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高考压轴大题突破练(二)
——直线与圆锥曲线(2)
(推举时间：70分钟)
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
由于|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.
整理得2()2＋－1＝0，
解得＝－1(舍)，或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A(c，c)，B(0，－c)，
所以|AB|＝ ＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
由于d2＋()2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点M(4,1)，直线l：x－y＋m＝0交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求m的取值范围；
(2)若直线l不经过点M，求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．
(1)解 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由于2c＝2，所以a2＝b2＋c2＝b2＋15，又由于椭圆过点M(4,1)，所以＋＝1，解得b2＝5，a2＝20，
故椭圆方程为＋＝1，
将y＝x＋m代入＋＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，
Δ＝(8m)2－20(4m2－20)>0，解得－5<m<5.
(2)证明 设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
k1＋k2＝＋
＝，
则(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)
＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)(x1－4)
＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)
＝－－8(m－1)＝0.
所以k1＋k2＝0，即直线MA，MB的斜率互为相反数．
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
解 (1)由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝b2，又b＝＝，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)，由
得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，
得k2<，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，①
∴y1y2＝k(x1－4)k(x2－4)＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)·－4k2·＋16k2＝25－，
∵0≤k2<，
∴－≤－<－，
∴－4≤25－<，
∴·∈[－4，)，
即·的取值范围是[－4，)．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵e2＝＝＝，
∴a2＝3b2，
∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.
设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则
d＝＝
＝＝，
∴当y＝－1时，d取得最大值，且dmax＝＝3，
解得b2＝1，∴a2＝3.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，
即m2＝3－3n2.
设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，
d′＝＝.
∴|AB|＝2＝2 .
∴S△OAB＝|AB|d′＝·2 ·
＝ .
∵d′<1，∴m2＋n2>1，
∴0<<1，
∴1－>0.
∴S△OAB＝
≤ ＝，
当且仅当＝1－，
即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值.
由得
∴存在点M满足题意，M点坐标为，，或，
此时△OAB的面积为.
5．(2022·山东)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，恳求出最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知F(，0)．
设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0)．
由于|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①由(1)知F(1,0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)．
由于|FA|＝|FD|，则x0＋1＝|xD－1|，
由xD>0，x0>0，得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，
故直线AB的斜率kAB＝－.
由于直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)．
由y＝4x0，
整理可得y＝(x－1)，
所以直线AE恒过点F(1,0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，
所以直线AE过定点F(1,0)．
②由①知直线AE过焦点F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1.
由于点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.
设B(x1，y1)，由①知，kAB＝－，
所以直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
由根与系数的关系，得y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝＝4.
则△ABE的面积
S＝×4≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
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