电路方程的矩阵形式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

结束第十五章第十五章 电路方程矩阵形式电路方程矩阵形式1.掌握割集概念，熟练写出电路关联矩阵掌握割集概念，熟练写出电路关联矩阵A、回路矩阵回路矩阵B、割集矩阵、割集矩阵Q；2.掌握复合支路概念；掌握复合支路概念；3.学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程；电压方程和割集电压方程；重点重点难点难点割集电压方程列写。割集电压方程列写。10/10/1第1页结束15-1 割集割集1.定义定义 连通图连通图G一个割集是一个割集是G一个一个支路集合，假如支路集合，假如把这些支路移去，将使把这些支路移去，将使G(恰恰好好)分离为两个部分，分离为两个部分，不过少移去其中一条支路，不过少移去其中一条支路，G将仍是连通。将仍是连通。F(a，d，f)这个支路集合就这个支路集合就是是G一个割集。一个割集。adfbceQ1adfbceQ2Q3Q4(a，b，e)(b，c，f)(c，d，e)显然，对右图，聚集于同一结点显然，对右图，聚集于同一结点支路都是支路都是G一个割集。一个割集。10/10/2第2页结束全移，全移，G一分为一分为二二；少移；少移一一条，条，G连通。连通。(b,d,e,f)是是(a,d,e,f)不是不是G割集！割集！Q5adfbceadfbceQ6Q7adfbceadfbceQ8(a,e,c,f)是是(a,b,c,d)也是也是原因：少移去原因：少移去e，G仍为两部分。仍为两部分。(a,b,c,d,e)是是不是不是G割集？割集？10/10/3第3页结束3.独立割集和基本割集独立割集和基本割集KCL适合用于任一闭合面。适合用于任一闭合面。属同一割集全部支路电流属同一割集全部支路电流也满足也满足KCL。对于一个连通图对于一个连通图 G，总，总能够列出与割集数量相能够列出与割集数量相等等KCL方程。但它们不方程。但它们不一定线性独立。一定线性独立。(1)独立割集独立割集 与一组线性独立与一组线性独立KCL方方程相对应割集，称为独程相对应割集，称为独立割集。立割集。abecdfQ1Q2Q3Q4当割集全部支路连接于当割集全部支路连接于同一结点时，割集同一结点时，割集KCL变为结点变为结点KCL。对较大规模电路，用观对较大规模电路，用观察法选择一组独立割集察法选择一组独立割集是困难。是困难。借助于树，就比较方便。借助于树，就比较方便。10/10/4第4页结束(2)独立割集确定选一个树，一条树支选一个树，一条树支与对应连支能够组成与对应连支能够组成一个割集。一个割集。由一条树支与对应连支由一条树支与对应连支组成割集叫单树支割集。组成割集叫单树支割集。对于含有对于含有n个结点个结点b条支条支路连通图，树支数为路连通图，树支数为(n-1)条。条。这这(n-1)个单树支割集个单树支割集称为基本割集组。称为基本割集组。btl1l2l3Q独立割集组不一独立割集组不一定是单树支割集。定是单树支割集。就象独立回路不就象独立回路不一定是单连支回一定是单连支回路一样。路一样。而基本割集组是独而基本割集组是独立割集组。立割集组。10/10/5第5页结束树支为树支为2,3,4,6时基本割集组时基本割集组 树支为树支为5,6,7,8时基本时基本割集组。割集组。12345678Q1Q1(1,2,5,7,8)12345678Q2Q2(1,3,5,8)12345678Q3Q3(1,4,5)Q4Q4(5,6,7,8)12345678Q1Q2Q3Q4同一个图，有同一个图，有许多不一样树，许多不一样树，所以能选出许所以能选出许多不一样基本多不一样基本割集组。割集组。10/10/6第6页结束15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1.