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课时提升作业(三)
简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·云南师大附中模拟)命题“全部实数的平方都是正数”的否定为( )
A.全部实数的平方都不是正数
B.有的实数的平方是正数
C.至少有一个实数的平方不是正数
D.至少有一个实数的平方是正数
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,所以“全部实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.
2.已知命题p:若x∈N*,则x∈Z.命题q:∃x0∈R,12x0-1=0.则下列命题为真命题的是( )
A.p B.p∧q
C.p∨q D.(p)∨(q)
【解析】选D.明显命题p为真;由于对∀x∈R,都有12x-1>0,所以命题q为假,所以q为真,由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确.
3.(2022·温州模拟)“p∨q为真”是“p为假”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由p∨q为真,得p,q至少有一个为真.
因此p不愿定为假;但p为假,
则p为真,确定有“p∨q为真”.
4.(2022·北京模拟)下列命题的否定为假命题的是( )
A.∃x0∈R,x02+2x0+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.全部能被3整除的整数都是奇数
D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1
【思路点拨】只需推断原命题为真即可.
【解析】选D.对于A,由于Δ=22-4×2=-4<0,所以x2+2x+2>0恒成立,故A假;对于B,一般平行四边形的四个顶点就不共圆,所以B假;对于C,6能被3整除但不是奇数;D明显正确.综上应选D.
5.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0,命题q:∀x∈R,x2>0,则( )
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(q)是真命题
D.命题p∨(q)是假命题
【解析】选C.当x=12时,x-2>lgx明显成立,所以p真;当x=0时,x2=0,所以q假,q真.由此可知C正确.
6.已知命题p:“若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a=1”;命题q:“a12>b12”是“a>b”的充要条件,则( )
A.p真,q假 B.“p∧q”真
C.“p∨q”真 D.“p∨q”假
【解析】选D.对于p,若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a2-1=0,所以a=±1,对于q,由a12>b12,得a>b,反之不成立,故命题p为假命题,命题q为假命题,故p∨q为假,选D.
7.(2021·杭州模拟)已知命题:p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-1或a=1 B.a≤-1或1≤a≤2
C.a≥1 D.a>1
【解析】选D.由于命题“p且q”是真命题,所以p与q均为真命题,命题:p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,为真命题,则a≤1,所以p为真命题时,a>1;命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,为真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≤-2或a≥1,所以a>1.
8.(力气挑战题)给出下列四个命题:
①若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题;
②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;
③命题“任意x∈R,x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R,x02+1<0”;
④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.
其中不正确命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.由于p与q中只要有一个为假,p∧q就为假,所以①错误;由否命题的定义知②正确;由全称命题否定的意义知③正确;依据正弦定理知,在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,所以④正确.综上应选D.
【加固训练】(2022·武汉模拟)下列四个命题中真命题的个数是( )
①“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件;
②命题“∃x0∈R,x02-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”;
③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真;
④命题p:∀x∈[0,1],2x≥1,命题q:∃x0∈R,x02+x0+1<0,则p∨q为真.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.命题①中,{x|x<1}是不等式x2-3x+2>0的解集{x|x<1或x>2}的真子集,所以“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,所以①正确.命题②明显正确.命题③中,当m=0时,其逆命题不成立,故③错.命题④中,p为真,q为假,所以p∨q为真,故④正确.综上所述,真命题的个数为3.故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·绍兴模拟)命题“存在实数x0,使x02+2x0-8=0”的否定是 .
【解析】特称命题的否定为全称命题.所以命题的否定是对任意实数x,都有x2+2x-8≠0.
答案:对任意实数x,都有x2+2x-8≠0
10.设p:∃x0∈1,52使函数g(x0)=log2(tx02+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为 .
【解析】p为假命题,则p为真命题,不等式tx2+2x-2>0有属于1,52的解,即t>2x2-2x有属于1,52的解.又1<x<52时,25<1x<1,所以2x2-2x=21x-122-12∈-12,0.故t>-12.
答案:-12,+∞
11.(2022·西城模拟)已知命题p:函数y=(c-1)x+1在R上单调递增;命题q:不等式x2-x+c≤0的解集是∅.若p且q为真命题,则实数c的取值范围是 .
【思路点拨】p且q为真命题⇔p,q同真.
