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高考中档大题规范练
高考中档大题规范练(一)
——三角函数与平面对量
(推举时间：60分钟)
1．(2022·江苏)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解 (1)由于α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝×＋×＝－.
2．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a.
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．
解 f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，
从而sin(2x＋)∈[，1]．
∴f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1∈[a＋2，a＋3]，
∵f(x)有最大值4，即a＋3＝4，∴a＝1.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，
又△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4，
联立方程解得a＝2，b＝2.
(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A.
当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
则△ABC的面积S＝bc＝；
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，
联立方程解得a＝，b＝.
则△ABC的面积S＝absin C＝，
综上，△ABC的面积为.
4．(2022·山东)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)．
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
由于y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，
所以
即解得
(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)，得sin(2φ＋)＝1，
由于0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.
5．(2022·上海) 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建筑广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)?
解 (1)令DC＝h，则tan α＝＝，tan β＝＝.
由于90°>α≥2β>0°，所以tan α≥tan 2β＝>0，
即≥＝>0，解得0<h≤20≈28.28，
所以，CD的最大长度是28.28米．
(2)设CD＝h，BD＝m，在△ABD中，由正弦定理得，＝，
解得m＝·sin 38.12°≈85.064.
在△BCD中，由余弦定理得，h2＝802＋m2－2·80·m·cos 18.45°，解得h≈26.93，所以，CD的长是26.93米．
6．已知函数f(x)＝sin2(＋)＋sin(＋)cos(＋)－.
(1)在△ABC中，若sin C＝2sin A，B为锐角且有f(B)＝，求角A，B，C；
(2)若f(x)(x>0)的图象与直线y＝交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前2n项和，n∈N*.
解 (1)由于f(x)＝＋sin(x＋)－＝sin(x＋)－cos(x＋)＝sin(x＋－)＝sin x，又f(B)＝，故sin B＝.
又B为锐角，所以B＝.
由sin C＝2sin A，得c＝2a，
所以b2＝a2＋4a2－2a·2acos＝3a2.
所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形，C＝，A＝－＝.
综上，A＝，B＝，C＝.
(2)由正弦曲线的对称性、周期性，可知
＝，＝2π＋，…，
＝2(n－1)π＋，
所以x1＋x2＋…＋x2n－1＋x2n
＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π＝nπ＋n(n－1)·4π
＝(2n2－n)π.
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