带N策略的双阶段休假M_M_1排队系统驱动的流体模型性能分析.pdf

2024年3月Mar.,2024DOI:10.15960/ki.issn.1007-6093.2024.01.003带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析王勋1 徐秀丽1,t摘要基于工厂订单装配系统的运行机制，本文构建并分析了具有N策略和两种混合休假策略的M/M/1排队系统驱动的流体模型。首先对驱动系统进行描述，将马尔可夫过程的无穷小生成元写成块状雅克比矩阵形式。引入库存量建立三维马尔可夫过程，得到稳态下流体排队满足的微分方程组，运用矩阵分析方法和Laplace变换（LT）方法得出系统平稳库存量的数学表达式。进而运用Laplace-Stieltjes变换（LST）导出稳态条件下缓冲器的平均库存量。最后，利用数值分析，给出参数变化对系统性能指标的影响。关键词流体模型，N策略，双阶段休假，库存量中图分类号 0 2 2 62010数学分类号6 0 K25,90B22Performance analysis of a fluid model driven by M/M/1queue with N-policy and two-stage vacation*Abstract Based on the operation mechanism of the factory order assembly system,this paper constructed and analyzed a fuid model driven by the M/M/1 queue with twotype of mixed vacations and N policy.Firstly,the driving system is described and theinfinite small generators of the Markov process are decomposed into a blocky Jacobianmatrix form.Then the three-dimensional Markov process of the fluid queue is established,the differential equations satisfied by the stationary joint distribution are obtained,andthe mathematical expression of the stationary buffer content is deduced using matrixgeometric solution and Laplace transformation.Then the expected buffer content isderived by Laplace-Stieltjes transformation.Finally,the influence of parameters changingon the performance indicators is illustrated by numerical analysis.Keywords fluid model,N policy,two-stage vacation,buffer contentChinese Library Classification O2262010 Mathematics Subject Classification 60K25,90B22随着现代技术的迅猛发展，传统的离散排队模型具有很大的局限性，流体模型在日常生活中更能得到广泛的应用，尤其在计算机通信网络以及生产库存系统等领域受到较收稿日期：2 0 2 1-1 1-1 7*基金项目：国家自然科学基金（No.62171143)，河北省自然科学基金（No.A2019203313)，河北省高等学校科学研究重点项目（No.ZD2019079)1.燕山大学理学院，河北秦皇岛 0 6 6 0 0 4;School of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,Hebei,China+通信作者E-mail:这筹学学报（中英文)Operations Research TransactionsWANG XunlXU Xiulil,t第2 8 卷第1 期Vol.28 No.130多的关注和理论研究。Virtamo和Norros1利用第二类切比雪夫多项式得到了M/M/1排队系统驱动的流体模型的平稳库存分布的一个简单积分表达式。在此基础上，Anda 和Resing2 通过嵌入时间点的方法给出了基于第一阶修正 Bessel 函数的模型库存量的平稳分布。Partha-sarathy等 3 进一步通过Laplace-Stieltjes变换方法给出了由M/M/1排队系统驱动的流体模型平稳库存量分布的解决方案。