走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习87圆锥曲线的综合问题理.doc

8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2012潍坊教学质量监测)椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40B4x6y70C3x2y20 D4x6y10答案B解析依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为，则所求直线的斜率等于，所以所求直线方程是y(x1)，即4x6y70，选B.2(2011宁波十校联考)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A3 B4C3 D4答案C解析设A(x1,3x)，B(x2,3x)，由于A、B关于直线xy0对称，解得或设直线AB的斜率为kAB，|AB|x1x2|3.故选C.3设F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A2 B.C. D.答案D解析由题意可知，抛物线C1的焦点为F(，0)，因为AFx轴，则A(，p)，不妨取A(，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为，2，令a1，则b2，c，e.4(2011南昌检测)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案B解析记|F1F2|2c，则|PF1|，|PF2|，所以椭圆的离心率为，选B.5(2011台州二模)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为()A5B4C3D2答案C解析由题意设直线l的方程为y(x)，即x，代入抛物线方程y22px中，整理得y22pyp20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yAp，yBp，所以|3.6(2012东北三校一模)已知直线yx与双曲线1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A. B.C. D与P点位置有关答案A解析设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由消去x得y2，y1y20，y1y2，(y1y0)(y2y0)y1y2yy0(y1y2)y，(x1x0)(x2x0)(2y1x0)(2y2x0)4y1y2x2x0(y1y2)4y1y2xx49(1)4(y)，.由得，即，同理有，于是有kPAkPB()2()2，选A.7已知过双曲线1右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1，)解析由条件知，渐近线的倾斜角小于45，即1，1，2，即e21，1e0，b0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2y2b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是_答案解析依题意得OPPF，直线PF的倾斜角为，OFP，sin，椭圆的离心率e.10(2012昆明一中测试)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MAMB，并说明理由解析(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y的距离，12，p2，抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y2x1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程组消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韦达定理得x1x28，x1x24.MAMB，0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.M不与A，B重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，64480.方程x8x0120有解，即抛物线C上存在一点M，使得MAMB.能力拓展提升11.(2011大纲全国理，10)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D答案D解析方法一：联立解得或不妨设A在x轴上方，A(4,4)，B(1，2)，F点坐标为(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosAFB.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，2)，|AB|3，|AF|5，|BF|2，由余弦定理知，cosAFB.12.(2012江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆与的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1c1a2c2Ca1c2a2c1答案D解析依题意得，a1a2，c1c2，a1c1a2c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1c1a2c2；由a1a2，得，又a1c1a2c2，因此，即有，a1c2，即m2n2b0)两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，bc1，a.所求椭圆方程为y21.(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为yx1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去x得，3y22y10，解得y11，y2.SPOQ|OF|y1y2|y1y2|.(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为yk(x1)(k0)由可得，(12k2)x24k2x2k220.x1x2，x1x2.(x1m，y1)，(x2m，y2)，(x2x1，y2y1)其中x2x10以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形()()0(x1x22m，y1y2)(x2x1，y2y1)0(x1x22m)(x2x1)(y1y2)(y2y1)0(x1x22m)k(y1y2)0k202k2(24k2)m0m(k0)0m0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，b)，B(a,0)(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点若点M在直线x2上的射影为N，满足0，且|10，求直线l的方程解析(1)依题意有解得a1，b，c2.所以，所求双曲线的方程为x21.(2)当直线lx轴时，|6，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由消去y得，(3k2)x24k2x4k230.因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3k20.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程的两个正根，于是有所以k23.因为0，则PNQN，又M为PQ的中点，|10，所以|PM|MN|MQ|PQ|5.又|MN|x025，x03，而x03，k29，解得k3.k3满足式，k3符合题意所以直线l的方程为y3(x2)即3xy60或3xy60.1(2011辽宁文，7)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.答案C解析如图所示：|AF|AK|，|BF|BM|，|AK|BM|AF|BF|3，AB的中点P到准线的距离为：|PN|(|AK|BM|)点P到y轴的距离为.2.(2012镇江调研)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过它的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB.(1)证明直线AB过定点；(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程解析(1)不妨设A(2px，2px1)，B(2px，2px2)(x1x2)，则直线AB的斜率是，于是lAB：y2px2(x2px)，即(x1x2)y2px1x2x，又OAOB，1.因此，直线方程为(x1x2)y2px，令y0得x2p，lAB恒过定点(2p,0)(2)由(1)的结论可知，AB过定点N(2p,0)设M(x，y)，当AB斜率存在时，由KOMKAB1可知，1，即(xp)2y2p2.当ABx轴时，点M与点N重合，方程也满足点M的轨迹方程是(xp)2y2p2.它表示以点(p,0)为圆心，p为半径的圆(去掉坐标原点)3已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x2的距离之比为.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若0，求|MN|的最小值解析(1)设点P(x，y)，依题意有，整理得1，所以动点P的轨迹C的方程为1.(2)点E与点F关于原点O对称，点E的坐标为(，0)M、N是直线l上的两个点，可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1y2)0，(3，y1)(，y2)0，6y1y20，即y2.由于y1y2，y10，y20.|MN|y1y2y122.当且仅当y1，y2时，等号成立故|MN|的最小值为2.