【解析】要使函数y=(c-1)x+1在R上单调递增,则c-1>0,解得c>1.所以p:c>1.由于不等式x2-x+c≤0的解集是∅,所以判别式Δ=1-4c<0,解得c>14,即q:c>14.由于p且q为真命题,所以p,q同为真,即c>14且c>1,解得c>1.所以实数c的取值范围是c>1.
答案:(1,+∞)
12.(力气挑战题)设命题p:若ax2-ax-1<0在R上恒成立,则0<a<4;命题q:锐角△ABC中,若A=π3,则12<sinB<1.已知下列命题:
①p;②p∨q;③p∧q;④p∨(q).
其中是真命题的是 (只填序号).
【思路点拨】对于命题q真假的推断,关键是由条件锐角三角形,A=π3,及内角和定理限定B的取值范围.
【解析】先推断命题p,当a=0时,不等式为-1<0,明显恒成立;当a≠0时,由不等式恒成立,可得
a<0,Δ=(-a)2-4×a×(-1)<0,即a<0,Δ=a2+4a<0,
解得-4<a<0.
综上,a的取值范围为(-4,0],所以命题p为假命题.
再推断命题q,由于A=π3,故C=π-A-B=2π3-B.
又△ABC为锐角三角形,
所以0<C=2π3-B<π2,0<B<π2,解得π6<B<π2.
又y=sinx在π6,π2上单调递增,所以sinB∈12,1,故命题q为真命题.
综上,p假q真,故p为真命题,q为假命题,p∨q为真命题,p∧q为真命题,p或q为假命题.
答案:①②③
【加固训练】命题p:若函数f(x)=sin2x-π6+1,则fπ3+x=fπ3-x;命题q:函数g(x)=sin2x+1可能是奇函数.则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为 .
【解析】代入易知命题p为真命题;g(0)=1≠0,故函数g(x)不是奇函数,命题q为假命题.
所以“p或q”“非q”为真命题.
答案:2
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·金华模拟)已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+22ax+11a≤0,若p∧q是真命题,求a的取值范围.
【解析】由p:x1和x2是x2-mx-2=0的两根,所以x1+x2=m,x1x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=m2+8,又m∈[-1,1],则有|x1-x2|∈[22,3].由于不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,所以a2-5a-3≥|x1-x2|max=3,所以a2-5a-3≥3,解得a∈(-∞,-1]∪[6,+∞),p就是集合(-1,6);对于q:由题意,知Δ=(22a)2-4×11a=0,所以a=0或a=112.
若p∧q是真命题,即命题p,q都是真命题,
所以a∈0,112.
14.(2022·天水模拟)已知函数f(x)=ax+b1+x2(x≥0),且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,又g(1)=0,f(3)=2-3.
(1)求f(x)的表达式及值域.
(2)问是否存在实数m,使得命题p:f(m2-m)<f(3m-4)和q:gm-14>34满足复合命题p且q为真命题?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由g(1)=0,f(3)=2-3可得a=-1,b=1,故f(x)=1+x2-x(x≥0),由于f(x)=11+x2+x在[0,+∞)上递减,所以f(x)的值域为(0,1].
(2)由于f(x)在[0,+∞)上递减,故p真⇒m2-m>3m-4≥0⇒m≥43且m≠2;
又f34=12,即g12=34,
故q真⇒0<m-14<12≤1⇒1<m<3.
故存在m∈43,2∪(2,3)满足复合命题p且q为真命题.
15.(力气挑战题)设a为实数,给出命题p:关于x的不等式12|x-1|≥a的解集为∅,命题q:函数f(x)=lgax2+(a-2)x+98的定义域为R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求a的取值范围.
【解析】若p正确,则由0<12|x-1|≤1,得a>1.
若q正确,则ax2+(a-2)x+98>0解集为R.
当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去;
当a≠0时,则a>0,(a-2)2-4a×98<0,解得12<a<8.
由题意知,p和q中有且仅有一个正确,
所以a>1,a≤12或a≥8或a≤1,12<a<8,
所以a≥8或12<a≤1.
【方法技巧】依据命题真假确定参数取值范围的方法
(1)把所给命题当真求出参数的取值范围.
(2)依据含规律联结词命题的真值表递推所给命题的真假.
(3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.
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