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高考压轴大题突破练(四)
——函数与导数(2)
(推举时间：70分钟)
1．已知函数f(x)＝ln x－，a∈R.
(1)已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线8x－y＝0垂直，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－
＝＝，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝＝1－.
由于该切线与直线8x－y＝0垂直，
所以1－＝－，
解得a＝.
所以f(x)＝ln x－，
f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0，即＝0，
解得x＝2或x＝.
当x∈(0，)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以f(x)的极大值为f()＝ln－＝－ln 2，微小值为f(2)＝ln 2－＝－＋ln 2.
(2)f′(x)＝，
由于f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．
当x∈(0，＋∞)时，
由x2＋(2－2a)x＋1≥0，得2a－2≤x＋，
而x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝，即x＝1时取得等号)，
所以2a－2≤2，解得a≤2，即a的取值范围是(－∞，2]．
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数．
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意可得解得
所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(t，t3－3t)，由(1)知f′(x)＝3x2－3，所以切线斜率k＝3t2－3，
切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．
又切线过点A(2，m)，代入得m－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，解得m＝－2t3＋6t2－6.
设g(t)＝－2t3＋6t2－6，令g′(t)＝0，
即－6t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝2.
当t变化时，g′(t)与g(t)的变化状况如下表：
t
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
g′(t)
－
0
＋
0
－
g(t)
微小值
极大值
所以g(t)的微小值为g(0)＝－6，极大值为g(2)＝2.
作出函数草图(图略)，由图可知：
①当m>2或m<－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6只有一解，即过点A只有一条切线；
②当m＝2或m＝－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6恰有两解，即过点A有两条切线；
③当－6<m<2时，方程m＝－2t3＋6t2－6有三解，即过点A有三条切线．
3．已知函数f(x)＝aln x－bx2.
(1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值；
(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对全部的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意知，f(x)＝2ln x－x2，
f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<；
令f′(x)<0，得<x≤e，
∴f(x)在[，)上单调递增，在(，e]上单调递减，
∴f(x)max＝f()＝ln 2－1.
(2)当b＝0时，f(x)＝aln x，若不等式f(x)≥m＋x对全部的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，则aln x≥m＋x对全部的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，即m≤aln x－x，对全部的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，
令h(a)＝aln x－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.
∵x∈(1，e2]，∴ln x>0，
∴h(a)在[0，]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，
∴m≤－x对全部的x∈(1，e2]都成立．
∵1<x≤e2，∴－e2≤－x<－1，
∴m≤(－x)min＝－e2.
即实数m的取值范围为(－∞，－e2]．
4．已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的微小值；
(2)当a＝－1时，过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；
(3)设定义在D上的函数y＝g(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，若>0在D内恒成立，则称点Q为函数y＝g(x)的“好点”．当a＝8时，试问函数y＝f(x)是否存在“好点”，若存在，恳求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x，f′(x)＝2x－3＋＝＝(x>0)，
当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝1时，f(x)取到微小值－2.
(2)当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x2－x，
f′(x)＝2x－1－(x>0)，
所以切线的斜率k＝2m－1－＝＝，
整理得m2＋ln m－1＝0，
明显m＝1是这个方程的解，
又y＝x2＋ln x－1在(0，＋∞)上是增函数，
所以方程x2＋ln x－1＝0有唯一实数解，故m＝1.
(3)当a＝8时，f(x)＝8ln x＋x2－10x，
f′(x)＝2x－10＋，
函数y＝f(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0))处的切线方程h(x)＝(2x0＋－10)(x－x0)＋x－10x0＋8ln x0.
设F(x)＝f(x)－h(x)，则F(x0)＝0，
F′(x)＝f′(x)－h′(x)＝(2x＋－10)－(2x0＋－10)
＝，
①若0<x0<2，F(x)在(x0，)上单调递减，
所以当x∈(x0，)时，F(x)<F(x0)＝0，
此时<0，不合题意，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；
②若x0>2，F(x)在(，x0)上单调递减，
所以当x∈(，x0)时，F(x)>F(x0)＝0，
此时<0，不合题意，
所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；
③若x0＝2，F′(x)＝≥0，
即F(x)在(0，＋∞)上是增函数，
当x>x0时，F(x)>F(x0)＝0，
当x<x0时，F(x)<F(x0)＝0，
>0恒成立，
所以点(2，－16＋8ln 2)为函数y＝f(x)的“好点”．
故函数y＝f(x)存在“好点”，“好点”的横坐标为2.
5．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1.
(1)若函数f(x)在点A(1，f(1))处的切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，求a的值；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．
(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
所以f(1)＝ln 1－a＋1＝1－a，f′(1)＝1－a.
故切线l的方程为y－(1－a)＝(1－a)(x－1)，
即y＝(1－a)x.
由于切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，
所以1－a＝，解得a＝.
(2)解 若a≤0，则f′(x)＝－a>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
而f(1)＝1－a>0，f(x)≤0不恒成立，故a>0.
考虑a>0，则当x∈(0，)时，f′(x)＝－a>0；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＝－a<0.
所以f(x)在(0，)上是单调递增函数，
在(，＋∞)上是单调递减函数．
所以f(x)的最大值为f()＝－ln a.
要使f(x)≤0恒成立，只须－ln a≤0即可．
由－ln a≤0，解得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．
(3)证明 由(2)，知当a＝1时，f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)＝0，所以ln x<x－1在x∈(0,1)上恒成立．
令x＝(k∈N*)，则ln<－1＝－，
令k＝1,2，…，n，则有ln<－，ln<－，ln<－，…，ln<－，
以上各式两边分别相加，
得ln＋ln＋…＋ln<－(＋＋…＋)，
即ln<－(＋＋…＋)，
故ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．
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