近些年来，为适应和解决不同的排队拥塞问题，众多学者将休假策略引到流体模型的外界环境中。毛炳蔚等 4 通过研究单重休假M/PH/1 排队系统驱动的流体模型，得到了平稳库存量的Laplace-Stieltjes 变换及空库概率。王慧宁和徐秀丽 5】研究了单重工作休假M/PH/1排队系统驱动的流体模型，推导出平稳库存量的空库概率表达式以及稳态条件下的平均库存量。为减少服务台昂贵的启动成本，许多驱动系统在休假期采用N策略来激活服务台的正常工作。Ushakumai6研究了N策略下的两服务器库存系统，并得到了稳态下库存水平的联合概率分布和各种系统性能指标。在现实生活中，可以看到很多情况下，服务器会采取双阶段休假策略。刘煜飞和叶晴晴 7 基于矩阵分析方法研究了具有双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型。进一步考虑到多服务台的情况，李子坤和徐秀丽 8 构建并分析了同时具有工作休假和休假两种休假策略的M/M/c排队驱动的流体模型，导出稳态下缓冲器中流体的空库概率及平均库存量。在工厂处理装配订单的过程中，订单数量影响着工厂生产效率的高低。当工厂的订单量较多时，生产订单的速率较高，类似于驱动系统处于正常忙期；当工厂的订单量较少时，生产订单的速率就会变低，类似于驱动系统处于工作休假期；当没有订单时，工厂就会停止生产，类似于驱动系统处于休假期。为降低生产成本，减少库存积累，只有当订单量超过一定数量时，工厂才开始工作。在此基础上，本文研究了带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型，得到了流体模型平稳库存量的LST及均值等性能指标。并且通过数值实验分析了参数变化与性能指标的关系，进而将实验结果应用到工厂的订单生产过程中，以提高生产效率及增加盈利。王 勋,徐秀丽28卷1马驱动系统描述带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统假设如下：(1）顾客的到达间隔服从参数为入的指数分布。(2）正常忙期内，服务时间服从参数为b的指数分布。当系统为空时，服务台首先进入工作休假，工作休假期间系统的服务速率为w（wb)，工作休假时间服从参数为Qw的指数分布。当一次工作休假结束后，若系统中有顾客，则系统直接进入忙期，此时系统由低服务速率转换成高服务速率b为顾客提供服务。否则，系统进入休假期，休假期内系统不提供服务。一次休假结束后，若系统中有不少于N个顾客，则系统进入忙期。否则进行一次新的休假，休假时间服从参数为，的指数分布。(3）假设服务时间、到达时间间隔、工作休假时间和休假时间均两两相互独立。并且，该驱动系统服从先到先服务（FIFO）的排队规则。设L(t)表示系统在时刻t的顾客数，J(t)=0,1,2表示服务台在时刻t分别处于工作休假状态、休假状态和正常服务状态，则(L(t),J(t),t0)是连续时间马尔可夫过1期程，其状态空间为2=(0,0)U(0,1)U(k,i),k1,j=0,1,2)。按照字典排序法将状态空间排序，则可得到二维马尔可夫过程的无穷小生成元带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析Ao0A01B10A1CBA1CBA1C31.BA2CBA2C其中w0(入+0 w)Ao00B=0ub入C=入入记驱动系统的服务强度p=，当p1,随机过程(L(t),J(t),t0)_存在平稳分布，记为kj=limPL(t)=k,J(t)=),(k,j）。引入稳态分布向量 o=(00,T01),=(k0,h1,h2),1。记=(O,1,)。引理1 当p1时，则二次方程（Ri)B+R1A1+C=0存在最小非负解其中个=2入+w+-V(A+0w+)?-4A)引理2 当p1时，则二次方程（R2)B+R2A2+C=0存在最小非负解000-(A+Qw+w)0一入-(入+b)-(入+w+w)0-(入+0)-(入+b)0R10P0Tub(1-r)R2B其中=+o,入ub(i-m)32由Q=0可得到方程组利用上述引理和记号,对上述方程组求解，得到0=岁0 1 0=X0+（0%/1 1入(0 w+4ub)kN。进而可得 To=(1,)T00,1=由归一化条件2 元ke=1(e为相应维数的分量均为1 的列向量）所确定。k=12流体模型稳态分析本文把带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统作为驱动系统建立流体模型。设C(t）表示系统在时刻t 时的库存容量，并且它是一个非负随机变量。设缓冲器的净流入率(流入率-流出率）为三维随机过程(L(t),J(t),C(t),tO)的函数，且满足dc(t)dt其中0,0 0 0 0 1 o2。净流入率的函数表达式可以表明：当驱动系统处于工作休假期或休假期且系统为空，则缓冲器内的库存量以速率一减少，直至库存量为零。当驱动系统中存在顾客且处于正规忙期时，则缓冲器内的库存量以速率2 增加。