模煳数学建模方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第 一一章章含糊集基本概念含糊集基本概念第1页一、什么是含糊数学二、含糊数学产生与基本思想三、含糊数学发展四、为何研究含糊数学第一节第一节.含糊数学概述含糊数学概述第2页一、什么是含糊数学一、什么是含糊数学秃子悖论秃子悖论:天下全部人都是秃子天下全部人都是秃子设头发根数设头发根数nn=1 显然显然若若n=k 为秃子为秃子n=k+1 亦为秃子亦为秃子含糊概念含糊概念含糊概念：隶属于该概念到不属于该概念之间含糊概念：隶属于该概念到不属于该概念之间无显著分界限无显著分界限年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。第3页共同特点：含糊概念外延不清楚。共同特点：含糊概念外延不清楚。术语起源术语起源Fuzzy:毛绒绒，边界不清楚毛绒绒，边界不清楚含糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰含糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰含糊概念造成含糊现象含糊概念造成含糊现象含糊数学就是用数学方法研究含糊现象。含糊数学就是用数学方法研究含糊现象。第4页人工智能要求人工智能要求 取得准确数据不可能或很困难取得准确数据不可能或很困难没有必要获取准确数据没有必要获取准确数据含糊数学产生不但形成了一门崭新数学含糊数学产生不但形成了一门崭新数学学科，而且也形成了一个崭新思维方法，学科，而且也形成了一个崭新思维方法，它告诉我们存在亦真亦假命题，从而打破它告诉我们存在亦真亦假命题，从而打破了以二值逻辑为基础传统思维，使得含糊了以二值逻辑为基础传统思维，使得含糊推理成为严格数学方法。伴随含糊数学推理成为严格数学方法。伴随含糊数学发展，含糊理论和含糊技术将对于人类社会发展，含糊理论和含糊技术将对于人类社会进步发挥更大作用。进步发挥更大作用。第5页含糊数学概念含糊数学概念处理现实对象数学模型处理现实对象数学模型确定性数学模型确定性数学模型:确定性或固定性确定性或固定性,对象间有必对象间有必定联络定联络.随机性数学模型随机性数学模型:对象含有或然性或随机性对象含有或然性或随机性含糊性数学模型含糊性数学模型:对象及其关系均含有含糊性对象及其关系均含有含糊性.随机性与含糊性区分随机性与含糊性区分随机性随机性:指事件出现某种结果机会指事件出现某种结果机会.含糊性含糊性:指存在于现实中不分明现象指存在于现实中不分明现象.含糊数学含糊数学:研究含糊现象定量处理方法研究含糊现象定量处理方法.第6页 含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法.众所众所周知，经典数学是以准确性为特征周知，经典数学是以准确性为特征.然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有价然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有价值值.甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好.比如比如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人发戴宽边黑色眼镜中年男人”.尽管这里只提供了一个准确信息尽管这里只提供了一个准确信息男人，而其它信男人，而其它信息息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头脑综合都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头脑综合分析判断，就能够接到这个人分析判断，就能够接到这个人.含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领域含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用.第7页数学建模与含糊数学相关问题数学建模与含糊数学相关问题含糊数学含糊数学研究和处理含糊性现象数学研究和处理含糊性现象数学 （概念与其对立面之间没有一条明确分界（概念与其对立面之间没有一条明确分界限）限）与含糊数学相关问题（一）与含糊数学相关问题（一）含糊分类问题含糊分类问题已知若干个相互之间不分明含已知若干个相互之间不分明含糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个含糊糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个含糊概念来反应更合理准确概念来反应更合理准确含糊相同选择含糊相同选择 按某种性质对一组事物或对按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见问题，不过用来比较性质含象排序是一类常见问题，不过用来比较性质含有边界不分明含糊性有边界不分明含糊性第8页数学建模数学建模与含糊数学相关问题含糊聚类分析含糊聚类分析依据研究对象本身属性结构依据研究对象本身属性结构含糊矩阵，在此基础上依据一定隶属度来确含糊矩阵，在此基础上依据一定隶属度来确定其分类关系定其分类关系 含糊层次分析法含糊层次分析法两两比较指标确实定两两比较指标确实定含糊综合评判含糊综合评判综合评判就是对受到多个原综合评判就是对受到多个原因制约事物或对象作出一个总评价，如产品因制约事物或对象作出一个总评价，如产品质量评定、科技结果判定、某种作物种植适质量评定、科技结果判定、某种作物种植适应性评价等，都属于综合评判问题。