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第四章 第五节
一、选择题
1．(文)设<θ<π，且|cosθ|＝，那么sin的值为( )
A． B．－
C．－ D．
[答案] D
[解析] ∵<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.
∵<<，∴sin>0，
又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，
∴sin＝.
(理)(2022·河北唐山检测)已知x∈(－，0)，cos2x＝a，则sinx＝( )
A． B．－
C． D．－
[答案] B
[解析] a＝cos2x＝1－2sin2x，
∵x∈(－，0)，∴sinx<0，∴sinx＝－.
2．(2022·山东淄博一模)已知tanα＝2，那么sin2α的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，选B．
3．(文)(2022·浙江建人高复月考)tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 由于tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.
(理)(2021·兰州名校检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，
又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.
4．(文)若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cos2x－sin2y等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] ∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B．
(理)(2022·福建石狮模拟)函数y＝cos2(x＋)的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为( )
A．π B．
C． D．
[答案] D
[分析] 先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再依据偶函数的性质求出a的最小值．
[解析] y＝cos2(x＋)＝＝＝－sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y＝－sin[2(x－a)]＝－sin(2x－2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有－2a＝＋kπ，k∈Z，即a＝－－，k∈Z，所以当k＝－1时，a有最小值为，故选D．
5．已知α∈，cosα＝，则tan2α等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] A
[解析] ∵－<α<0，cosα＝，
∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，
∴tan2α＝＝－，故选A．
6．(2022·东北三省四市联考)已知α，β∈(0，)，＝，且2sinβ＝sin(α＋β)，则β的值为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由＝，得tanα＝.∵α∈(0，)，∴α＝，∴2sinβ＝sin(＋β)＝cosβ＋sinβ，∴tanβ＝，∴β＝.
二、填空题
7．已知sinα·cosα<0，sinαtanα>0，化简
cos·＋sin·＝________.
[答案] ±sin
[解析] ∵sinα·cosα<0，∴α为其次或第四象限角，
又∵sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，
∴为其次或四象限角．
∴原式＝cos·＋sin·
＝
∴原式＝±sin.
8．(文)已知sinα＝，cosβ＝，其中α、β∈(0，)，则α＋β＝________.
[答案]
[解析] ∵α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝，sinβ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
(理)(2022·山东青岛阶段测试)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于________．
[答案] －
[解析] ∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.
9．(2022·辽宁铁岭一中期中)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
[答案]
[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等学问，考查同学运算力气，
∵0<α<，∴<α＋<，
又cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝＝，
∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝2××＝，
cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1
＝2×()2－1＝，
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin
＝×－×＝.
[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．
三、解答题
10．(文)已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos2α得，
tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
由于α∈，所以sinα＋cosα≠0.
因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.
由α∈，得2α∈.
所以2α＝，即α＝.
(理)(2022·四川理，16)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是其次象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．
[分析] 第(1)问，通过整体思想，将3x＋看作一个整体，借助y＝sinx的单调递增区间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要留意k∈Z不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f()，然后利用和角公式开放整理，得到关于sinα＋cosα与cosα－sinα的方程，再对sinα＋cosα与0的关系进行争辩，得到cosα－sinα的值．
[解析] (1)由于函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，
所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－sinαsin)(cos2α－sin2α)，
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．
当sinα＋cosα＝0时，由α是其次象限角，
知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.
由α是其次象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
一、选择题
11．(2021·东北三省四市联考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°，复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
A．＋i B．＋i
C．－i D．－i
[答案] A
[解析] 由已知条件可得z1z2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i，故应选A．
12．(2022·樟树中学月考)已知tan＝3，则cosα＝( )
A． B．－
C． D．－
[答案] B
[解析] cosα＝cos2－sin2＝
＝＝＝－，故选B．
13．(2021·沈阳、大连联考)已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且B＝，则cosA－cosC的值为( )
A．± B．
C． D．±
[答案] D
[解析] 由三边成等差数列得2b＝a＋c，据正弦定理将边化角得2sinB＝＝sinA＋sinC ①，
令cosA－cosC＝x ②，
将两式两边平方并相加可得2＋2(sinAsinC－cosAcosC)＝2－2cos(A＋C)＝2＋x2，由已知A＋C＝得＝x2，解得x＝±，故选D．
二、填空题
14．(文)(2022·河南六市联考)的值为________．
[答案]
[解析] 原式＝
＝＝.
(理)(2022·江苏灌云高级中学期中)求值：＝________.
[答案]
[解析] 由题意得
＝
＝＝.
15．(2021·江苏苏、锡、常、镇调研)已知钝角α满足cosα＝－，则tan(＋)的值为________．
[答案] －3
[解析] ∵cosα＝－，α为钝角，∴sinα＝，
∴tanα＝＝＝－，由二倍角公式得tanα＝＝－，且tan>0，
解得tan＝2，故tan(＋)＝＝－3.
16．(2022·湖北武汉联考)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α∈(0，)，α＋β∈(，π)，则cosβ的值为________．
[答案]
[解析] ∵α∈(0，)，α＋β∈(，π)，cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴sinα＝＝＝，
sin(α＋β)＝＝＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋×＝.
三、解答题
17．(2021·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f(α)＝.
(1)用sinα表示f(α)；
(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．
[解析] (1)f(α)＝＝.
(2)∵0<α<π，∴sinα>0.
∴f(α)＝sinα＋≥2＝1，
又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1，
此时sinα＝，
即sinα＝，∴α＝或.
又∵0<β<π，0<sinβ≤1，f(α)≥1，
所以f(α)＝sinβ＝1，所以β＝.
综上可知α＝或，β＝.
18．(文)(2022·天津十二区县模拟)已知f(x)＝2cos2x＋2sin(π－x)cos(－x)＋a－(x∈R，a∈R，a为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若当x∈[，]时，g(x)的最小值为2，求a的值及函数y＝g(x)的解析式．
[解析] (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin(2x＋)＋a，
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)f(x)＝2sin(2x＋)＋a向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝2sinx＋a，
当x∈[，]时，g(x)∈[a＋1，a＋]，
g(x)取最小值2，∴a＋1＝2，a＝1，
所以g(x)＝2sinx＋1.
(理)(2021·山东试验中学三诊)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式；
(3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝所围成图形的面积．
[解析] (1)f(x)＝sin2x＋＋a
＝sin(2x＋)＋a＋，∴最小正周期T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝，
∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋)＋.
(3)由题意知g(x)＝sinx，
所求面积为sinxdx＝－cosx|＝1.
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