当驱动系统中存在顾客且处于工作休假期时，缓冲器内的库存量以速率1 增加。当驱动系统中存在顾客且处于休假期时，缓冲器内的库存量以速率o增加。系统按照以上规律一直循环往复下去。记流体模型的平均漂移为d,且d=（T o o+T 0 1)+k o+1 1+28元k20k=1k=1由文献 7 可知，当d0且 0,0,(L(t),J(t)=(0,0)U(0,1),C(t)=0,o,(L(t),J(t)=(k,0),k 1,1,(L(t),J(t)=(k,1),k 1,02,(L(t),J(t)=(k,2),k 1,t8028卷元O,其中T00k=1.2k=1j=-01期带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析33dFoo(u)t-80du=wFio(u)+bF12(u)-(+Qw)Foo(u),dFoi(u)du=QuFoo(u)-入Fo1(u),dFko(u)du2=入Fx-1,(u)-(+0w+a)F(u)+a Fa+1,(u),1,dFki(u)=Fk-1,1(u)-Fi1(u),1kN-1,01dudFk1(u)=入Fk-1,1(u)-(+0u)Fr1(u),kN,0122=0uF10(a)=(A+b)F12(u)+F2(a),du02dudFk2(u)2=AFu-1,2(u)-(A+)Fr2(u)+pFa+1.2(u)+0uFro(u),2 kN-1,022=AFx-12(u)-(a+m)a(a)+12(u)+0uFro(u)+0.Fe1(u),N,du02du且满足边界条件为Foo(0)=a,Fkj(0)=0,(k,j)E 2/(0,0),Fk;(o0)=lim P(L(t)=k,J(t)=j,C(t)00)=P(L=k,J=j)=Tkj。上述微分方程组可写成以下矩阵形式d(Foo(u),Fo1(u),Fi(u),.)H=(Foo(u),Foi(u),Fi(u),.)Q,du其中定义流体模型的稳态联合分布的Laplace变换为Fu(s)=Je-suF;(u)du,s 0,(k,j)E2。则库存量的平稳分布函数的Laplace变换为F(s)=Foo(s)+Fo(s)+22.Fkg(s)对方程（1）的两边进行Laplace变换，整理得到(Fo(s),Fo1(s),Fi(s),F2(s),.)(Q-sH)=(ao,0,)。为了方便表示，引入矩阵记号-(+w+w+soo)A1(s)-(A+Ou+w+soo)A采用文献 7 中的方法，可得到下述结论。(1)H=diag(0,00,01,02,00,01,02,-.),Fk(u)=(Fko(u),Fhi(u),Fk2(u),k 1。2k=1j=00-(入+s01)0-(入+s01)(2)0-(入+b+s02)-(入+b+S02)34引理3当任意s0时，矩阵方程(Ri(s)2B+R1(s)Ai(s)+C=0的最小非负解存在且为R1其中入+Qw+w+s0o-V(+Qw+w+s0o)?um1h(s)引理4当任意s0时，矩阵方程(R2(s)?B+R2(s)A2(s)+C=0 的最小非负解存在且为R2王勋,徐秀丽0m10wr(s)X+802+b(1-r()-h(0),2b入+b+s00-V(+b+s0o)?-4入b28卷(3)0h0m2(s)-4入w(4)其中0um2(s)m2=X+0,+so1,9(s)显然，0)=g.m2()=,h(0)b入+ew+w-V(+w+w)12)=X+s02+b(1-m2()-h(0)。4入w一利用上述引理和记号，可以得到下述结论。定理1 当d0,p1时,F%(s)(k0)满足的表达式为)Foo(s),F(s)=Fi(s)(Ri(s)k-1,1k N-1,F%(s)=FN-1(s)(R2(s)k-N+1,k N,其中(5)-ao1期证明矩阵方程（2）可写成以下等价方程组-(A+Qw+so)Fo(s)+uFio(s)+bFi12(s)=-ao,0wFoo(s)-(+so)Fo1(s)=0,入Foo(s)-(+0u+s0o+w)Fio(s)+uF20(s)=0,入Fo1(s)-(+801)F11(s)=0,0uF1o(s)(A+s02+b)F12(s)+bF22(s)=0,Fk-1(s)C+F(s)A1(s)+Fh+1(s)B=0,1 k N-1,Fe-1(s)C+F(s)A2(s)+Fi+1(s)B=0,k N。因为方程（2）中的矩阵Qs H 为三对角矩阵，所以运用矩阵几何解方法，可得到F%(s)=Fi(s)(Ri(s)k-1,1 k N-1,F(s)=Fn-1(s)(R2(s)k-N+1,k N,(Fo(s),Fo1(s),F10(s),F11(s),F12(s)BR1l=(-ao,0,0,0,0),其中对方程组（6）中第1 5式求解，可得到Fi1()=m(0)0o(0),Fi2()-0(0)Fo(s),其中带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析Aoo(s)BRi=B10Ai(s)+R1(s)B-aa35(6)A01进而可得到 Fo(s)和 Fi(s)的表达式Fo(s)=(Fo(s),Fo1(0)=(1,X)Fo(s),Fi()=(Fi0(s),Fi1(s),f12(o)=(r(s),Xam(s),(s)现计算库存量的Laplace变换，由定理1 中结果整理得到F(s)e=Foo(s)e+Fo1(s)e+Fi(s)(I-(R(s)(I-Ri(s)-le+Fi(s)(R1(s)N-2 R2(s)(I-R(s)-le,其中I是适当阶数的单位矩阵，e是相应维数的分量均是1 的列向量。