关联矩阵特点关联矩阵特点 描述结点与支路关联矩阵。描述结点与支路关联矩阵。是一个是一个(nb)阶矩阵。阶矩阵。Aa=12341 2 3 4 5 6-1-1+1 0 0 00 0-1-1 0+11i12i23i34i45i5i66+1 0 0+1+1 00+1 0 0-1-1(1)Aa元素定义元素定义ajk=+=+1，支路，支路k与结点与结点j关关联，且方向背离结点；联，且方向背离结点；ajk=-1，支路，支路k与结与结点点j关联，且方向指关联，且方向指向结点；向结点；ajk=0，支路，支路k与结点与结点j无关联。无关联。10/10/7第7页结束(2)降阶关联矩阵降阶关联矩阵A划去划去Aa中任意一行所得到中任意一行所得到(n-1)b阶矩阵。阶矩阵。A =12341 2 3 4 5 6-1-1+1 0 0 00 0-1-1 0+1+1 0 0+1+1 00+1 0 0-1-11i12i23i34i45i5i66被划去行对应结点能够看被划去行对应结点能够看成参考结点。成参考结点。a 提醒提醒给定给定A能够确定能够确定 Aa，从而画出有向图。从而画出有向图。若以结点若以结点 4 为参考结点，把为参考结点，把式中第式中第 4 行划去，得行划去，得 A10/10/8第8页结束(3)用用A表示表示KCL矩阵形式矩阵形式b(=6)条支路电流能够用列向量表示条支路电流能够用列向量表示i=i1,i2,i6 TAi=A=-1-1+1 0 0 0 0 0-1-1 0+1+1 0 0+1+1 0-1-1+1 0 0 0 0 0-1-1 0 +1+1 0 0+1+1 0 i1 i2 i6=-i1 i2 +i3-i3 i4 +i6+i1 +i4 +i5=000Ai=结点结点1KCL结点结点(n-1)KCL结点结点2KCL Ai=01i12i23i34i45i5i6610/10/9第9页结束(4)用用A表示表示KVL矩阵形式矩阵形式以以b(=6)阶列向量表示支路电压：阶列向量表示支路电压：u=u1,u2,u6 T并取某一结点并取某一结点(取取)为参考，为参考，(n-1=3)个结点电压列向量：个结点电压列向量：un=un1,un2,un3 T结点电压与支路电压之间关系为结点电压与支路电压之间关系为u=ATunu1u2u3u4u5u6=1i12i23i34i45i5i66-un1+un3-un1 un1-un2-un2+un3 un3un2=un1un2un3-1 0 1-1 0 0 1-1 0 0-1 1 0 0 1 0 1 0AT能够认为，能够认为，这是用这是用A表示表示KVL矩阵形矩阵形式。式。10/10/10第10页结束小结小结 矩阵矩阵 A表示有向图结点与支路关联性质。表示有向图结点与支路关联性质。用用 A表示表示 KVL 矩阵形式为矩阵形式为 u=ATun 用用 A表示表示 KCL 矩阵形式为矩阵形式为 Ai=010/10/11第11页结束2.回路矩阵回路矩阵 描述回路与支路关联矩阵。描述回路与支路关联矩阵。是一个是一个(lb)阶矩阵。阶矩阵。(1)B 元素定义元素定义 bjk=+1，支路，支路k与回路与回路j关联，且方向一致；关联，且方向一致；bjk=-1，支路，支路k与回路与回路j关联，且方向相反；关联，且方向相反；bjk=0，支路，支路k与回路与回路j无关联。无关联。1231 2 3 4 5 611234560 10-1 10 1 10 0 10 0 01-1 1B=10/10/12第12页结束(2)基本回路矩阵基本回路矩阵Bf Bf 反应了一组单连支回路与反应了一组单连支回路与支路间关联关系。支路间关联关系。写写Bf时排列次序：时排列次序：先连支后树支。先连支后树支。