部分服务台同步多重休假的排队库存系统.pdf

2024年3月Mar.,2024DOI:10.15960/ki.issn.1007-6093.2024.01.004叶子钦1岳德权1，t摘要，本文研究了（s,S）库存策略的多服务台排队库存系统，其中库存为空时有部分服务台同步多重休假，休假时间服从指数分布。顾客到达为泊松过程，每个服务台的服务时间和补货时间均服从指数分布。利用拟生灭过程和矩阵几何解法，计算了系统稳态概率和一些性能指标，并给出了系统单位时间的平均费用函数。最后，通过数值算例分析了参数对费用函数的影响，并得到最优库存策略和最优平均费用。关键词排队库存系统，部分服务台休假，（s,S）库存策略，拟生灭过程，矩阵几何解中图分类号0 2 2 62010数学分类号9 0 B05,90B22Queueing-inventory system with multiple synchronousvacations of partial servers*YE ZiqinlAbstract In this paper,we consider a Markovian(s,S)queueing-inventory systemin which only partial servers take multiple synchronous vacations when the on-handinventory level is zero.It is assumed that the vacation time follows an exponentialdistribution.The customers arrive according to a Poisson process,and the service timeof the customers is distributed exponentially.The lead times for the orders are assumedto have independent and identical exponential distributions.Using the theory of quasi-birth-and-death process,the matrix-geometric solution of the steady-state probability isderived.On this basis,the steady-state performance measures and cost function of thesystem are obtained.Finally,the effect of the parameters on cost function is analyzedby numerical examples,and the optimal inventory policy and the optimal expected costare also computed.Keywords queueing-inventory system,vacations of partial servers,(s,S)policy,quasi-birth-and-death process,matrix-geometric solution Chinese Library Classification O2262010 Mathematics Subject Classification 90B05,90B22排队库存系统是在库存系统中考虑了顾客服务过程的一类系统。在排队库存系统中，顾客的服务时间是不可忽视的。在现实生活中，许多服务设施中心不止有一个服务台来提供服务。比如有多个出纳员的银行、铁路预订中心等，这样的系统被称为多服务台系统。收稿日期：2 0 2 1-0 9-2 8*基金项目：国家自然科学基金（No.71971189)，河北省教育厅高等学校科技计划重点项目(No.ZD2018042)1.燕山大学理学院，河北秦皇岛 0 6 6 0 0 4;School of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,Hebei,China+通信作者E-mail:这筹学学报（中英文)Operations Research Transactions部分服务台同步多重休假的排队库存系统YUE Dequan l.t第2 8 卷第1 期Vol.28 No.11期对于多个服务台的排队库存系统,已经有不少学者对其进行了研究。