1、第一章第一章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间 第1页一、线性空间基本概念一、线性空间基本概念 1.线性空间线性空间:P是一个数域，V是一个非空集合.第2页3.线性空间基与维数线性空间基与维数.4.基变换公式基变换公式.2.线性空间线性空间v v中有限个向量线性相关性中有限个向量线性相关性.5.子空间子空间:对加法封闭，对数乘封闭对加法封闭，对数乘封闭.第3页6.维数公式维数公式.第4页7.线性空间同构线性空间同构.数域数域P P上任意两个上任意两个n n维线性空间是同构维线性空间是同构.第5页1.内积空间内积空间二、内积空间基本概念二、内积空间基本概念 2.设设 V V是是n n维空间，
2、维空间，是是V V一组基，求与一组基，求与等价正交单位向量组等价正交单位向量组.3.正交补空间正交补空间第6页4.内积空间同构内积空间同构.全部全部n n维内积空间是同构维内积空间是同构.5.酉空间酉空间第7页1.已给不相容线性方程组 求此方程组 最小二乘解三、最小二乘法三、最小二乘法 是最小二乘解满足代数方程.第8页第二章第二章 线性变换线性变换 第9页1.线性变换线性变换2.设设T T是是n n维线性空间线性变换维线性空间线性变换3.线性变换矩阵表示线性变换矩阵表示4.与与 同构同构第10页5.线性变换在不一样基下矩阵是相同线性变换在不一样基下矩阵是相同6.不变子空间不变子空间第11页 正
3、交变换在正交变换在V V任意一组标准正交基下矩阵为任意一组标准正交基下矩阵为 正交矩阵正交矩阵8.酉变换酉变换9.对称变换对称变换 内积空间线性变换是对称变换充要条件是内积空间线性变换是对称变换充要条件是 它在标准正交基下矩阵为实对称矩阵它在标准正交基下矩阵为实对称矩阵.7.正交变换正交变换第12页10.Hermite变换变换 酉空间线性变换是酉空间线性变换是Hermite变换充要条件是变换充要条件是 它在标准正交基下矩阵为它在标准正交基下矩阵为Hermite矩阵矩阵.第13页第三章第三章 矩阵标准形矩阵标准形第14页1.1.T T是是n n维线性空间线性变换，维线性空间线性变换，T T属于特
4、征属于特征 值值 特征向量特征向量.2.设设T T是是n n维线性空间线性变换维线性空间线性变换,怎样求怎样求T T特特 征值及与之对应特征向量征值及与之对应特征向量一、矩阵标准形一、矩阵标准形第15页3.设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V线性变换线性变换,怎样判断怎样判断V V中中 是否存在一组基，使得是否存在一组基，使得T T在该基下矩阵是对在该基下矩阵是对 角阵角阵4.设设 A A行列式因子行列式因子第16页5.设设 A A不变因子不变因子6.设设 A A初等因子初等因子.7.求矩阵求矩阵AJordanAJordan标准形及相同变换矩阵标准形及相同变换矩阵P.P.8.哈密顿哈
5、密顿-凯莱定理凯莱定理.9.设设 求求A A最小多项式最小多项式.若若A A特征值互不相同，则最小多项式与特征多项特征值互不相同，则最小多项式与特征多项式相同式相同.第17页10.多项式矩阵多项式矩阵 斯密斯标准形斯密斯标准形.11.厄米特二次型厄米特二次型.第18页二、矩阵分解二、矩阵分解2.可逆矩阵可逆矩阵QRQR分解分解.3.单纯矩阵谱分解单纯矩阵谱分解.1.n n阶方阵三角分解阶方阵三角分解.第19页第20页第21页第四章第四章 矩阵分析矩阵分析第22页一、向量范数一、向量范数 1.几个惯用向量范数几个惯用向量范数 2.有限维线性空间有限维线性空间 向量范数是相互等价向量范数是相互等价
6、.第23页二、矩阵范数二、矩阵范数 1.几个惯用矩阵范数几个惯用矩阵范数 第24页三、三、向量与矩阵极限向量与矩阵极限 1.矩阵矩阵 序列序列 收敛于收敛于 充要条件充要条件 是是 .四、四、函数矩阵极限、微分、积分函数矩阵极限、微分、积分 五、五、函数矩阵对矩阵微分函数矩阵对矩阵微分 矩阵矩阵 对矩阵对矩阵 导数导数六、六、矩阵级数矩阵级数1.方阵级数方阵级数 收敛充要条件是对任一方阵范数收敛充要条件是对任一方阵范数 ，正项级数，正项级数 收敛收敛.第25页七、七、矩阵幂级数矩阵幂级数1.设复变数幂级数设复变数幂级数 收敛半径为收敛半径为 .谱半径为谱半径为(1).若 则 绝对收敛；(2).
7、若 则 发散.第26页八、八、矩阵函数矩阵函数1.矩阵函数定义一矩阵函数定义一.第27页第28页2.矩阵函数定义二矩阵函数定义二.九、九、矩阵函数在微分方程中应用矩阵函数在微分方程中应用第29页第五章第五章 矩阵特征值预计矩阵特征值预计第30页一、特征值界预计一、特征值界预计 1.设设 A A特征值为特征值为 则则 第31页2.实对称矩阵特征值全为实数实对称矩阵特征值全为实数.3.反实对称矩阵特征值全零或纯虚数反实对称矩阵特征值全零或纯虚数.4.厄米特矩阵特征值全为实数厄米特矩阵特征值全为实数.5.反厄米特矩阵特征值全零或纯虚数反厄米特矩阵特征值全零或纯虚数.第32页二、圆盘定理二、圆盘定理 1.设设 是是 特征值，特征值，则则2.矩阵矩阵A A任一由任一由k k个盖尔圆组成连通区域个盖尔圆组成连通区域 内有且仅有内有且仅有AkAk个特征值个特征值.第33页三、广义逆矩阵与线性方程组解三、广义逆矩阵与线性方程组解 1.设设 若若 满足满足 ，则称，则称 是是 减号逆，记为减号逆，记为2.第34页3.求法求法4.性质性质第35页5.齐次线性方程组齐次线性方程组 通解通解6.非齐次线性方程组非齐次线性方程组 通解通解第36页
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