Bf=1l Bt(3)用用B表示表示KVL矩阵形式矩阵形式：u1+u3-u5+u6=0：u2+u3+u6=0：u4-u5+u6=01234561231 2 4 3 5 61 00 1-1 10 10 1 0 10 01 0-1 1Bf =Bu=01 0 1 0 1 10 1 1 0 0 10 0 0 1 1 1u1u2u3u4u5u6=00010/10/13第13页结束(4)用用B表示表示KCL矩阵形式矩阵形式 若用列向量表示若用列向量表示 l(=3)个独立回个独立回路电流：路电流：il=il1 il2 ill T 则支路电流与回路电流之间关则支路电流与回路电流之间关系能够表示为系能够表示为i=BTil 能够认为是用能够认为是用B 表示表示KCL矩矩阵形式。阵形式。123456i1i2i3i4i5i6=il1il2il3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1-1 0-1 1 1 1 ii1il2il1+il2il3-il1-il3il1+il2+il3=10/10/14第14页结束3.割集矩阵割集矩阵Q描述割集与支路关联矩阵。描述割集与支路关联矩阵。Q是一个是一个(n-1)b阶矩阵。各元素定义为：阶矩阵。各元素定义为：qjk=+1，支路，支路k与割集与割集j关联，且方向一致；关联，且方向一致；qjk=-1，支路，支路k与割集与割集j关联，且方向相反；关联，且方向相反；qjk=0，支路，支路k与割集与割集j无关联。无关联。若选单树支割集为一组独立割集，若选单树支割集为一组独立割集，则则得到得到基本割集矩阵基本割集矩阵Qf。排列次序为先树支后连支。排列次序为先树支后连支。1234561231 2 3 4 5 6Q1-1-1 1 0 001 0 0 1 1 0-1-1 0-10 1Q2Q3Qf=1t Ql Q=10/10/15第15页结束(1)用用割集矩阵割集矩阵Q表示表示 KCL矩阵形式矩阵形式 因属同一割集全部支路电因属同一割集全部支路电流也满足流也满足KCL，所以，所以Q i=0123456Q1Q2Q3-1-1 1 0 001 0 0 1 1 0-1-1 0-10 1i1i2i3i4i5i6=-i1 i2 +i3i1 +i4 +i5-i1 -i2-i4+i6=000Qf=1t Ql =100010001-11-1-10-101-13 5 6 1 2 4Q1Q2Q310/10/16第16页结束(2)用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示表示KVL矩阵形式矩阵形式式中式中 ut=ut1 ut2 ut(n-1)T 为树支电压列向量。为树支电压列向量。对右图：对右图：ut=ut1 ut2 ut3T u=u3 u5 u6 u1 u2 u4Tu=Qf utT123456Q1Q2Q3u=100-1-10010101001-1-1-1ut1ut2ut3=ut1 ut2 ut3-ut1+ut2-ut3-ut1-ut3 ut2-ut3=u3=u5=u6=u1=u2=u4当选单树支割集为独立割集时，当选单树支割集为独立割集时，树支电压可视为割集电压。树支电压可视为割集电压。树支电压树支电压(割割集电压集电压)也是一也是一组完备独立变组完备独立变量，支路电压量，支路电压能够用树支电能够用树支电压表示。压表示。10/10/17第17页结束*15-3 矩阵矩阵A、Bf、Qf之间关系之间关系2.对任一图对任一图G，当，当A、B、Q 列按相同支路编号列按相同支路编号排列时：排列时：ABT=0 或或 BAT=0 QBT=0 或或 BQT=0 3.若若A、Bf、Qf 对应同一个树，且支路编号按对应同一个树，且支路编号按先树支后连支相同次序排列写出。先树支后连支相同次序排列写出。则有：则有：TBtQl=-=-At Al-1TBt=At Al-11.A i=0 Q i=0u=A unTu=Qf utT在形式上相同。在形式上相同。