因为矩阵I-Ri（s）和矩阵I-R2（s）都是上三角矩阵，现计算矩阵IR i（s）的谱半径。设入为矩阵IR 1(s）的特征值，则有入-(1 -r1(s)IE-(I-R1(s)I=)Foo(s)。0$(s)入-(1 -mi(s)0入-(1 -h(s)=0。36可得到 入1=1-r1(s),2=1-m1(s),=1-h(s)。因为 r1(s),m1(s),h(s)均小于 1,所以入1,入2，入绝对值的最大值也均小于1，即其谱半径小于1。同理可得矩阵R2（s)的谱半径也小于1。由于两个矩阵的谱半径都是小于1，故此时两个矩阵都是可逆的，进而得到(I-R(s)-1(I-R2(s)-1 因此,F(s)的表达式可用 Foo(s)表示,且F(s)=FoSO+(r(S(-2h(s)+(r(s)N-1h(s)+(r(s)3h(s)-(r(s)(1-r(s)(1-h(s)为方便计算稳态下的平均库存量，结合引理1 和2，分别构造以下两个函数1入+b+802+V(+b+s02)-4入b)h2b1入+0 w+w+$00+V(A+0w+w+s0)22记平稳库存量的Laplace-Stieltjes 变换*(s）为则有 f*(s)=sF(s)。将Foo(s)代入F(s）的表达式中，并通过LST变换的性质lim f*（s)=1,整理计算可得空库概率进而得到均值E(C)=-lims-0 ds王勋,徐秀丽101-r(s)1-mi(s)01-r(s)11-m2()(1-m2(s)(1-h(s)1-h()(mi(s)S+so(1-h(s)(1-m2(（Sm1(s)+(mi(s)N-1m2(s)-f*(s)=Jo e-sudF(u),bs(0)+Pur(0)(0)入(1-)(1-p)d)=-lim K(s)sFoo(s)-lim K(s)S8-028卷S(s)(1-r(s)(1-h(s)011-h()(1-r(s)(1-h(s)a(s)m1(s)m2(s)(1-m1(s)(1-m2(s)S-0p(0)(2p+1)(1-r)(1-p)(N-1)-N(1)(mi(s)MS-0(7)1期其中K利用洛必达法则对（7)式进行计算，最终得到(N-1)mi(0)-NE(C):Ho12(0)(1(N-1)g(0)mi(0)+g(0)(1-)(1-p)p(0)(2p+1)(1-r)(1-p)其中Qw(pr(0)-ro2+brh(0)5(0)=(b)2(1-r)2w(r(0)+rh(0)_ 20w(br(0)-r02+brh(0)(02-br(0)-h(0)(0)b(1-r)?(1-)(m(0)+h(0)(0)=ub(1-r)3h(0)(2-bm(0)-h(0)(b)2(1-r)3-aoCo=g(0)(1-r)(1-p)-(0)-r(0)(1-p)-(1-r)h(0),Ci=(1-r)(1-p)(p(0)p+(0)h(0)(rN-2+rN-1+r3-r2)+(0)pr(0)(N 2)r-3+(N-1)N-2+3r2-2r),C=$(0)p(rN-2+rN-1+r3-r2)(r(0)(1-p)+(1-r)h(0),Ko=2mi(0)m2(0)(1-N)mi(0)+(N-2)mi(0)-2mi(0)(-P)2(N-2)m(0)m2()N(N-1 mi(0)N-1(N-2)(mi(0)*+(N-2)mi(0)带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析(mi(s)+so(1-h(s)(1-m2(s)+(r(s)N-2h(s)+(r(s)N-1h(s)(1-r(s)(1-h(s)m1(s)+(mi(s)N-1m2(s)-m1(s)m2(s)-(mi(s)N-1)入+s0mi(0)(1-)Co+C1+C2r)(1-p)21一20,(bmz(0)-o2)(b)3(1-r)3-ao(bp(0)+wr(0)37(1-m1(s)(1-m2(s)a(0)(1-)(1-p)Ko-K1X 2(-1)(mi(0)2(0)(mz(1-p)+h(0)(1-)(1-)(1-p)2d(0)(N-1)一(1-)(1-p)(-1),(bmz(0)-o2+bh(0)(0)(b)2(1-)(b)3(1-r)338王勋,徐秀丽28卷K1=mi(0)(-1)+(N-2)mi(0)-2m2()-2mi(0)m2(0)-N(N-1(m(0)+2(1-N)mi(0)+(N-2)mi(0)-2m2(0)(ml(0)(-1)+2mi(0)m2(0)。