Arivarignan 等 1 最先研究了多服务台排队库存系统，假设顾客是按照马尔可夫过程到达的，且服务台的服务时间均服从指数分布。当到达系统的顾客发现所有服务台均繁忙或库存水平为零时,会进入无限容量的轨道中。Yadavalli等 2 在此研究基础上引入了负顾客，得到了繁忙服务台数量、库存水平和在轨顾客数量的联合概率分布，并求出了系统的性能指标和费用函数。Nair 等 3 将库存视为服务器，研究了一个M/M/(s,S）排队库存系统，其中库存的服务时间服从相同的指数分布，利用矩阵分析法得到了稳态条件、稳态解和平均库存周期。Krishnamoorthy等 4 研究了基于（s,Q）补货策略的多服务台排队库存系统，分别求出了两个服务台稳态概率的乘积解形式和三个以上服务台的矩阵几何解和条件概率分布。此外，还构建了成本函数，并通过数值算例得出了系统最优服务台数和最优库存策略以及相应的预期最小成本。赵国喜 5 研究了在正常补货前提下，带有紧急补货策略的多服务台排队库存系统。Chakravarthy等 6 研究了一个具有无限服务器的排队库存系统，这种模型可视为针对顾客的自助服务系统。在现实生活中经常遇到不同类型的服务中断，如服务器的故障、错误、维修、休假和重新配置等。在服务器中断的类型中，允许服务器休假能够有效的维护服务器，还可以提高服务器的工作效率和耐用性。在目前所研究的多个服务器休假排队系统中，主要有同步休假、异步休假和限量休假等休假策略。多服务台休假排队系统在远程通信系统、大型服务中心、柔性制造系统和生产库存系统等领域有广泛的应用，详见文献 7 。不同于传统的排队系统，在排队库存系统中库存为零时，也会造成服务的中断。Daniel和Ramanarayanan8最早在带有两服务台的库存系统中引入了服务台休假的概念，在该系统中，当库存水平为零时，服务台开始休假，且在缺货期间或服务台休假期间需求会丢失，他们假设顾客到达时间、补货时间和休假时间均服从一般分布，利用更新过程和卷积技术求得了系统库存水平的状态概率。Suganya等 9 研究了两个不同服务台异步多重休假的排队库存系统，假设顾客到达过程为马尔可夫到达过程，且服务台的服务时间分别服从不同参数的位相分布，利用对数归约算法求得系统稳态概率向量。随后，Suganya 等 1 0 将研究重点放在顾客数量有限的情况上，在原来模型的基础上引入了有限顾客源，并得到稳态下系统中顾客数量和库存水平以及服务台状态的联合概率分布。Suganya 等 1 1 又在文献 9 的基础上引入了重试顾客，得到了稳态下概率分布和相关性能指标，并通过数值算例得出最优控制策略。Jeganathana 和Reiyas12研究了两个并行异构服务台的排队库存系统，他们假设其中一个服务台专门用于服务高优先级客户，且具有修正的工作休假，另一个服务台用于服务低优先级客户，具有延迟的工作休假，通过Laplace-Stieltjes变换获得了稳态下系统的性能指标，并得出了修正工作休假与简单休假和非延迟工作休假相比的优势。对于多服务台系统，只允许部分服务台休假，而另外一部分即使空闲也不能休假，随时可供顾客使用，有时才是更好的选择。例如救护中心、巡警系统和火车站售票处等。Yadavalli和Jeganathan13研究了只允许一个服务台休假的具有重试顾客和易腐品的两服务台排队库存系统。他们考虑了当库存水平小于等于1 时，一个服务台开始休假，另一个服务台始终可用，得出了稳态下等待空间中的顾客数、轨道顾客数、服务台状态和库存水平的联合概率分布。Jeganathan 等 1 4 所研究的模型与文献 1 3 在服务台休假策略上有所不同，他们假设库存水平和队长均为零时，具有休假策略的服务台才进行休假，研究表明：与同构服务台相比，异构服务台在优化系统方面具有明显的优势。本文考虑了部分服务台同步休假排队库存系统，在文献 4 研究的基础上引入了部分部分服务台同步多重休假的排队库存系统4142服务台休假策略。本文的主要贡献总结如下：（1）将部分服务台同步休假策略引入到排队库存系统中，研究了具有（s,S）补货策略的多服务台排队库存系统模型。（2）利用拟生灭过程理论给出了系统稳态条件的迭代计算公式。（3）得到了系统稳态概率分布的矩阵几何解和系统性能指标的计算公式。（4）获得了系统最优休假策略、最优库存策略和最优期望费用的一些数值结果。