高中数学必修1寒假培训资料.doc

必修１　第一章
§1-1　集合及其运算
一、知识点总结：
1．元素与集合的关系:用 或 表示；
2．集合中元素具有 、 、
3．集合的分类：
①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等
4．集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;
5．集合与集合的关系:
6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；
②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；
③如果，同时，那么A = B；如果
.④n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n －1个；n个元素的非空真子集有2n－2个.
7．集合的运算（用数学符号表示）
交集A∩B= ;
并集A∪B= ；
补集CUA= ，集合U表示全集.
8.集合运算中常用结论:

二、基础练习：
1．下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2． 方程 解集为______.
3．全集，,，则＝ ，＝ ，＝
4．设，a=，则{a}与M的关系是( )
A．{a}=M B． M{a} C．{a}M D．M{a}
三、提高篇：
5．集合，，求，，

6． 设,已知,求实数的值.

7． 已知集合M=，N=，x∈R}，求M∩N

8．集A＝－1，3，2－1，集B＝3，．若，则实数＝
四、自主练习：
1．已知全集且则等于 A． B． C．　D．
2．设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，，则为
4．，，且，满足条件的集合是______
5．已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝，如果，那么a的值为____

§1-2　函数的概念及定义域
一、基础知识：
1．定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中 确定的数f(x)和它对应，那么就称为集合A到集合的一个 ，记作：
2．函数的三要素 、 、
3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；
4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 .
5．定义域：自变量的取值范围
求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合；
(2) 活生实际中，对自变量的特殊规定.
6.常见表达式有意义的规定：
① 分式分母有意义，即分母不能为0；
② 偶式分根的被开方数非负，有意义集合是
③ 无意义
④ 指数式、对数式的底a满足：,对数的真数N满足：
二、基础篇：
1．设，求

2．已知，求.

3．求函数的定义域

4．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.

三、提高篇：
5．已知是一次函数，且满足：，求

6． 已知的定义域为[-1,1]，试求的定义域

7．设，则的定义域为
A. B. C. D.
8.设，若，则x =
9.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ）
⑴，；⑵，；
⑶，；⑷，；
⑸，。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、
四、自主练习：
1．函数的定义域
2．函数的定义域是__________
3．设函数，则的表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的解析式为( ）
A． B． C． D．
5．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）
A． B． C．或 D．或
6. 设则的值为（ ）
A． B． C． D．
§1-3　函数的表示与值域
一、基础知识：
1．函数的表示法： ， ，
2．函数的值域：{f(x)|x∈A}为值域。
3．求值域的常用的方法：
①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反解法；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.
4. 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数的值域为R;
二次函数 当时值域是,
当时值域是]；
② 反比例函数的值域为；
③ 指数函数的值域为；
④ 对数函数的值域为R；
⑤ 函数的值域为[-1，1]；
⑥ 函数,的值域为R；
二、基础篇：
1．图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
2．求函数的值域：y=-3x2+2;

3．求函数的值域：y=

三、提高篇：
4．　求函数y =的最值

5．求函数y=的值域.

6．求函数的值域：y=5+2(x≥-1).

7. 求的值域
M
P
S

四、自主练习：
1．如图示：U是全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是：
A． B．
C． D．
2．求的值域

3．求的值域

4．求的值域

5．求函数的值域

§1-4　函数的单调性
一、知识点：
1．设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的
2．对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2） 函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同 属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和
-6 -4 -3 -2 -1 1 2 3
（5）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增”
二、基础篇：
1．设图象如下，完成下面的填空
增区间有：
减区间有：
2．试画出函数的图象，并写单调区间

3． 写出函数的单调区间

三、提高篇：
4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是
A． B．
C． D．
5． 若函数在上是单调函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
6.函数的单调递减区间是____________________
7. 利用函数的单调性求函数的值域

8. 求函数单调递增区间

四、自主练习：
1．下列函数中,在区间上是增函数的是
A． B． C． D．
2．已知在区间上是增函数，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
3．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数。
其中正确命题的个数是( )A． B． C． D．
4．求的单调区间

5.若在区间上是增函数，则的取值范围是 。
§1-5　函数的奇偶性
一、知识点：
1．函数的奇偶性的定义：
① 对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为 . 奇函数的图象关于 对称。
② 对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为 . 偶函数的图象关于 对称。
③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2．.函数的奇偶性的判断：
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.
注意：
①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；
②若是奇函数且在处有定义，则
③若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。
3．奇偶函数图象的对称性
（1） 若是偶函数，则的图象关于直线对称；
（2） 若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
二、基础篇：
1．下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
2．　若函数在上是奇函数,则的解析式为________
3．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
三、提高篇：
4．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）；
5．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 则__________。
6. 设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.

7. 定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；
四、自主练习：
1. 下列函数中是奇函数的有几个（ ）
① ② ③ ④
A． B． C． D．
2． 函数 ( )
A.是偶函数，在区间 上单调递增 B.是偶函数，在区间上单调递减
C.是奇函数，在区间 上单调递增 D．是奇函数，在区间上单调递减
3．函数在上递减，那么在上（ ）
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
4．设是上的奇函数，且当时，，则当时______。
§1-6　指数式及运算性质
一、知识点：
1．⑴一般地，如果 ，那么叫做的次方根。其中 .
⑵ 叫做根式，这里叫做 ，叫做 。
2． 当为奇数时， ；当为偶数时， .
3． 我们规定：⑴ ；其中（ ）
⑵ ；其中（ ）
⑶0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 .
4． 运算性质：⑴ ( )；⑵ ( )；
⑶ ( )。
二、基础篇：
1．化成分数指数幂为 ( )
A． B． C． D．
2．计算的结果是 ( )
A． B． Ｃ． D．
3．若，则4．若有意义，则．
三、提高篇：
5．化简的结果是（ ）.
A. B. C. 3 D.5
6．（1）计算：