因为从应性评价等，都属于综合评判问题。因为从多方面对事物进行评价难免带有含糊性和主多方面对事物进行评价难免带有含糊性和主观性，采取含糊数学方法进行综合评判将使观性，采取含糊数学方法进行综合评判将使结果尽可能客观从而取得更加好实际效果结果尽可能客观从而取得更加好实际效果 第9页第二第二节节 含糊子集及其运算含糊子集及其运算一一.经典集合经典集合 经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一二者必居其一.集合表示法：集合表示法：(1)(1)枚举法，枚举法，A=x1,x2,xn；(2)(2)描述法，描述法，A=x|P(x).A B 若若x A，则则x B；A B 若若x B，则则x A；A=B A B且且 A B.第10页 集合集合A全部子集所组成集合称为全部子集所组成集合称为A幂集，记为幂集，记为(A).并集并集AB=x|x A或或x B；交集交集AB=x|x A且且x B；余集余集Ac=x|x A.集合运算规律集合运算规律 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；第11页分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=U，AAc=；U 为全集，为全集，为空集为空集.集合直积：集合直积：X Y=(x,y)|x X,y Y .第12页 二二.含糊子集及其运算含糊子集及其运算2.1 含糊子集与隶属函数含糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上上含糊子集含糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A隶属隶属函数函数，它表示，它表示x对对A隶属程度隶属程度.使使A(x)=0.5点点x称为称为A过渡点，此点最具含过渡点，此点最具含糊性糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，含糊子集时，含糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它特征函数就是它特征函数.可见经典子集可见经典子集就是含糊子集特殊情形就是含糊子集特殊情形.第13页 例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人身高，表示人身高，那么那么U上一个含糊集上一个含糊集“高个子高个子”(A)隶属函数隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：第14页还可用向量表示法：还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还能够在另外，还能够在U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等含糊等含糊子集子集.从上例可看出：从上例可看出：(1)(1)一个有限论域能够有没有限个含糊子集一个有限论域能够有没有限个含糊子集,而经典子集是有限；而经典子集是有限；(2)(2)一个含糊子集隶属函数确实定方法是主一个含糊子集隶属函数确实定方法是主观观.隶属函数是含糊数学中最主要概念之一，含隶属函数是含糊数学中最主要概念之一，含糊数学方法是在客观基础上，尤其强调主观方法糊数学方法是在客观基础上，尤其强调主观方法.第15页 如：考虑年纪集如：考虑年纪集U=0,100U=0,100，A=“A=“年老年老”，A A也是一个年纪集，也是一个年纪集，u=20 u=20 A A，40 40 呢？呢？扎扎德给出了德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:10U50100第16页再如，再如，B=“年轻年轻”也是也是U一个子集，只是不一样一个子集，只是不一样年纪段隶属于这一集合程度不一样，查德给出它年纪段隶属于这一集合程度不一样，查德给出它隶属函数：隶属函数：102550UB（u）第17页2.2 含糊集运算含糊集运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac隶属函数为隶属函数为Ac(x)=1-A(x).