1模型描述(1)顾客到达服从参数为入(入0）的泊松过程。系统中有个服务台，每个服务台的服务时间均服从参数为(0）的指数分布。顾客的服务规则为先到先服务，每个顾客服务完成后需要消耗一个单位库存产品。(2）当库存水平为空时，d个服务台同时开始休假，其余c一d个服务台待岗。一次休假结束时，若系统中库存水平超过c一d，则d个服务台同步返回工作状态，否则继续一次独立同分布的休假。当d个服务台休假时，若顾客数或库存数n小于待岗的服务台数，则系统服务率为min(m,n)；若m和n 均大于待岗的服务台数，则此时的服务率为(cd)。当d个服务台结束休假，若m或n小于服务台总数c，则系统的服务率为 min(m,n)；若 m 和 n 均大于 c,则此时的服务率为 c。d 个服务台的休假时间均服从参数为0(0 0)的指数分布。(3)系统采用（s,S）补货策略：当库存下降到安全库存水平s(cs)时，系统向外部供应商发出订货需求，并补充订货到最大库存水平 S(s0)的指数分布。当库存为0 时，没有顾客到达(损失销售)。叶子钦，岳德权28卷AoC2稳态分析令(t)=(M(t),N(t),J(t),t0)为系统的稳态过程，其中 M(t)表示 t 时刻系统中的顾客数，N(t)表示t 时刻系统中的平均库存水平，J(t)表示t时刻系统中服务台的状态，J(t)=0表示t时刻有d个休假的服务台，J(t)=1表示t时刻没有休假的服务台。因此,过程d(t)是 Markov 过程,状态空间为=Um=0(m),其中m)=(m,0,0),(m,1,0),(m,1,1),.:,(m,S,0),(m,S,1),m 0。将状态按字典序排列，则Markov过程(t)的无穷小生成元为B1A1CB2A2CBmAmCBeAcCBAC1期其中每个分块矩阵都是2 S+1维方阵，具体表示如下：Bm1Bm2部分服务台同步多重休假的排队库存系统43mmBmm+1,1mc,Bms0GomlGmmAm=E1Ao二其中当1 mc-d时,Amk=Ei-Bmm)E2-Bmm,E2-Bmm+G,GG-d,1mc,Amc-d+1GAmsGAms+10AmsGoGE1GE2GE2GE30E3E1-uli,k=1,Ei-Bmk,2km-1,mkc-d,c-d+1 ks,s+1kS,44当c-d+1mc时,Amk其中 Bm1=0T,1mc;当1 mc-d时,Bmk=kl1,2km-1;Bmk=ml,m k S;当c-d+1 m c时,Bmk=kl1,2 k c-d;Bmk=diag(c-d),k),c-d+1 km;Bmk=Bmm,m+1 k S;+)E1=-(n+)I1,E2=0B=Be，A=A e,C=d i a g 0,入I2,Ii为2 阶单位阵，I2为2 S阶单位阵。2.1稳态条件由Q的结构可知(t)是拟生灭过程。令M=B+A+C,则有其中000000M120000M11一n00910109100 0000000000000000叶子钦，岳德权Ei-li,k=1,E1-Bmk,2kc-d,E2-Bmk,c-d+1km,E2-Bmm,m+1ks,E2-Bmm+G,s+1kS,Go=n 0,G=nl1,-(n+入+0)-(n+入)M11M12M=M21M220000000M2100n000000fc-d09c-d0fe-d00fe-d00.0028卷0fe-d00fe.000000000000gc-d00fe-d+109c-d+1000000000000000000a000000000000000 0000 00000000000 0 00fe-d0a00f09c1期M22=00000000其中M11是（2 c+1）维方阵，M12是第（2 S-2c-1)列和第（2 S-2c)列含有元素n，其余列全为零的(2 c+1)(2S-2c)维矩阵，M21是第一行，第(2 c)列的元素为(（c-d)和第二行，第（2 c+1)列元素为c，其余元素为零的（2 S-2c)（2 c+1）维矩阵，M22是(2 S-2c)维方阵,a=-(c-d)+n,b=-(c-d)+,fi=i,1i c,9i=-(c+n),c+1is,-cu,s+1iS。定义M的稳态概率向量为=（So.0,51,0,51,1,Ss,0,5s,1)，满足如下方程M=0,e=1,其中e是元素全为1 的适当维数的列向量。