所以对一些图所以对一些图G有有 Qf =A10/10/18第18页结束15-4 回路电流方程矩阵形式回路电流方程矩阵形式一、复合支路一、复合支路 既含阻抗既含阻抗(导纳导纳)，又有电源。，又有电源。(1)支路阻抗支路阻抗Zk是单一是单一R或或L或或C，但不是它们组合；，但不是它们组合；(2)能够缺乏某种元件。但不许能够缺乏某种元件。但不许存在无伴电流源支路。存在无伴电流源支路。二、支路方程矩阵形式二、支路方程矩阵形式情况情况1 电路无互感电路无互感Zk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk .Uk=Zk .(Ik+.ISk).-USk式中各量为第式中各量为第 k 条支路阻抗、条支路阻抗、独立电流源和独立电压源。独立电流源和独立电压源。无独立源时将其置零。无独立源时将其置零。设设.I=.I1.I2.IbT .U=.U1 .U2 .UbT.IS=.IS1.IS2.ISbT .US=.US1 .US2 .USbT则则 .U=Z .(I+.IS).-US防止造成计算困难。防止造成计算困难。10/10/19第19页结束Z称为支路阻抗矩阵称为支路阻抗矩阵，Z是对角是对角矩阵，对角元素是各支路阻抗。矩阵，对角元素是各支路阻抗。情况情况2 电路有互感电路有互感 设在设在b条支路中，条支路中，1g支路之间相互有耦合，则有支路之间相互有耦合，则有(g+1)b支路之间无耦合，关系式同情况支路之间无耦合，关系式同情况1。.U=Z .(I+.IS).-USZ1 Z2.Zb00Z=.U1=Z1.Ie1jw wM12.Ie2jw wM13.Ie3 jw wM1g.Ieg .-US1 .U2=jw wM21.Ie1+Z2.Ie2jw wM23.Ie3 jw wM2g.Ieg .-US2 .Ug=jw wMg1.Ie1jw wMg2.Ie2jw wMg3.Ie3 .-USg+Zg.Ieg.Ie1=.I1+.IS1，.Ie2=.I2+.IS2，；M12=M21，。10/10/20第20页结束有互感和无互感，方有互感和无互感，方程形式相同。程形式相同。有互感时，有互感时，Z 不再是对不再是对角阵。非对角线元素将角阵。非对角线元素将含互感阻抗，其正负号含互感阻抗，其正负号依据同名端确定。依据同名端确定。=-.U=Z .(I+.IS).-US .U1 .U2 .Ug .Ug+1 .UbZ1jw wM12 jw wM1g00jw wM21Z2 jw wM2g00jw wMg1jw wMg2Zg00000Zg+1+100000Zb.I1+IS!.I2+IS2.Ig+ISg.Ig+1+1+IS(g+1+1).Ib+ISb .US1 .US2 .USg .US(g+1).USb10/10/21第21页结束情况情况3 含受控电压源复合支路含受控电压源复合支路受控电压源与无源元件受控电压源与无源元件串联，控制量能够是其串联，控制量能够是其它支路无源元件电压或它支路无源元件电压或电流。电流。在第十章，我们曾用受控源替换法分析过含有互感在第十章，我们曾用受控源替换法分析过含有互感电路。所以当支路含受控电压源时，电路。所以当支路含受控电压源时，能够仿照含互能够仿照含互感方法处理感方法处理。但互感是成对出现，而受控源能够单个出现。但互感是成对出现，而受控源能够单个出现。Z非对角线元素将含有与控制系数相关元素。非对角线元素将含有与控制系数相关元素。其正负号确实定：控制量、被控量与复合支路参考其正负号确实定：控制量、被控量与复合支路参考方向都一致方向都一致(或都相反或都相反)时取时取“+”，不然取，不然取“-”。Zk-+.Usk.Isk.Ik-+.Uk+-.Udk .U=Z .(I+.IS).-US支路方程矩阵形式依然是：支路方程矩阵形式依然是：10/10/22第22页结束三、回路电流方程矩阵形式三、回路电流方程矩阵形式用用B表示表示KVL：令令 Zl=BZBT，则，则 Zl 称为称为回路阻抗矩阵。回路阻抗矩阵。