第18页含糊集并、交、余运算性质含糊集并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；第19页对偶律：对偶律：(A B)c=AcBc，(AB)c=Ac Bc；对偶律证实：对于任意对偶律证实：对于任意 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)含糊集运算性质基本上与经典集合一致，含糊集运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U，AAc .含糊集不再含有含糊集不再含有“非此即彼非此即彼”特点，这特点，这正是含糊性带来本质特征正是含糊性带来本质特征.第20页 例例 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集)，在，在U上定义两个含糊集：上定义两个含糊集：A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).第21页第22页第三第三节节 含糊集基本定理含糊集基本定理(A)=A=x|A(x)3.1 3.1 -截集：截集：含糊集含糊集-截集截集A 是一个经典集合，由隶属度是一个经典集合，由隶属度大于大于 组员组成组员组成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们成绩依次为他们成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学习成学习成绩好学生绩好学生”隶属度分别为隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.第23页 定理定理1 1 设设A,B (U)(A,B是论域是论域U 两个两个含糊子集含糊子集)，,0,1，于是有，于是有-截集性质：截集性质：(1)A B A B；(2)A A；(3)(AB)=A B，(AB)=A B.定理定理2(分解定理分解定理)设设A(U)，x A，则，则A(x)=，0,1，x A 定义定义 (扩张原理扩张原理)设设映射映射 f：X Y，定义，定义f(A)(y)=A(x)，f(x)=y 第24页 含糊集数积含糊集数积 设设A (U)(A是论域是论域U 含糊子含糊子集集)，0,1，称，称 A为为 与与A数积，数积，x A,(A)(x)=A(x)性质：性质：(1)A B A B；(2)A A；定理定理3(分解定理分解定理2)设设A(U)，则则第25页第四节 隶属函数确定1.含糊统计方法含糊统计方法 与概率统计类似，但有区分：若把概率与概率统计类似，但有区分：若把概率统计比喻为统计比喻为“变动点变动点”是否落在是否落在“不动圈不动圈”内，则把含糊统计比喻为内，则把含糊统计比喻为“变动圈变动圈”是否盖是否盖住住“不动点不动点”.2.指派方法指派方法 一个主观方法，普通给出隶属函数解析一个主观方法，普通给出隶属函数解析表示式。表示式。3.借用已经有借用已经有“客观客观”尺度尺度第26页隶属函数参数化隶属函数参数化1.1.三角形隶属函数三角形隶属函数参数参数a,b,c确定了三角形确定了三角形MF三个顶点三个顶点x坐坐标标。第27页参参数数a,b,c,d确确定定了了梯梯形形四四个个角角x坐坐标标。当当b=c时，梯形就退化为三角形时，梯形就退化为三角形。2.梯形隶属函数梯形隶属函数第28页3.高斯形隶属函数高斯形隶属函数高高斯斯MF完完全全由由c和和决决定定，c代代表表MF中中心心；决定了决定了MF宽度宽度。第29页4.普通钟形隶属函数参数完全由b通常为正；假如b100100万元万元200200万元万元2020万元万元第三节 含糊综合评价应用第123页第三节、含糊综合评价应用评价评价项目项目科技水平科技水平 成功概率成功概率 经济效益经济效益 高高 中中 低低 大大 中中 小小 高高 中中 低低甲甲 0.7 0.2 0.1 0.1 0.2 0.7 0.3 0.6 0.1乙乙 0.3 0.6 0.1 1 0 0 0.7 0.3 0丙丙 0.1 0.4 0.5 1 0 0 0.1 0.3 0.6第124页第三节第三节、含糊综合评价应用、含糊综合评价应用综合评价：综合评价：综合评价：综合评价：归一化：归一化：归一化：归一化：排序：排序：排序：排序：乙、甲、丙乙、甲、丙乙、甲、丙乙、甲、丙第125页3.3.3.3.