将方程组的第一个方程写成分量形式可得nSo,0=S1.0+E1.1,(1)(n+i)si,0=(i+1)i+1,0,1ic-d-1,(2)n+(c-d)l Ee-d,0=(c-d)Sc-d+1,0,(3)n+(c-d)+0 si,o=(c-d)Ei+1,0,c-d+1i s,(4)(c-d)+0 si,o=(c-d)si+1,0,s+1 i S-1,(5)(n+i)i,1=(i+1)si+1,1,1ic-d,(6)Ei,0+(i+1)i+1,1=(n+i)Ei,1,c-d+1ic-1,(7)Ei,0+cEi+1,1=(n+c)Ei,1,cis,(8)0Ei,0+ci+1,1=cEi,1,S+1iS-1,(9)nSo,0+n(1,0+2,0+.+Es,0)=(c-d)+0 s,0,(10)n($1,1+E2,1+.+Es,1)+0Es,0=cEs,10(11)部分服务台同步多重休假的排队库存系统a00000009c+1.0000450000fe-d00fe00f-d060000000000-(i+n),1ic,000 00a0009s000fe09s+10000000n：0000 0000 00000fe-d060fe0gs046定理1 稳态概率向量的各分量可表示为u+0叶子钦，岳德权0=(1.0+1.1),28卷(12)$1,0,(13)I1,hm51.0,m=2(-)c-d,0,3i-c+d-1.ed+1,0,)i-s-1(1+)Ss+1,0,$+2iS,I1,hm51,1,m=2he-d+2c-d+1,1-(cd+2),Se-d+1,0,hmSc-d+1,1-liSc-d+1,0,m=c-d+2i-cn+cuSc.1cus+1.1i-s-2(1+)Es+1,0,m=0其中hmn+(m-1),2 mc,mc-dBs-c+dhm,S-s-1=(-)(1+)c-diC-d hm+(-a)Ilhm1+i=2m=2m=2i-1IIhm.Bm-c+d-mum=c-d+2n=m+1而S1,o的值，可由正规化条件e=1得出。2ic-d,i=c-d+1,c-d+2is+1,2ic-d+1,i=c-d+2,c-d+3ic,i-c-1n+cumBi-c-1-mEe.,0,cum=0Q=(c-d)un=1+(c-d)um=2Si=c-d+2c+d-2,c-d+3ic,(14)(15)c+1is+1,s+2iS,(16)(17)(18)(19)(20)(21)1期证明将式(2）进行迭代可得在式(2 2）中取i=c-d,并将其代入式(3)可得c-dScd+1,0=(-a)II hmS1,00m=2将式(2 3)代入式(4)进行迭代可得c-d.S,o=i-e+d-1(-a)II hms1,c-d+2is+1。m=2在式(2 4)中取i=s+1,并将其代入式(5)进行迭代可得Si.0=(1+a)-8-ga+1,0.8+2 i S。根据式(2 5)可以得到5.=(1+a)-1(1+a+B)*-+d(-a)I hm51.由式(2 2)(2 4）和(2 6）可以得出分量52.0,，5s.0,Es.0关于51.0 的关系式。由式（1)可以得出So,o关于51,o和$1,1 的关系式，将其代入式(1 0)可以得到1,01.1部分服务台同步多重休假的排队库存系统5i.0=II hhms1.0,2ic-d.m=2(c-d)+047(22)(23)(24)(25)c-d(26)m=22_+n(27)将式(6)进行迭代可得5i.1=II hhmS1,1,2ic-d+1。m=2在式(2 8）中取i=cd+1,并将其和式(2 3)代入式（7)可得n+(c-d+1)Sc-d+2,1=(c-d+2)再将式(2 4)和（2 9）代入式（7）中进行依次迭代可得$i,1=mII hmse-d+1,1-lise-d+1,0,c-d+3icom=c-d+2将式(2 4)代入式(8)进行迭代可得i-ci-c-1n+cuEc.1i.1cu(28)c-d+1,1(29)(c-d+2)-d+1,0。0-c-1-me,0,c+1is+1。3一cucum=0(30)(31)48将式(2 5)代入式(9)进行迭代可得i-s-20$i,1=Es+1,1-1+mEs+1,0,S+2iS。m=0由正规化条件e=1,并结合以上公式可以求出$1,o的表达式，其中，l,和hm已在式(1 6)(2 1)给出，定理证毕。叶子钦，岳德权28卷(32)口定理2 过程(t)是正常返的充分必要条件为入(1 -S0,0)P证明由文献 1 5 可知，过程(t)正常返的充分必要条件为 CeBe。