y2＋4x＋3＝0的圆心为P(－2,0)，半径r＝1，如图所示，过原点的直线l切圆于点A，则PA⊥l，|PA|＝1，|OP|＝2，在Rt△PAO中，∠POA＝30°，∴kl＝tan30°＝，∴l的方程为y＝x.
7．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)，且被x轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )
A．(x±)2＋y2＝ B．(x±)2＋y2＝
C．x2＋(y±)2＝ D．x2＋(y±)2＝
答案 C
解析 解法一：(待定系数法)设出圆的方程求解．
解法二：(排解法)由圆心在y轴上，则排解A、B，再由过(1,0)，故半径大于1，排解D.
8．假如直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于相异两点A、B，O是坐标原点，|＋|>|－|，那么实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(，2)
C．(－2，－)∪(，2) D．(－2,2)
答案 C
解析 由|＋|>|－|，(＋)2>(－)2,4·>0，即∠AOB是锐角，点O到直线AB的距离大于1.又直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，因此1<<，由此解得－2<m<－或<m<2，选C.
9．从原点O向圆：x2＋y2－6x＋＝0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为________．
答案 π
解析 如图，圆C：(x－3)2＋y2＝，
所以圆心C(3,0)，半径r＝.
在Rt△POC中，∠POC＝.
则劣弧PQ所对圆心角为.
弧长为：π×＝π.
10．已知两点A(－1,0)、B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值是________．
答案 (4＋)，(4－)
解析 如图所示，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，故圆上的点P到AB的最大值是＋1，最小值是－1.又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋和2－.
11．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，则圆的方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝2
解析 所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为，所以，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
二、填空题
12．已知圆C的方程为x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，全部正确命题的序号是________．
①圆C必定经过坐标原点；
②圆C的圆心不行能在其次象限或第四象限；
③y轴被圆C所截得的弦长为2m；
④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心．
答案 ①②
三、解答题
13．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
解析 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，
∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|，
又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，
圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝，
∴有d2＋()2＝r2，
即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1，
故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
14．已知实数x、y满足x2＋y2－2y＝0.
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
分析 由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上
解析 (1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为
∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1
∵－≤2cosθ＋sinθ≤
∴1－≤2x＋y≤＋1
方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时＝1.
∴b＝1±
∴1－≤2x＋y≤1＋.
(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin(θ＋)＋1
∴x＋y＋c的最小值为1－＋c
∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－＋c≥0
∴c的取值范围为c≥－1
答案 (1)1－≤2x＋y≤1＋ (2)c≥－1
15．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解析 以O1O2的中点O为原点，
O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知PM＝PN，
得PM2＝2PN2.
由于两圆的半径均为1，所以PO－1＝2(PO－1)．
设P(x，y)则
(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33，
所以所求轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．
老师备选题
1．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否过定点(与b无关)？请证明．
解析 解法一：(1)明显b≠0，否则，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b>0，即b<1.所以，b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
(2)由方程x2＋2x＋b＝0，得x＝－1±.
于是二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与坐标轴的交点是(－1－，0)，(－1＋，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得
解上述方程组，因b≠0，得
所以，圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C过定点．证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依靠于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)
为使(*)式对全部满足b<1(b≠0)的b都成立，必需有1－y0＝0，结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0.
解得或
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上．
因此，圆C过定点．
解法二：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．
证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，
得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0，右边＝0.
所以圆C必过定点(0,1)．
同理可证圆C必过定点(－2,1)．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
