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初中数学基本几何图形
这篇帖子是关于几何基本图形的。每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形用熟，做几何题应该不成问题。
1、 正方形与等腰直角三角形
正方形ABCD，EF为过正方形点B的直线且AE⊥EF，CF⊥EF，则有△AEB≌△BFC。

将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理：
令AD=BE=a，DB=CE=b，AB=BC=c，S△ABC = 12 c2 = 12 （a+b）2-ab ；化简得到：c2=a2+b2

2、 梯形中位线
梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC中点，则有EF= 12（AD+BC）

结合1、2有一道经典题目，在此奉上。
△ABC，分别以AB、AC为边向外做正方形ABFG、ACDE，连接FD，取FD中点H，作HI⊥BC，证明：HI=12 BC

提示:先证明BC等于梯形上下底边之和
【变形题1】
如图1，以△ABC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分．
①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上；
②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线．

答案：
解：BC⊥MN．
证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD≌△HMF，
∴AC=HF=CD，
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，
∴∠HGF=∠DCM，∠GHF=∠IGC，
∠BIC=∠IGC+∠DCM，
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，
∴△ABC≌△FBH，
∵四边形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，
∴∠HBF=∠ABC，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BC⊥BH，
∵N是BC中点，M是HC中点，
∴MN∥BH，
∴BC⊥MN．
分析：
延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，延长CD，与BF相交于I，根据MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，可以证明∠BAC=∠HFB，即可证明△ABC≌△FBH，于是证明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知BC⊥BH，又因为N是BC中点，M是HC中点，可得MN‖BH，于是证明出BC⊥MN．

【变形题2】
如图（1），在Rt△ABC, ∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M。

（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2 ＋b2。在任意△ABC中，c2＝a2 ＋b2＋k。就a＝3，b＝2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）。

【变形题3】
已知：如图所示，从Rt△ABC的两直角边AB，AC向外作正方形ABFG及ACDE，CF，BD分别交AB，AC于P，Q.求证：AP=AQ
.

3、 角平分线出等腰。
AD平分∠BAC，且BD∥AC，则BA=BD，此图形常出现于菱形中，若有AB=AC，则连接CD后有菱形BACD。

补充一句，上一图可用于证明角分线定理。

4、 双垂图。

5、一线三等角相似
AB=AC，∠ADE=∠B，则△ABD∽△DCE

6、 正方形中两垂直线段。
正方形ABCD中，AF⊥DE，则有AF=DE；平移AF、DE进行推广，在正方形ABCD中，MN⊥PQ，则有MN=PQ

7、 直角三角形斜边中线。
AB⊥AC，D为BC中点，则AD=BD=CD，该图可从矩形中挖出，也可从圆中找到图形。

8、 直角三角形共圆

9、 等腰三角形线段关系

11、常见旋转型2。

12、常见旋转型3

13、四边形共圆

四边形共圆2

一道经典例题

一线三角模型的特殊形式。

补充：一线三角相等模型中，∠B=∠C=∠ADE=n°，则∠ADB+∠EDC=180-n°， ∠DEC+∠EDC=180-n°所以， ∠ADB=∠DEC，又因为∠B=∠C，所以△ADB相似于△DEC，所以AD/DE=BD/CE。当点D为中点时，BD=DC，则 AD/DE=DC/CE，又因为 ∠C=∠ADE，所以 △ADE相似于△DEC。证毕

双等边三角形（正方形）模型

上一楼图形的性质
性质1：通过证全等可知左图中，BD=AE，右图中，BE=DF
性质2：证全等后，做双高可知左图中，CF平分∠BFE，右图中，CH平分∠BHF
性质3：左图中，BD和AE相交所构成的其中的一个角为60°，右图中，BE和DF垂直，当扩展到正n边形时，两线相交所构成的其中的一个角等于这个正n边形的各个内角。

北京中考经典好题。