由矩阵 C和矩阵B的结构，可知Ce=入i=1c-d-1Be=i,o+(c-d)1由此,CeBe等价于p1。特殊情况1 考虑c=2,d=1的情况。此时，当系统中的顾客数和库存水平均大于等于2 时，系统中的服务率在有服务台休假时为，无休假时为2，由式（33）可得系统平衡条件为(36)5i.0+51,1+225,1)(i=1特殊情况2 考虑c=2,d=2的情况。此时，一旦服务台进入休假状态，系统将不再接受服务,且没有新的顾客进入系统。模型中也不存在状态(m,n,0),m0,1n S-1),是因为该状态是非常返的，一旦离开该状态，将永远不会返回。因此，1 i S1 时,Si,0=0,由式(33）可得系统平衡条件为入P=2-nSo,0/(1-(o,0-n/Co,0)=2(1-)其中S-1U=2(+2n)+21。c-d-1Siti.o+(c-d)2_si,o+2iti1+c2si.11Ssi.0+i,1=入(1 -0,0),i-1S5.0+2i5.1+cZi=c-d=1入(1 -0,0)S(n+)(Sn-sn+2)(33)c-1Si=c-di=cSc-1S1。2入n+2u(34)SSi,1i=c1，(35)口(37)1期2.2矩阵几何解令Markov过程(t)的稳态概率为其中am=(cm(0,0),m(1,0),am(1,1),.:,am(S,0),cm(S,1),m 0,&满足如下方程组其中e为适当维数的元素全为1 的列向量。由文献 1 6 可知，系统的稳态概率向量有如下矩阵几何解其中R为矩阵二次方程的最小非负解，其谱半径 sp(R)1。而（1,a2,ce)BR)=0 有正解，其中BR=由此，根据归一化条件，a1,2，#c 由以下方程组唯一决定2,am+ae(I-R)-le=1。m=0为了计算系统稳态概率向量，需要对率阵R进行求解。由于矩阵B,矩阵 A和矩阵 C均不是特殊矩阵,率阵 R不能进行精确计算,故可由文献 1 7 中的对数归约算法对R进行求解。该算法中选代次数近似等于 log2L(e),其中定义 L(e)=inf(k=lle-G(k)lle,而矩阵 G(),j1)是一个收敛于随机矩阵G的非减序列。该算法具有二次收敛等特点,且收敛速度较快，即使对于几乎不稳定的模型也能提供非常精确的结果。主要步骤如下：第一步：令C(0)=(-A)-1C,B(0)=(-A)-1B,G(0)=B(0),H(0)=C(0)。第二步：循环以下步骤U(G)=C(G)B(G)+B(i)C(i),T(i)部分服务台同步多重休假的排队库存系统=(o,1,a2,.),aQ=0,ce=1,Cm=aeRm-c,m c,R?B+RA+C=0A oCB1A1CBc-1Ac-1Be1RB+A(1,a2,.,cc)BR=0,c-149(38)(39)(40)C(41),T()50叶子钦，岳德权28卷C(i+1)=(1-U()-T(),B(i+1)=H(G+1)=H(G)C(i+1),直至送代满足 le-G(i+1)ell。第三步:R=-C(A+CG(i+1)-1。由方程(39)和(41),即可得到系统稳态概率向量。2.3系统性能指标(1)平均库存水平1=ZZCmam(n,0)+.2m=0 n=0m=0 n=1(2)平均繁忙的服务台数c-d1k=1j=0Lm=k+1C8+am(k,1)+k=c-d+1Lm=k+1(3)平均订货率8SR=nam(n,0)+n)m=0n=0m=0n=1(4)平均补货量SZZ(S-n)cm(n,0)+ZZ(S-n)m(n 1),E=m=0 n=0(5)顾客损失率(6)有效到达率(7)平均队长L.=ZZmam(n,0)+ZZ,m=0 n=0m=0n=1(8)平均等待队长8SLa=(m-c+d)m(n,0)+(m-c)m(n,1),m=c-dn=0(I-UG)8S8am(k,i)+Z(n,)+a%(k,)n=k+1SCk(n,1)+ak(k,1)n=k+18Sam(n,1),Sm=0n=18E=入m(0,0),m=0入A=入-Et,8ST,(),G(i+1)=G(G)+H()B(i+1),S8nam(n,1),S8Smam(n,1),8Sm=cn=1(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)1期(9）顾客平均逗留时间(10)顾客平均等待时间(11)平均休假率2.4费用函数根据第2.3节模型的系统性能指标，可以建立系统单位时间平均费用函数：F(s,S,d)=CiLa+C2I+C3Et+C4R+CsE,R+CeN+C-dEu,其中C1为单位顾客的平均等待费用，C2为单位时间单位产品的库存保管费，C3为库存为0 所造成的顾客损失费用，C4为每次订货的固定订单费用，Cs为单位产品的补货费用，C6为每个服务台工作所造成的成本费用，C为服务台休假所产生的成本费用。