Zl主对角线元素为主对角线元素为自自阻抗；阻抗；非对角线元素为非对角线元素为互互阻抗。阻抗。.BU=0 .U=Z .(I+.IS).-US将支路方程将支路方程代入得：代入得：BZ.I .-BUS=0+BZ.IS 用用B表示表示KCL：.I=BT.Il 代入上式得代入上式得回路电流方程矩阵形式为：回路电流方程矩阵形式为：BZBT.I=.BUS-BZ.IS BZBT是是 l 阶方阵。阶方阵。.BUS 和和BZ都是都是l 阶列向量。阶列向量。10/10/23第23页结束四、回路电流方程编写步骤四、回路电流方程编写步骤 P401例例15-1解：解：(1)作有向图，选树；作有向图，选树；(2)画基本回路电流，参考画基本回路电流，参考方向同连支电流；方向同连支电流；R1-+.US2.IS1jw wL4R2jw wL3jw wC5112345(3)写基本回路矩阵写基本回路矩阵B、支、支路阻抗矩阵和电压、电路阻抗矩阵和电压、电流列向量；流列向量；B=-1 0 1 0 1 0 1 0 1 -1 Z=diag R1,R2,jw wL3,jw wL4,jw wC51 .US=0 -US2 0 0 0T.IS=IS1 0 0 0 0T10/10/24第24页结束(4)求回路阻抗矩阵求回路阻抗矩阵Zl=BZBT(5)并计算整理便得回路电流方程矩阵形式。并计算整理便得回路电流方程矩阵形式。Zl=BZBTZl.I=.BUS-BZ.IS 将将Zl、.US、.IS 代入式代入式=-1 0 1 0 10 1 0 1 -1R1R2jw wL3jw wL4jw wC51-101010101-1R1+jw wL3+jw wC51jw wC51-jw wC51-R2+jw wL4+jw wC51.Il1.Il2=.R1IS1 .-US2计算得计算得10/10/25第25页结束15-5 结点电压方程矩阵形式结点电压方程矩阵形式一、复合支路及其方程矩阵形式一、复合支路及其方程矩阵形式情况情况1 无受控电流源、无耦合电感无受控电流源、无耦合电感Yk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk.Idk与回路法定义复合支路相比，增与回路法定义复合支路相比，增加了受控电流源。加了受控电流源。但不许存在受控电压源；但不许存在受控电压源；也不许存在无伴电压源。也不许存在无伴电压源。对第对第 k 条支路有条支路有.Ik=Yk .(Uk+.USk).-ISk对整个电路有对整个电路有.I=Y .(U+.US).-ISY 称为称为支路导纳矩阵。支路导纳矩阵。Y 是一个对角矩阵，是一个对角矩阵，对角线元素为各支路导纳。对角线元素为各支路导纳。10/10/26第26页结束情况情况2 无受控电流源、无受控电流源、有耦合电感有耦合电感相当于回路法情况相当于回路法情况2：VCR矩阵形式与情况矩阵形式与情况1相同。相同。差异只是差异只是 Y 不再是对角阵。不再是对角阵。Yk-+.Usk.Isk.Iek.Ik-+.Uk .U=Z .(I+.IS).-US电路有耦合电感时，支路阻抗电路有耦合电感时，支路阻抗 Z 不是对角阵，在不是对角阵，在 Z 非主对角线元非主对角线元素中将含有互感阻抗。素中将含有互感阻抗。利用上式可求得利用上式可求得 .Y U=.I+.IS .-YUS.I=Y .(U .+US).-ISY=Z-1是支路导纳矩阵。是支路导纳矩阵。10/10/27第27页结束二、结点方程矩阵形式二、结点方程矩阵形式描述结点与支路关联矩阵是描述结点与支路关联矩阵是A。用用A表示表示KCL：用用A表示表示KVL：.A I=0，.U=AT Un支路方程：支路方程：.I=Y .(U .+US).-IS用结点电压表示支路电流用结点电压表示支路电流.I=YAT .Un .+YUS .-IS代入用代入用A表示表示KCL得得 AYAT .Un .+AYUS .