1、物理学专业必修课程物理学专业必修课程数学物理方法数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院西北师范大学物理与电子工程学院1第1页第三章第三章 热传导方程分离变量法热传导方程分离变量法2第2页引引 言言 上一章对弦振动方程为代表双曲型上一章对弦振动方程为代表双曲型方程进行了研究方程进行了研究,它研究包含从方程导它研究包含从方程导出到应用行波法和分离变量法出到应用行波法和分离变量法.本章我本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究行研究。3第3页数理方程基本步骤数理方程基本步骤:建坐标系建坐标系 选物
2、理量选物理量 找物理规律找物理规律 写表示式写表示式物理模型物理模型数学模型数学模型定量化定量化4第4页一、一、热传导方程导出热传导方程导出 截面积为截面积为A均匀细杆均匀细杆,侧面绝热侧面绝热,沿沿杆长方向有温差杆长方向有温差,求热量流动求热量流动.1.物理模型物理模型3.1 热传导方程热传导方程5第5页2.相关链接相关链接 相关概念和定律相关概念和定律 热传导热传导:因为温度分布不均匀产生因为温度分布不均匀产生热传递现象热传递现象.设设热量：热量：面积：面积：体积：体积：时间：时间：密度：密度：温度：温度：6第6页 比热比热:单位物质温度升高一度单位物质温度升高一度 热流密度热流密度:单位
3、时间流过单位面积单位时间流过单位面积热量热量(Fourier试验定律试验定律):导热率导热率 所需热量所需热量.7第7页热源强度热源强度:单位时间单位时间,单位体积放单位体积放出热量出热量(源密度源密度).8第8页用到物理学规律用到物理学规律 Fourier试验定律试验定律(热传导定律热传导定律):当当物体内存在物体内存在 温度差时温度差时,会产生热量流动会产生热量流动.热热流强度流强度(热流密度热流密度)与温度下降成正比与温度下降成正比.即即 9第9页:热导系数热导系数(热导率热导率),不一样不一样物质物质 不一样不一样,对均匀杆对均匀杆 是常数是常数.负号表示负号表示温度下降方向温度下降方
4、向.10第10页分量形式：分量形式：，一维问题：一维问题：(对同一个物质对同一个物质)温差越大温差越大,热能流动热能流动越大越大.相同温度下相同温度下,不一样物质热能流不一样物质热能流动不一样动不一样.11第11页 热量守恒热量守恒(质量质量)定律定律:物体内部物体内部温度升高所吸收热量温度升高所吸收热量(浓度增加所需要浓度增加所需要质量质量),等于流入物体内部净热量等于流入物体内部净热量(质量质量)与物体内部热源所产生热量与物体内部热源所产生热量(质量质量)之和之和.12第12页3.分析分析研究问题研究问题:热流流动是由温差造成热流流动是由温差造成,为温度为温度.已知已知:,常数常数.是一维
5、问题是一维问题.方法方法:与弦振动方程所用方法相同与弦振动方程所用方法相同设设13第13页4.研究建立方程研究建立方程 时间热量情况时间热量情况取取 轴与细杆重合轴与细杆重合,表示在表示在 点点 时刻温度时刻温度.考虑任一考虑任一 段在段在 流入流入 面面:14第14页热源产生热源产生:设有热源其密度为设有热源其密度为 杆内热杆内热 源在源在 段产生热量为段产生热量为 流出流出 面面:15第15页 段温度要升高段温度要升高 所吸收所吸收热量热量 ,故故16第16页 依据能量守恒定律依据能量守恒定律流入流入 段总热量与段总热量与 段中热源产生段中热源产生热量热量:即即 17第17页化简化简:两边