3数值分析根据第2.4节费用函数的表达式可知，系统的费用函数F(s,S,d）是关于库存控制决策变量s，S 和休假服务台数d的非线性函数，并且均为离散的整数型变量。由于系统的平均费用函数比较复杂，很难利用解析表达式求解。因此可利用数值搜索法对模型进行分析。本节通过数值算例，首先利用数值搜索法求解最优库存策略和最优休假服务台数使得系统的平均费用最小。然后考虑了总服务台数不同情况下，最优休假服务台数以及系统最优费用。最后分析了各参数变化对系统费用的影响。3.1费用参数的敏感性分析本节通过改变任意两费用参数值来观察最优休假服务台数和最优库存策略以及最优费用的变化情况。设置系统总服务台数c=6,参数入=3.5,=1,0=4,n=0.8，其余参数设置在各表题注中显示。所得最优库存和休假策略（s,S,d）以及最优费用F(s,S,d)如表1 4所示。由表1 可以看到，当C1，C s 增加时，最优休假服务台数d减少，最大库存水平S增加。这是由于如果顾客等待费用和顾客损失费用变高，就需要减少可休假服务台数使得有更多的待岗服务台为顾客提供服务，同时设置高库存来减少系统中等待的顾客，减少库存为零时顾客损失的概率。由表2 和表3可以看到，最大库存水平 S随着 C4的增加而增加，随着C2和C5的增加而减少；最优休假服务台数d随着C2的增加而减少。这是由于当订购费用增加时，系统需要设置高库存来避免重新订购；而随着库存保管费用和补货费用的提高，系统需要较低的库存水平来减少库存成本费用，同时减少休假服务台数也能达到降低库存水平的作用。部分服务台同步多重休假的排队库存系统LsW=入ALaWa=入A8SE=0CmLm=0 n=c-d+151(50)(51)(52)52表1 C1和Cs对最优策略和最优费用的影响，其中C2=10,C4=30,Cs=15,C6=15,C7=5C3C11015202530表2 C2和 Cs对最优策略和最优费用的影响，其中C1=5,C3=20,C4=30,C6=5,Cz=10CsC21015202530表3C4和 Cs对最优策略和最优费用的影响，其中 Ci=5,C2=10,C3=20,Cs=15,C7=5CsC4510152025由表4可以看到,C和C的增加均会导致最大库存S的增加，而最优休假服务台数d会随着C增加而增加，随着C增加而减少。这是由于服务台工作费用增加，系统叶子钦，岳德权515(7,13,3)(7,13,3)225.675 1231.4909(7,14,2)(7,14,2)239.4615244.9373(7,15,2)(7,15,2)251.8514257.165 2(7,16,2)(7,16,2)263.5872268.745 0(7,19,1)(7,19,1)274.3697278.5415510(7,13,3)(7,13,3)182.0505200.4883(7,11,3)(7,11,3)206.594 4224.2579(7,10,2)(7,10,2)228.1823245.5503(7,10,2)(7,9,2)248.5967265.9697(7,9,2)(7,9,2)267.943 8284.7296510(7,12,3)(7,12,3)168.8502186.9382(7,13,3)(7,12,3)171.5547189.6748(7,13,3)(7,12,3)174.178 7192.411 4(7,13,3)(7,12,3)176.802 6195.1480(7,13,3)(7,13,3)179.426 6197.864 428卷2535(7,14,3)(7,14,3)237.270 1242.945 9(7,15,2)(7,15,2)250.396 9255.710 7(7,16,2)(7,16,2)262.422 3267.5801(7,17,2)(7,19,1)273.870 5278.546 0(7,19,1)(7,20,1)282.713 4286.87781520(7,12,3)(7,12,3)218.709 