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时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是( )
A. B. C. D.
解析 记3只白球为A、B、C,1只黑球为D，则随机摸出两只球的基本大事空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个．其中，颜色不同的有3种，故所求概率为P＝＝.
答案 A
2．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面对上的概率为( )
A．0.5 B．0.25
C．0.125 D．0.375
解析 掷3枚均匀硬币，设正面对上的个数为X，则X听从二项分布，即X～B，∴P(X＝2)＝C·2·＝＝0.375.
答案 D
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面对上”为大事A，“骰子向上的点数是3”为大事B，则大事A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 大事A，B中至少有一件发生的概率是
1－P(·)＝1－×＝.
答案 C
4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再嬴一局就获冠军，乙队需要再嬴两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种状况：第一种状况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；其次种状况是再打两局，第一局甲输，其次局甲赢．则其概率为×＝.故甲获得冠军的概率为＋＝.
答案 D
5．(2021·四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得此概率为一几何概型，设第一串彩灯亮的时刻为x，其次串彩灯亮的时刻为y，则要使它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒，则如图所示，正方形面积为16，阴影部分面积为16－2×2＝12，故P＝＝.
答案 C
6．(2021·湖北卷)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝，故选B.
答案 B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值为________．
解析 由题意知：解得
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
答案
8．(2021·福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则大事“3a－1>0”发生的概率为________．
解析 此概率为一几何概型，概率为区间长度的比，3a－1>0即a>，所以P＝.
答案
9．(2021·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
解析 正奇数m有4个，正奇数n有5个，故P＝＝.
答案
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)(2021·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为大事A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的全部可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
11．(本小题10分)(2021·陕西卷)在一场消遣晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
解 (1)设A表示大事“观众甲选中3号歌手”，B表示大事“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
∵大事A与B相互独立，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·＝×＝.(或P(A)＝＝.)
(2)设C表示大事“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝.
∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为
P(X＝0)＝P()＝××＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
12．(本小题10分)(2021·浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求abc.
解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a:b:c＝3:2:1.
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