6、同除以两边同除以 当当,则则18第18页一维热传导方程为一维热传导方程为:,.二维热传导方程为二维热传导方程为:其中其中:19第19页三维热传导方程为三维热传导方程为:20第20页扩散方程物理模型扩散方程物理模型 一充满清水玻璃管一充满清水玻璃管.假如一端滴一假如一端滴一滴红墨水滴红墨水,则红墨水分子就要向另一则红墨水分子就要向另一端扩散端扩散.渗透半导体之间锑扩散渗透半导体之间锑扩散,硼硼扩散扩散,磷扩散磷扩散.21第21页二、二、定解条件定解条件物体上初始时刻温度分布物体上初始时刻温度分布边界上温度，热交换情形边界上温度，热交换情形定解问题定解问题22第22页初始条件初始条件 以细杆热导方
7、程为例以细杆热导方程为例 边界条件提法有三种边界条件提法有三种23第23页 第一类边界条件第一类边界条件:直接给出物理量在直接给出物理量在边界上数值边界上数值(边界上各点温度边界上各点温度).24第24页或或 第二类边界条件第二类边界条件:研究物理量在研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值边界外法线方向上方向导数数值.25第25页物理意义物理意义:把细杆端点把细杆端点 处处,既无热量流出去既无热量流出去,又又处截面处截面用一个定点绝热物质包裹起来用一个定点绝热物质包裹起来,使得使得在端点在端点无热量流进来无热量流进来.已知经过细杆端点热量已知经过细杆端点热量,特殊特殊如如 绝热条件。绝热条件
8、。情形情形26第26页 第三类边界条件第三类边界条件:物理量与外法向物理量与外法向导数线性组合导数线性组合.已知杆端已知杆端 与某种介质接触与某种介质接触,它们它们之间按热传导中之间按热传导中牛顿试验定律牛顿试验定律进行热交进行热交换换,对应边界条件为对应边界条件为：:热导系数热导系数:热交换系热交换系数数27第27页介质经过边界按照介质经过边界按照冷却定律冷却定律散热散热:单位时间经过单位面积表面和外界交单位时间经过单位面积表面和外界交换热量与介质表面温度换热量与介质表面温度和外界温和外界温之差成正比之差成正比.度度28第28页设百分比系数设百分比系数为为,则则 如在如在 处处,29第29页
9、3.2 混合问题分离变量解混合问题分离变量解30第30页一、定解问题：有界杆热传导现象一、定解问题：有界杆热传导现象其中其中 为已知函数为已知函数.31第31页第一步：分离变量第一步：分离变量.设热导方程含有以下分离设热导方程含有以下分离变量解变量解(特解特解)32第32页.将其代入泛定方程有将其代入泛定方程有 其中其中 是常数是常数.于是有于是有33第33页、由边界条件有由边界条件有当当,则则 当当,则则 即本征值问题即本征值问题34第34页上章已经证实只有当上章已经证实只有当.时时,该本征值问题有非零解该本征值问题有非零解.第二步：求解本征值问题第二步：求解本征值问题35第35页.由由，即
10、特征值是即特征值是，36第36页.本征函数是本征函数是 37第37页第三步第三步:求特解求特解,并叠加出普通解并叠加出普通解又由又由,得得 38第38页两边积分得：两边积分得：其中其中 是积分常数是积分常数.于是于是故普通解为：故普通解为：39第39页第四步：确定叠加系数第四步：确定叠加系数由初始条件由初始条件 有有 两端同乘以两端同乘以,逐次积分有逐次积分有40第40页41第41页42第42页分析解答：分析解答：由初始温度由初始温度 引发温度引发温度引发温度分布叠加引发温度分布叠加.可看作是由各个瞬热源可看作是由各个瞬热源分布分布43第43页3.3 初值问题付氏解法初值问题付氏解法44第44
11、页将将 等在等在 上展成上展成Fourier级数级数,再再无限扩大无限扩大.上节求解混合问题时上节求解混合问题时,空间坐标空间坐标 区间为区间为.如考虑无界杆热传导如考虑无界杆热传导,怎样？怎样？变动变动让区间让区间引引 言言45第45页 结结 果：果：在一定条件下在一定条件下,Fourier级数级数变成一个积分形式变成一个积分形式,称为称为Fourier积分积分.46第46页一、一、Fourier积分积分设设 定义在定义在 内内,且在任一且在任一上分段光滑上分段光滑,则则 有限区间有限区间展开成展开成Fourier级数级数可可.47第47页其中其中:48第48页49第49页现设现设 在在 上