某品牌服装市场定位选择（方案不一样，各指标权重不一样）某品牌服装市场定位选择（方案不一样，各指标权重不一样）某品牌服装市场定位选择（方案不一样，各指标权重不一样）某品牌服装市场定位选择（方案不一样，各指标权重不一样）f f1 1f f2 2f f3 3f f4 4f f5 5f f6 6原因集款式款式面料面料耐穿度耐穿度 流行性流行性商标商标价格价格e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4评语集评语集很欢迎很欢迎欢迎欢迎普通不欢迎不欢迎a a1 1a a2 2市场定位方案集市场定位方案集第一类消费者第一类消费者第二类消费者第二类消费者第三节、含糊综合评价应用第126页很欢迎很欢迎e e1 1欢迎欢迎e e2 2普通e3不欢迎不欢迎e e4 4款式款式f f1 10.550.550.340.340.100.100.010.01面料面料f f2 20.600.600.150.150.250.250 0耐穿性耐穿性f f3 30.250.250.400.400.150.150.200.20流行性流行性f f4 40.800.800.120.120.080.080 0商标商标f f5 50.500.500.380.380.120.120 0价格价格f f6 60.210.210.170.170.440.440.180.18第三节、含糊综合评价应用利用市场调查取得含糊评价矩阵：利用市场调查取得含糊评价矩阵：利用市场调查取得含糊评价矩阵：利用市场调查取得含糊评价矩阵：第127页4.4.不一样类型考评综合（考评类型不一样，各指标评语不一样）不一样类型考评综合（考评类型不一样，各指标评语不一样）不一样类型考评综合（考评类型不一样，各指标评语不一样）不一样类型考评综合（考评类型不一样，各指标评语不一样）设考评原因集为设考评原因集为设考评原因集为设考评原因集为F=fF=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4，评语集为，评语集为，评语集为，评语集为E=eE=e1 1,e,e2 2,e,e3 3,e,e4 4，原因权重，原因权重，原因权重，原因权重为为为为WWF F=0.35,0.35,0.15,0.15=0.35,0.35,0.15,0.15。又设考评集为。又设考评集为。又设考评集为。又设考评集为T=tT=t1 1,t,t2 2，t t1 1表示日常考表示日常考表示日常考表示日常考评，评，评，评，t t2 2表示晋级考评，设日常和晋级考评主要性分别为表示晋级考评，设日常和晋级考评主要性分别为表示晋级考评，设日常和晋级考评主要性分别为表示晋级考评，设日常和晋级考评主要性分别为0.6,0.40.6,0.4。甲。甲。甲。甲乙两人日常考评乙两人日常考评乙两人日常考评乙两人日常考评/晋级考评统计统计分别以下，要求进行含糊综合评晋级考评统计统计分别以下，要求进行含糊综合评晋级考评统计统计分别以下，要求进行含糊综合评晋级考评统计统计分别以下，要求进行含糊综合评价。价。价。价。甲甲e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级f f1 10.50.50 00.30.30 00 0 1 10.20.20 0f f2 20.50.50 00.10.10 00.20.20 00.20.21 1f f3 30 00 00.70.70 00.30.30 00 01 1f f4 40.60.60 00.10.10 00 00 00.30.31 1第三节、含糊综合评价应用第128页乙乙e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级f f1 10 01 10.10.10 00.80.80 00.10.10 0f f2 20 01 10.10.10 00.70.70 00.20.20 0f f3 30.10.11 10.60.60 00.30.30 00 00 0f f4 40 00 00.10.11 10.60.60 00.30.30 0第三节、含糊综合评价应用可得：可得：可得：可得：设考评原因权重为设考评原因权重为设考评原因权重为设考评原因权重为WT=0.6,0.4WT=0.6,0.4第129页第四节、多级含糊总评价举例：战略导弹效能多级含糊总评价问题。举例：战略导弹效能多级含糊总评价问题。举例：战略导弹效能多级含糊总评价问题。举例：战略导弹效能多级含糊总评价问题。第130页第四节 多级含糊总评价评语等级分为评语等级分为评语等级分为评语等级分为5 5级：级：级：级：好、很好、普通、较差、差好、很好、普通、较差、差好、很好、普通、较差、差好、很好、普通、较差、差 假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：可靠性：可靠性：维修性：维修性：安全性：安全性：适应性：适应性：有有有有效效效效性性性性四四四四个个个个方方方方面面面面权权权权向向向向量量量量为为为为：则有效性含糊综合评价结果为则有效性含糊综合评价结果为则有效性含糊综合评价结果为则有效性含糊综合评价结果为 ：第131页第四节、多级含糊总评价假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：威威威威 力：力：力：力：有效性：有效性：有效性：有效性：机动能力：机动能力：机动能力：机动能力：有效性四个方面权向量为有效性四个方面权向量为有效性四个方面权向量为有效性四个方面权向量为 ：则总体性能含糊综合评价结果为则总体性能含糊综合评价结果为则总体性能含糊综合评价结果为则总体性能含糊综合评价结果为 ：第132页