（2）化简：

7．已知，求下列各式的值。
(1) (2)

(3) (4)

8．化简下列各式：
(1) (2)

四、自主学习：
1．求下列各式的值：
⑴ ； ⑵
⑷

⑶ ；

2．化简下列各式
⑴ ； ⑵ (a>0,b>0)；

⑶ ；⑷

3．求下列各式的值
(1) 已知，求的值。
(2)已知，求

§1-7　对数式及运算性质
一、知识点：
1． ； 2． ； 3． ， .
4．当时：⑴ ；
⑵ ；⑶ .
5．换底公式： . .
6． .
二、基础篇：
1．

2．计算（1）＝ 。
（2）＝ 。

3．利用对数的换底公式化简下列各式：

三、提高篇：
4．已知>0,>0,且，则的值为 ( )
A． B． C．9 D．
5．已知,则的值应在区间 ( )
A．(－2,－1) B．(1,2) C(－3,－2) D．(2,3)
6．已知lga，lgb是方程2x－4x＋1 = 0的两个根，则(lg)的值是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．计算：
(1)lg14－2lg+lg7－lg18 (2) ２25＋３64 (3)

8．已知lgx = a,lgy = b,lgz = c,且有a＋b＋c =0,求x·y·z的值．

四、自主练习：
1． 之值为 ( )
A．0 B．1 C． D．
2．已知，且，则m 之值为 ( )
A．15 B． C．± D．225
3．若log[ log( logx)] = 0，则x为( )．
A． B． C． D．
4．
5．设a，b为正数，且a－2ab－9b= 0，求lg(a＋ab－6b)－lg(a＋4ab＋15b)的值．

§1-8 指数函数及性质与简单幂函数
一、知识点：
1．函数 叫做指数函数。
2.指数函数的图象和性质

0 < a < 1
a > 1
图象

性
质

定义域

值域

定点

单调性

对称性
和关于 对称
3．几种幂函数的图象：

二、基础篇：
1．幂函数的图象过点，则的解析式是_____________。
2．若 ,上述函数是幂函数的个数是( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3． 若指数函数在上是减函数，那么（ ）
A． B．C． D．
4．若函数（且）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
y=dx
y=cx
y=bx
y=ax
O
y
x
y=dx
y=cx
y=bx
y=ax
O
y
x
三、提高篇：
5．如图，设a,b,c,d>0，
且不等于1，y=ax ,
y=bx , y=cx ,y=dx
在同一坐标系中的
图象如图，则
a,b,c,d的大小顺序（ ）
A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<d<c D．b<a<c<d

6．下列各不等式中正确的是（ ）
A、()>() B、2>2 C、()>2 D、()<2
7．求下列函数的定义域、值域：
（1） （2）
8．求函数y=3的单调递减区间

9．已知函数
（1）求的定义域和值域；（2）讨论的奇偶性；（3）讨论的单调性。

五、自主练习：
1．函数y=是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 （ ）
A． B．C．D．
3．当时，函数和的图象只可能是 （ ）

4．函数，满足的的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

§1-9 对数函数及性质
一、知识点：
1．一般地，函数 叫做对数函数；
2．对数函数的图象和性质

0 < a < 1
a > 1
图
象

定义域

值域

性
质
过定点
在R上是 函数
在R上是 函数
同正异负：
当 或 时，log a x > 0当 或 时，log a x < 0。
二、基础篇：
1．已知f(x)=(a2－1)x在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是 （ ）
A.|a|＜1 B.|a|＞1 C.|a|＜ D.1＜|a|＜
2．若在上是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数的反函数的定义域为( )
A． B． C． D．
4．在区间上不是增函数的是 （ ）
A． B. C. D.
三、提高篇：
5．函数的定义域是 ．
6．设函数, 求满足=的x的值．

7．求函数的定义域、值域、单调区间

8．已知函数，(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性。

9．已知函数的定义域为，值域为，求的值。

四、自主学习：
1．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列关系式中，成立的是 （ ）
A． B．
C． D．

3．函数的值域是 （ ）
A． B． C． D．
4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
5．求函数y=的递增区间。

6.已知f(x)=loga (a＞0，且a≠1)、
（1）求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；
（3）求使f(x)＞0的x的取值范围、

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法
一、知识点：
1．方程有实根
2．零点定理：如果函数在区间 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间 内有零点，即存在，使得 ，这个也就是方程的根.
3．二分法求函数零点近似值的步骤：
⑴确定区间 ，验证 ，给定 。⑵求 ；⑶计算 ；
①若 ，则 ；②若 ，则令 ；③若 ，则令 。
⑷判断
二、基础篇：
1．下列函数中有2个零点的是 ( )
A． B． C ． D ．
2．若函数在区间上为减函数，则在上 ( )
A．至少有一个零点 B．只有一个零 C．没有零点 D．至多有一个零点
3．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
4．若的最小值为1，则的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．0或l D．不确定
三、提高篇：
5．已知唯一的零点在区间、、
内，那么下面命题错误的（ ）
A．函数在或内有零点 B．函数在内无零点
C．函数在内有零点 D．函数在内不一定有零点
6．若函数在上连续，且有．则函数在上 ( )
A．一定没有零点 B．至少有一个零点 C．只有一个零点 D．零点情况不确定
7．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为 。
9．设，用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）
A． B． C． D．不能确定

10．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点。

四、自主学习：
1．求零点的个数为 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数在上连续，且同时满足，．则 ( )
A． 在上有零点 B． 在上有零点
C． 在上无零点 D． 在上无零点
3．方程的实数根的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．无数个