2236.7972(7,11,3)(7,11,3)241.9215259.5850(7,10,2)(7,10,2)262.9183280.2863(7,9,2)(7,9,2)282.7555299.5413(7,9,2)(7,9,2)301.515 4318.30121520(7,12,3)(7,11,3)205.026 3222.928 1(7,12,3)(7,11,3)207.762 8225.796 2(7,12,3)(7,12,3)210.499 4228.5875(7,12,3)(7,12,3)213.2360231.3240(7,12,3)(7,12,3)215.972 6234.060645(7,14,2)248.5534(7,15,2)261.0245(7,16,2)272.7379(7,19,1)282.7178(7,20,1)290.913325(7,12,3)254.8852(7,10,3)277.2250(7,9,2)297.5672(7,9,2)316.3271(7,9,2)335.087025(7,11,3)240.591 6(7,11,3)243.4598(7,11,3)246.3279(7,11,3)249.1960(7,11,3)252.06411期表4Cs和C对最优策略和最优费用的影响，其中C1=5,C2=10,C3=20,C4=30,C5=15C7C6510152025部分服务台同步多重休假的排队库存系统510(7,10,2)(7,10,2)170.2144171.8957(7,11,2)(7,11,2)195.4643197.086 6(7,12,3)(7,12,3)218.709 2221.4899(7,13,3)(7,13,3)240.8400243.5439(7,14,3)(7,14,3)262.3264264.9271531520(7,10,2)(7,11,1)173.576 9175.138 5(7,11,2)(7,11,2)198.708 9200.331 1(7,12,2)(7,12,2)223.3561224.8790(7,13,3)(7,13,2)246.247 8248.7716(7,14,3)(7,15,3)267.5278270.103 225(7,11,1)175.694 4(7,11,2)201.953 4(7,12,2)226.402 0(7,13,2)250.169 7(7,15,3)272.5846会增加休假服务台数来避免服务台空闲所造成的浪费；同理，当服务台休假费用增加时，系统会增大库存同时减少休假服务台数来减少服务台休假率。3.2系统最优休假服务台数分析本节主要考察总服务台数不同情况下，系统最优的休假服务台数以及最优费用。表5给出了总服务台数c=6,8,10,12时，可休假服务台数d对系统费用F(14,30,d)以及相关性能指标的影响。设置参数入=3.2,=0.6,0=6,n=0.3；成本参数C1=5,C2=10,C3=20,C4=30,C5=15,C6=15,C7=5。由表5可以看到：系统总服务台数c取不同值时，休假服务台数d存在最优值。比如c=6时，休假服务台数在d=3时平均费用达到最小值。因此，对于企业而言，在系统其他参数确定的条件下，可设置合适的休假服务台数使系统费用值达到最优。由表5还可以看到总服务台数c和休假服务台数d对性能指标的影响：(1）固定总服务台数，系统平均等待队长L。随着休假服务台数d的增加而增加；系统平均繁忙服务台数Ns随着休假服务台数d先减小后增加。(2）系统平均库存水平I随休假服务台数d的变化，与c的取值有关。当c小于某个阈值 co时，平均库存水平随着d的增加而增加；当c大于某个阈值co时，平均库存水平非单调变化。一方面，随着d增加待岗服务台数减少，会导致平均库存水平的增加；但是另一方面，随着的增加，系统单位时间服务顾客的数量增加，库存水平达到安全库存水平s=14的可能性增加，从而加快了订货频率，这就会导致库存水平的增加，从而当c大于某个阈值co时，d 的变化对平均库存水平的影响会受到c 的干扰呈非单调变化。由表5可见，系统的平均订货率R和系统平均补货量E，随着d的变化趋势与平均库存水平随d的变化趋势恰好相反。这说明系统的平均订货率R和系统平均补货量Er与平均库存水平呈负相关。(3)系统平均休假率E，在c小于某个阈值co时，随着d的增加而逐渐增加，在c大于某个阈值co时，随着d的增加而先减小后增加。