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椭圆离心率
一、典例分析，融合贯通
典例1 【2016年高考数学新课标Ⅲ卷文科12题】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
． ． ． D．
【点睛之笔】相似用完即相识！
【解法2】代数法
由题意可设，，
令，代入椭圆方程可得
可得，
设直线的方程为，
令，可得
令，可得
【点睛之笔】不用多虑，一步一步代！
【解法3】几何代数结合法
设直线的方程为，
令，可得
令，可得
设的中点为，可得
【点睛之笔】几何代数，数与形的完美融合！
【解后反思】
解法1:利用相似比构造方程，恒等变形求得离心率！
解法2：利用条件一步一步用数据转化，无须烧脑！
解法3：几何代数，相辅相生，相得益彰！
典例2设是上的一点，、.已知，求椭圆离心率的取值范围.
【解法1】基本不等式
在，，
【点睛之笔】基本不等式，让数学学习更有激情！
【解法2】有界性
设，又
在，，
，
【点睛之笔】坐标有界，思想无界！
【解法3】极端情况
当点 位于短轴端点 或 处时，点对两焦点的张角最大
故 ( 为坐标原点)
在，，
【点睛之笔】极端解法，剑走偏锋！
【解后反思】
解法1:套用公式省时又省力！
解法2：利用坐标的有界性巧妙构造不等式！
解法3：极端解法，投“极”取巧，尽显思维的灵气！
典例3【2016浙江理科第19题】如图，设椭圆
（Ⅰ）求直线被椭圆截得的线段长（用表示）;
（Ⅱ）若任意以为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围。
第（1）小题：
第（2）小题：
【解法1】：零点存在定理
设圆方程为，与椭圆联立方程
消去 得
由题设知方程在上最多一解，
记
① 当时，，
，所以方程在上只有一解，均可
② 那么当时，
第一种情况：只需，得
解得，即，得
第二种情况：假设方程在上有两解
，得 ，则，
由于方程在上最多一解，所以
上述两种情况均可得到，离心率，
因此椭圆离心率的取值范围
【点睛之笔】零点存在定理，走遍天下都有理！
【点睛之笔】方程法，缩短思维旅程的好方法！
【解法3】点差法
因此，任意以为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是，
离心率，因此椭圆离心率的取值范围
【点睛之笔】点差法，一点都不差的好方法！
【解法4】单调性法
易知，弦长 从 到 逆时针旋转半圈处处不相等，即弦长在轴单侧单调。
，
设，，则在上单调递增。
只需，即成立
得，得，因此椭圆离心率的取值范围
【点睛之笔】单调性法，解起题来不单调！
【解法5】：弦长的最值性
【点睛之笔】利用弦长的最值性，最有价值！
【解后反思】
解法1：零点存在定理，剪不断那就理来乱！
解法2：利用方程思想构造不等式，妙哉！
解法3：点差法，代点作差，肯定不会差！
解法4：单调性法，其实很有情调，一点都不不单调！
解法5：利用最值性，直奔目标，不走寻常路！
二、精选试题，能力升级
1.【2012全国，理4】设F1，F2是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线与 轴交于点 ，则 ，在 中， ，，故，解得，故离心率．
2.【2011全国新课标，理14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．
【答案】
【解析】
3.【2008全国1，理15】在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【答案】：.
【解析】设，则
，.
4.【2018浙江温州一模】正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5.【2018广西柳州市一模】已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 点是以 为焦点的椭圆上一点，
，设 ，则 ，由椭圆定义知 ，， ，则 ，由勾股定理知 ， 解得， ．
6．【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程为： ， 椭圆的右焦点为，离心率为，直线： 与椭圆相交于、两点，且
（1）椭圆的方程及求的面积；
（2）在椭圆上是否存在一点，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）， （2）不存在
【解析】
消去化简得， ，
， 得
,
.
， ，即
即,=.
O到直线的距离
,
.
（2）若存在平行四边形OAPB使在椭圆上，则，设，
则,,由于在椭圆上，所以，从而化简得
化简得 ①， 由，知 ②
联立方程①②知，故不存在在椭圆上的平行四边形.
7．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程：
(2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.
【答案】（1）（2）
8．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆： 的离心率为，且过点， ， 是椭圆上异于长轴端点的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.
设， ， 的直线方程为： ，
由即，
， ，
，
令，所以，
因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以（当且仅当，即时“”成立），
故的最大值为 .
9.【2014课标Ⅰ，理20】已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（I）求E的方程；
（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.
10．【2018广西柳州市一模】已知椭圆的离心率为， 为椭圆的左右焦点， 为椭圆短轴的端点， 的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为.
即.
又，故
.
此时直线与圆相切.
只供学习与交流
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