1 N)m(0)+(N 1)(N-2)(mi(0)7.63数值分析在实际应用中，系统的各项参数会随着订单数量的改变而改变。下面假设当订单量达到1 0 0 0 时，工厂才开始工作。根据对流体模型的稳态分析得到了平均库存量等性能指标的表达式，进而通过数值实验验证参数变化对性能指标的影响。当入=2 6,w=1,0=3,0=2,00=1,01=2,02=3时，图1 是系统在不同生产速率时的空库概率随净流入率的变化趋势图。通过图1 可以看出，当b一定时，随着净流入率变大，空库概率也随之变小；当净流入率一定时，随着 b变大，空库概率也随之变大。当入=1 0,b=8,u=2,Qw=0.4,00=2,01=3,02=4时，图2 是系统在不同休假时间参数0 时的平均库存E(C）随净流入率的变化趋势图。通过图2 可以看出，当一定时，随着净流入率变大，平均库存 E(C）也随之变大；当净流入率一定时，随着 变大，平均库存E(C)也随之变小。当=2,0=0.6,0%=2,=-10,0o=4,01=6,02=8 时,图 3 是系统在不同生产速率b时的平均库存E（C）随订单到达速率入的变化趋势图。通过图4可以看出，当ub一定时，随着订单到达速率入变大，平均库存E(C）随之变大；当入一定时，随着生产速率 b 变大,平均库存 E(C)也随之变小。当入=1 0,w=2,0w=0.2,0=4,00=2,01=4,02=6 时，图 4 是系统在不同生产速率b 时的平均库存 E(C)随净流入率的变化趋势图。通过图4可以看出，当b一定时，随着净流入率。变大，平均库存 E(C）也随之变大；当净流入率一定时，随着生产速率 变大，平均库存 E(C）也随之变小。0.04F0.030.020.015-5图1 随和b的变化曲线0w=0.50u=0.67.50%=0.77.47.3Mi=15=16一b=171-4-37.2-2-11-6-5图2 E(C)随Q和。的变化曲线-4-3-2-11期30002.500F200015001 0005000图3E（C)随入和的变化曲线基于本文给出的流体模型，在工厂生产工作中，当订单达到一定数量时，工厂才开始生产工作。从图1 可知，当工厂生产速率保持不变时，减少订单的净流入率可使空库概率变大，进而避免库存积累过多导致利润降低的风险。从图2 4可知，平均库存与多个因素密切相关，需要选择适合的生产机器以提高订单的生产效率，进而使平均库存变小，最终工厂能够完成更多的订单并得到更多的利润。4结语本文研究了带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型，运用矩阵分析方法和Laplace-Stieltjes变换方法给出流体模型稳态下各种性能指标的表达式。并结合工厂生产订单的过程，通过数值实验分析了参数变化对性能指标的影响，以提高工厂的生产效率，减少库存积累。参考文献1 Virtamo J,Norros I.Fluid queue driven by an M/M/1 queue J.Queueing Systems,1994,16(3/4):373-386.2 Adan I,Resing J.Simple analysis of a fluid queue driven by an M/M/1 queue J.QueueingSystems,1996,22(1/2):171-174.3 Parthasarathy P R,Vijayashree K V,Lenin R B.An M/M/1 driven fuid queue-continuedfraction approach J.Queueing Systems,2002,42(2):189-199.4毛炳蔚，赵海，王福伟.单重休假M/PH/1排队系统驱动流模型研究 J.佳木斯大学学报（自然科学版),2 0 1 5,33(1):1 34-1 36.5王慧宁，徐秀丽。基于PH服务的工作休假排队的流模型 J.运筹学学报，2 0 1 9,2 3(2)：57-6 6.6 Ushakumari P V.A stochastic inventory system with two modes of service under N-policy J.Journal of Interdisciplinary Mathematics,2020,23(1):127-143.7刘煜飞，叶晴晴.基于矩阵分析方法的具有双阶段休假的排队系统驱动的流模型性能分析 .数学的实践与认识,2 0 2 1,51(4)：1 8 9-1 9 9.8李子坤，徐秀丽.两阶段休假M/M/c排队驱动的流体模型性能分析 J应用数学，2 0 2 1,34(3)：756-767.带N策略的双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型性能分析-M6=1.9一u=2一Mb=2.1工12入397.1-=107.0-6=11-M6=126.96.8F6.7F6.6345-5图4E(C）随和b的变化曲线-4-3一2-1