-AIS =0结点方程矩阵形式为结点方程矩阵形式为 AYAT .Un .=AIS .-AYUS令令 Yn=AYAT,.Jn .=AIS .-AYUS则则结点方程能够写为结点方程能够写为 Yn .Un .=JnYn称为称为结点导纳矩阵。结点导纳矩阵。.Jn是由独立源引发注入结点电流列向量。是由独立源引发注入结点电流列向量。10/10/28第28页结束三、结点电压方程编写步骤三、结点电压方程编写步骤 P405例例15-2(1)作有向图，选参考结点；作有向图，选参考结点；(2)写关联矩阵写关联矩阵A、独立电源、独立电源列相量和支路导纳矩阵；列相量和支路导纳矩阵；L1R5R4iS4L2R3C6iS3123456A=1 0 1 1 0 0-1 1 0 0 0 1 0-1 0-1 1 0 .Us=0,.Is=0 0 IS3 IS4 0 0 Tjw wL11jw wL21R31R41R51jw wC6Y=diag ,AYAT .Un .=AIS .-AYUS(3)求求AYAT并代入并代入得到得到 AYAT .Un .=AIS 10/10/29第29页结束观察观察结点导纳矩阵结点导纳矩阵发觉发觉 主对角线元素为自导纳，主对角线元素为自导纳，其余为互导纳。其余为互导纳。相当于第三章所列结点方相当于第三章所列结点方程等号左边系数。程等号左边系数。独立源列向量为注入结点电流独立源列向量为注入结点电流(等号右边常数等号右边常数)。.Un1 .Un2 .Un3 .IS3+.IS4=0 .-IS4 AYAT .Un .AIS L1R5R4iS4L2R3C6iS3R31+R41+jw wL11-jw wL11-R41-jw wL11jw wL11+jw wL21+jw wC6 6-jw wL21-R41-jw wL21R41+R51+jw wL2110/10/30第30页结束 情况情况3 有受控电流源有受控电流源 设：第设：第k条支路受控源受第条支路受控源受第 j条条支路电流支路电流(或电压或电压)控制。控制。Yk-+.Usk.Isk.Ik-+.Uk.IdkYj-+.Usj.Isj.Iej.Ij-+.Uj+-.Uej.Idk=gkj Uej或或.Idk=b bkj Iej因为因为 .Iej=Yj Uej .Idk=b bkj Yj Uej所以不论是流控还是压控，所以不论是流控还是压控，均化成均化成VCCS，且且控制系数用控制系数用Ykj 表示：表示：Ykj=gkjb bkj Yj第第k条支路方程为：条支路方程为：.Ik=Yk .(Uk+.USk).+Idk .-ISk.Ik=Yk .(Uk+.USk)+Ykj .(Uj .+Usj).-ISk.Idk=Ykj .Uej=Ykj(.Uj+.USj)注意它们在复合注意它们在复合支路中方向。支路中方向。10/10/31第31页结束支路方程形式同情况支路方程形式同情况1。导纳矩阵导纳矩阵Y不是对角阵，不是对角阵，非主对角线包含与控制系数相非主对角线包含与控制系数相关元素，能够单个出现。关元素，能够单个出现。.Ik=Yk .(Uk+.USk).(Uj+Ykj .+Usj).-ISk.Ij.Ik0Ykj.I=Y .(U .+US).-ISk行行j列列对对 b 条支路有条支路有.I1.I2.Ib=Y1Y2.Yj.Yk.Yb000000000 .U1+.US1 .U2+.US2 .Uj+.USj .Uk+.USk .Ub+.USb-.ISj.ISk.IS1.IS2.ISb(在情况在情况2中则中则是成对出现是成对出现)。10/10/32第32页结束P406例例15-3 设设写支路方程矩阵形式。写支路方程矩阵形式。控控制量、被控量与复合支路参考方向都一控控制量、被控量与复合支路参考方向都一致致(或都相反或都相反)时取时取“+”，不然取，不然取“-”。.Id2=g21U1,.Id4=b b46I6R11R21jw wC3jw wC4jw wL51jw wL61-g21jw wL6b b4600000Y=2行行1列列4行行6列列解：电路含受控源，但无互感。