12、这时可积上这时可积,即即 则当则当 时时,50第50页证证:,则上式写成则上式写成,51第51页能够证实：能够证实：及及 连续点处连续点处,付氏付氏积分收敛于它在该点处函数值。积分收敛于它在该点处函数值。称为称为 Fourier积分积分.其中其中,它是关于它是关于偶函数偶函数.52第52页Fourier积分还可写为积分还可写为其中其中 53第53页二、热导方程二、热导方程Cauchy问题问题定解问题定解问题其中其中 为已知函数为已知函数.分析分析:已知一无限长细杆在初始已知一无限长细杆在初始时刻温度分布时刻温度分布,求其以后温度分布求其以后温度分布.54第54页解解:(分离变量法分离变量法求求
13、)令令 则则为常数为常数.有有 时时,将随将随 增加而增加增加而增加,所以不合理所以不合理.55第55页,设设,则则 当当 时时,56第56页，为积分常数为积分常数,必须必须 因为因为,会无界，会无界，所以所以 57第57页 当当 时时,与与,无关无关,而恒等于而恒等于.58第58页，取全部实数取全部实数,解叠加只能积分解叠加只能积分.而而 由由Fourier积分有积分有:59第59页而而 60第60页61第61页分析解答分析解答解物理意义解物理意义:由初始温度由初始温度 引发引发 热源引发温度分布叠加热源引发温度分布叠加.温度分布温度分布可看作由各个瞬间点可看作由各个瞬间点62第62页一个小
14、单元一个小单元 ，函数，函数 在该区在该区间内为常数间内为常数 ，而区间外恒为，而区间外恒为0.说明说明:取取 在单位横截面积细杆上取在单位横截面积细杆上取 点附近点附近物理上物理上:在初始时刻在初始时刻,这个表示吸收了热量这个表示吸收了热量 63第63页使这一段温度为使这一段温度为 杆上分布由杆上分布由,今后温度在细今后温度在细给出给出.64第64页取上式为取上式为:65第65页,将分布在整个一小段上热量将分布在整个一小段上热量 看作在极限情形只作用在看作在极限情形只作用在点点,则在则在 有瞬时点热源有瞬时点热源,强度为强度为 热源热源,在细杆上得到温度分布为在细杆上得到温度分布为:,这么这
15、么66第66页由积分中值定理由积分中值定理:其中其中:,67第67页则则68第68页故故 所代表温度分布是当初始时刻所代表温度分布是当初始时刻,细杆在细杆在处受到强度为处受到强度为:瞬时点热源作用而产生瞬时点热源作用而产生.69第69页对原问题解释：对原问题解释：为在初始时刻使细杆在为在初始时刻使细杆在 处有温度处有温度,则在此近邻一小单则在此近邻一小单位位 上需吸收热量为上需吸收热量为70第70页或在或在 点有温度为点有温度为 瞬时瞬时点热源所产生温度叠加：点热源所产生温度叠加：71第71页在细杆全部点上在细杆全部点上,初始温度初始温度 总作用总作用,就就是由这些个别单位作用叠加。是由这些个别单位作用叠加。由初始温度由初始温度 引发温度分布引发温度分布 可看作由各个瞬时点热源所引发可看作由各个瞬时点热源所引发温度分布叠加温度分布叠加.72第72页对任何时刻对任何时刻 沿整个沿整个 轴轴 对对 积分有积分有73第73页初始时刻初始时刻 处温度为处温度为 瞬时点瞬时点热源热源,热量沿杆分布总和一直不变热量沿杆分布总和一直不变,细细杆上热量总和不随时间改变杆上热量总和不随时间改变.74第74页
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