一方面，这是由于可休假服务台数越多，返回工作状态所需的库存水平就越少，从而返回工作状态的概率也就越大，平均休假率E，越大；另一方面，当c较大而d较小时，随着d增加，系统待岗服务员数减少，库存水平消耗减少，服务台休假率也就减少。5461254.565 72245.12983242.046 64247.23715262.020 381319.633 22302.503 03290.779 24286.67714.030 25292.009 16307.893 77317.4495101344.919 22341.718 33327.034 84305.09095293.63154.129910.800 16294.27447308.40988338.448 59353.768 7121371.13032352.440 63332.25964315.00185304.435 46304.18581.663 618.790 80.045 17316.09908338.501 09366.455 610395.726511427.025 1叶子钦，岳德权表5服务台总数不同情况下，休假服务台数对系统费用和相关性能指标的影响dF28卷La15.534 812.105 70.57835.784112.11000.573 46.041312.13180.565 76.294 412.168 56.534 612.220 50.561 53.586511.669 03.724111.681 63.872411.702011.726 90.520 34.197 111.75470.51924.371511.786 34.551 711.82230.51592.921310.641 60.629 03.234510.679 23.544610.715 00.64983.851010.760 84.359810.838 04.534310.88314.665 310.932.84.781 410.979 91.052318.81961.208 018.61420.050 61.322618.61790.05231.441 418.673 61.558218.735 71.748 818.829 41.806718.847 61.835318.84570.039 61.839018.82240.039011.237 71.829018.77400.038 2Et0.56530.521 80.521 60.52120.517 70.642 50.65360.65430.65130.644 70.635 20.623710.000 00.034 411.017 09.716 58.36590.050 47.164 50.047 86.3881.6.29670.042 77.025 60.040.98.469 710.301 712.000 0Nb3.43002.69062.366 52.591 43.458 18.000 07.422 96.56426.21006.481 27.45278.000010.000 09.759.98.879 47.271 76.270 56.395 07.139 79.05890.104 70.10400.103 50.103 30.103 30.10360.1043R0.168 814.978 80.168 714.977 60.168314.95480.05990.167914.91330.06590.167 314.85250.070 00.171 115.51310.170315.505 00.170015.48650.169 815.462 40.061 40.169515.434 20.06150.169 215.401 00.168915.36190.06210.196 8.16.756 50.195 916.75400.08000.195 416.706 80.194816.648 10.194316.599 80.193 916.553 90.193 416.499 00.192916.438 40.192516.38060.10000.103 95.066 40.106 65.37460.10635.36310.105 55.28075.19405.11885.066 45.042 15.046 45.08135.151 1 EfE0.045 40.052 70.06690.06380.06210.06180.13360.