解：电路含受控源，但无互感。支路导纳矩阵为：支路导纳矩阵为：L5R2C3L6R1iS1iS4C4id4-+.US4+-u1+-uS2id2i60+-u65614230注意位置注意位置和正负和正负10/10/33第33页结束可得到可得到独立电源列向量为：独立电源列向量为：将以上所求代入将以上所求代入.IS=.US=0.I=Y .(U .+US).-IS.IS1 0 0 .-IS4 0 0 T .-US2 0 .US4 0 0T与复合支路相反取正，不然取负。与复合支路相反取正，不然取负。L5R2C3L6R1iS1iS4C4id4-+.US4+-u1+-uS2id2i60+-u65614230R11R21jw wC3jw wC4jw wL51jw wL61-g21jw wL6b b4600000=-.I2.I3.I1.I4.I5.I6 .U1+0 .U2+.US2 .U3+0 .U4+.US4 .U5+0 .U6+0.IS100 .-IS10010/10/34第34页结束15-6 割集电压方程矩阵形式一、关于割集电压 割集电压也是一组完备独立变量。以割集电压作为电路独立变量分析方法称为割集电压法。当选单树支(基本)割集作为独立割集时，树支电压就是割集电压。割集电压是一个假想电压，就象假想回路电流一样。u=Qf utT不然，ut 可了解为一组独立割集电压。Qadfbce支路a、b、c、d是 G 一个割集。将它们全部移去，G被分离成两个部分。Qfeut两分离部分之间电压就是割集电压。10/10/35第35页结束能够认为，割集电压法是结点电压法推广。也能够说结点电压法是割集电压法一个特例。若选一组独立割集 使每一割集都由聚集在一个结点上支路组成时，割集电压法就成为结点电压法。割集电压法要求复合支路与结点电压法完全相同，所以支路方程矩阵形式也相同：.I=Y .(U .+US).-IS12345678Q1Q2Q3Q410/10/36第36页结束二、割集电压方程描述割集与支路关联矩阵是 Qf。用Qf 表示KCL：代入用Qf 表示KCL方程就得到割集方程矩阵形式：.Qf I=0，KVL：.U=Qf UtT支路方程：.I=Y .(U .+US).-IS用割集电压表示支路电流.I=Y .Ut .+YUS .-ISTQf Qf YTQf .Ut .=Qf IS .-Qf YUS若令 Yt=Qf Y TQf则Yt 称为割集导纳矩阵。10/10/37第37页结束三、割集电压方程编写解：初始条件为零，用运算形式。作有向图，选独立割集组；选支路1、2、3为树支，则单树支割集如图所表示。12345Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)树支电压Ut1(s)、Ut2(s)和Ut3(s)就是割集电压，取树支电压方向为割集方向。写基本割集矩阵 Qf；Qf=1 2 3 4 5Q1Q2Q31 0 00 1 00 0 11 1-1 01 1P408 例15-4L4R1R2L3C5iS1iS2先树支后连支10/10/38第38页结束写独立源列向量和支路导纳矩阵；US(s)=0 IS(s)=IS1(s)IS2(s)0 0 0T代入L4R1R2L3C5iS1iS2Y(s)=R11,R21,sL31,sL41,sC5 diag Qf Y(s)QfTUt(s)=Qf IS(s)-Qf Y(s)US(s)得割集电压方程Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC510/10/39第39页结束Yt 主对角线元素分别为与割集Q1、Q2、Q3相关联支路导纳之算术和，称自导纳。其它元素分别是与两相邻割集关联支路导纳算术和，称互导纳。当两割集方向不一致时，互导纳前加“-”号。