【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：6.2.docx

第六章 6.2第2课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　B．6
C．8 D．10
答案　A
解析　依题意得a1＋a9＝2a5＝10，a5＝5，选A.
2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin(2a4－)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
答案　D
解析　∵a2＋a6＝，∴2a4＝，∴sin(2a4－)＝sin(－)＝－cos＝－，选D.
3设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝(　　)
A．2n－3 B．2n－1
C．2n＋1 D．2n＋3
答案　C
解析　由⇒⇒，所以通项an＝2n＋1.
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2a＝0，S2m－1＝39，则m＝(　　)
A．38 B．39
C．20 D．19
答案　 C
解析　∵am－1＋am＋1＝2a
又∵am－1＋am＋1＝2am
∴am＝1或0(舍去)
∵S2m－1＝＝(2m－1)am
∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39
∴m＝20.
5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝(　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
答案　B
解析　设公差为d且d>0.
由已知，
得.
解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105
6．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于(　　)
A．7 B.
C. D.
答案　D
解析　＝＝＝＝＝.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1 B.
C．2 D．3
答案　C
解析　由，解得d＝2.
二、填空题
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．
解析　设数列{an}的公差为d，则依题意，得⇒，故直线PQ的斜率为＝＝4.
9．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{}是等差数列，则a11＝________.
答案　0
解析　记bn＝，则b3＝，b5＝，数列{bn}的公差为×(－)＝，b1＝，∴bn＝，即＝，∴an＝，故a11＝0.
10．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．
答案　－2010
解析　在等差数列{an}中，设公差为d，则＝＝a1＋(n－1)，∴－＝a1＋×2008－a1－×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010.
11．方程(x2－x＋m)(x2－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为的等差数列，则mn的值为________．
答案　－
解析　设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，依据等差数列的性质，则有x1＋x4＝x2＋x3＝1
∴2x1＋3d＝1，又d＝，∴x1＝－
∴x2＝，x3＝，x4＝
∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－
12．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
答案　n2＋n
解析　第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.
13．已知数列{an}共有m项，记{an}的全部项和为S(1)，其次项及以后全部项和为S(2)，第三项及以后全部项和为S(3)，…，第n项及以后全部项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n<m时，an＝________.
答案　－2n－1
解析　由题意得S(n)＝an＋…＋am＝n×1＋×2＝n2，当n<m时，S(n＋1)＝an＋1＋…＋am＝(n＋1)2.故an＝S(n)－S(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n－1.
三、解答题
14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)假如1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)假如3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？
答案　(1)7　(2)8
解析　1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an}
(1)a1＝11，S9＝351，求得：d＝7
(2)a3＝23，S9＝351，求得：d＝8
15．(2010·浙江卷，文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
解析　(1)由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)由于S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，
故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
16．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求全部可能的数列{an}的通项公式．
答案　(1)an＝22－2n
(2)an＝12－n和an＝13－n
解　(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，
又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.
因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2, 3，….
(2)由，得，
即
由①＋②得－7d<11，即d>－.
由①＋③得13d≤－1，
即d≤－.于是－<d≤－.
又d∈Z，故d＝－1.④
将④代入①②得10<a1≤12.
又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.
所以全部可能的数列{an}的通项公式是
an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，….

拓展练习·自助餐

1．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是(　　)
A．a21·a22 B．a22·a23
C．a23·a24 D．a24·a25
答案　C
解析　由3an＋1＝3an－2 ，得an＋1＝an－，即数列{an}是以a1＝15为首项，－为公差的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝，可得a23>0，a24<0，即得a23·a24<0，故选C.
2．(09·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．7
答案　B
解析　两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.
3．已知An＝{x|2n<x<2n＋1且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为(　　)
A．792 B．890
C．891 D．990
答案　C
解析　∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，
∴A6的元素x＝71,78,85,92,99,106，…，127，
　m＝9
各数成一首项为71，公差为7的等差数列，
∴71＋78＋…＋127＝71×9＋×7＝891
4．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值是________．
答案　25
解析　方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意：20a1＋×d＝100，即a1＝5－9.5d，
又a7·a14＝(a1＋6d)(a1＋13d)＝ (6d＋5－9.5d)(5－9.5d＋13d)＝25－12.25d2
所以a7·a14的最大值为25.
方法二　∵a7＋a14＝10，
∴a7·a14≤()2＝25.
5．在等差数列{an}中，Sn是它的前n项的和，且S6<S7，S7>S8.有下列四个命题：
①此数列的公差d<0；
②S9确定小于S6；
③a7是各项中最大的一项；
④S7确定是Sn中的最大值．
其中正确命题的序号是________．
答案　①②④
解析　∵S6<S7　∴a7>0
∵S7>S8　∴a8<0
∴d<0，∴S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0
n＝7时，Sn最大．
6．将等差数列3,8,13,18，…按挨次抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．
解析　a1＝3，d＝5，an＝33333，∴33333＝3＋(n－1)×5，∴n＝6667，可得an在第25页，第9行．

老师备选题

1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003＋a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A．4005 B．4006
C．4007 D．4008
答案　B
解析　解法一：S4006＝
＝2003(a2003＋a2004)>0.
∵a2003>0，a2004<0.
∴S4007＝4007a2004<0.
∴4006是Sn>0的最大自然数．
解法二：a1>0，a2003＋a2004>0且a2003·a2004<0
∴a2003>0且a2004<0.
∴S2003为Sn中的最大值．
∵Sn是关于n的二次函数．
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小．
∴在对称轴右侧．
∴4006在抛物线与x轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧．
∴Sn>0中最大的自然数是4006.
2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n＝________.
答案　9
解析　设公差为d，由题设，3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
解得d＝－a1<0，
解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，
得n<，则n≤9.当n≤9时，an>0.
同理，可得当n≥10时，an<0.
故当n＝9时，Sn取得最大值．
3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．求数列{an}的通项公式(用n，d表示)．
解析　由题设知，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝2d－3d2＋2d2n.
由2a2＝a1＋a3，得2(2d＋d2)＝a1＋2d＋3d2，解得＝d.
故当n≥2时，an＝2nd2－d2.
又a1＝d2，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)d2.
4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不行能，请说明理由；
解　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不行能为等差数列．证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得
a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即
(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，
这与{an}为等差数列冲突．所以，对任意λ，{an}都不行能为等差数列．
5．已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2·a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，若{bn}也是等差数列，求非零常数c；
(3)求f(n)＝(n∈N*)的最大值．
解析　(1){an}为等差数列，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝14，又a2·a3＝45.
∴a2，a3是方程x2－14x＋45＝0的两实根．
又公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9.
∴⇒.∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2.
即2·＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)．
∴bn＝＝2n.
易知{bn}是等差数列，故c＝－.
(3)f(n)＝＝
＝≤＝.
当且仅当n＝，即n＝5时取等号，∴f(n)max＝.