L4R1R2L3C5iS1iS2Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)与割集方向相反割集电流源取“+”，相同取“-”。Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)=IS1(s)IS2(s)0R11+sL41+sC5-sL41sL41+sC5-sL41R21+sL41-sL41sL41+sC5-sL41sL31+sL41+sC510/10/40第40页结束状态方程编写 在线性电路中，选独立电容电压和电感电流作为状态变量列写状态方程和求解最方便。1.直观法编写步骤 在状态方程中，要包含对状态变量一次导数，所以：(1)对只含一个C结点 列KCL方程；C+-R2L2i1uSR1+-uCL1i2iSi2+iS12结点 CdtduC=-i1-i2(2)对只含一个L回路 列KVL 方程；回路1 L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)+uS回路2 L2dtdi2=uC-R1(i1+i2)+uS-R2(i2+iS)(3)列其它方程(如有必要)，消去非状态变量。iR1iR2iR1iR210/10/41第41页结束(4)整理成矩阵形式直观法适合用于不太复杂电路。对复杂电路采取系统法CdtduC=-i1-i2L1dtdi1=uC-R1(i1+i2)+uSL2dtdi2=uC-R1(i1+i2)+uS-R2(i2+iS)dtduCdtdi1dtdi2=0-C1-C1L11-L1R1-L1R1L21-L2R1-L2R1+R2uCi1i2+0 0L110L21-L2R2uSiS10/10/42第42页结束2.系统法编写步骤(1)选特有树；树支包含全部电容和电压源，不包含电感和电流源。(2)对单树支割集列KCL方程；(3)对单连支回路列KVL方程；(4)列其它必要方程，消去非状态变量；(5)整理并写成矩阵形式。只要电路中不存在仅由电容和电压源组成回路；也不存在仅由电感和电流源组成割集。特有树就一定存在。10/10/43第43页结束例:列出图示电路状态方程。解：uS1+-L7C2C30C4L8R6G5iS9选特有树：123764589对单树支割集列KCL方程：C2dtdu2=i7C3dtdu3=i6+i7C4dtdu4=i6+i8对单连支回路列KVL方程：L7dtdi7=-u2-u3L8dtdi8=-u4-u5再列两个方程，消去i6和u5：i6=R61u6=R61(-u4-u3+uS1)u5=G51i5=G51(i8+i9)10/10/44第44页结束整理令u2=x1，u3=x2，u4=x3，i7=x4，i8=x5。写成矩阵形式即可。dtdu2=C21i7dtdu3=C3R61-u3C3R61-u4+1C3i7+C3R61uS1dtdu4=C4R61-u3C4R61-u4+1C4i8C4R61+uS1dtdi7=-L71u2-L71u3dtdi8=-L81u4G5L81-i8G5L81-iS910/10/45第45页结束.x1.x2.x3.x4.x5=x1x2x3x4x5+uS1iS9dtdx1=C21x4000C21000dtdx2=C3R61-x2C3R61-x3+1C3x4+C3R61uS10C3R61-C3R61-C310C3R610dtdx3=C4R61-x2C4R61-x3+1C4x5C4R61+uS10C4R61-C4R61-0C41C4R610dtdx4=-L71x1-L71x2L71-L71-00000dtdx5=-L81x3G5L81-x5G5L81-iS900L81-0G5L81-0G5L81-uS1+-L7C2C30C4L8R6G5iS9这就是图示电路状态方程。10/10/46第46页结束本章结束10/10/47第47页