不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式.pdf

书书书第 卷第 期烟台大学学报（自然科学与工程版）年 月 （）文章编号：（）：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）。通信作者：张国栋（），副教授，博士，主要研究方向为多物理场问题的数值计算。不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式周帅，陈建华，王琨，张国栋（烟台大学数学与信息科学学院，山东 烟台 ）摘要：提出了一个一阶线性、无条件能量稳定、全解耦格式来求解非线性耦合的磁流体方程。该格式基于鞍点系统的压力投影方法，非线性耦合项隐式?显式处理和引入稳定项来稳定磁场与速度场解耦计算进行构造。该格式将磁流体动力系统转化为几个线性椭圆型问题求解，具有高效、易实现、稳定等优点。同时证明了格式的时间半离散形式和全离散形式都是无条件能量稳定的。最后，通过几组数值实验验证了格式的稳定性和收敛性。关键词：磁流体动力系统；能量稳定；解耦格式；投影方法中图分类号：文献标志码：磁流体动力学是研究等离子体等导电流体与电磁场的相互作用的物理学分支，在天体物理、热核反应、工业应用 等众多物理和工程分支中有着广泛的应用。导电流体可以在磁场的作用下产生电流，同时感应电流与磁场相互作用，进而形成洛伦兹力，并能改变流体的行为。因此，磁流体方程（）将不可压缩的纳维 斯托克斯（）方程与麦克斯韦（）方程耦合起来。近年来有许多关于 方程数值方法的研究 。对于稳态的 方程，等 研究了标准的 有限元离散。?等 提出了一种求解非凸多面体 方程的混合有限元方法。等 考虑了一种局部投影的方法来稳定线性化 方程的两个不足条件。用数值方法求解非线性耦合的磁流体方程，一个具有挑战性的问题是设计一种解耦线性的算法，同时保持能量稳定性，即能量耗散定律能够保持在离散的水平。全隐格式和耦合的半隐格式是无条件能量稳定的，但是它们在每一个时间层上都需要解决一个耦合系统，这会导致昂贵的时间消耗。所以，解耦是首先要解决的问题，在保持能量稳定的同时也节省了时间成本。对于非定常纳维?斯托克斯方程的求解，投影方法是最流行的解耦方法之一 。等 提出了一阶线性耦合的投影方法求解单鞍点型磁流体方程，并证明了该方法的误差估计，由于方程是耦合的，所以在计算过程中时间消耗会比较大。等 发展了两种基于投影方法求解单鞍点型磁流体方程的无条件稳定的耦合格式。文献 给出了单鞍点型磁流体方程的一阶全离散投影格式的稳定性证明和误差分析。本文针对双鞍点型磁流体方程提出了一个线性的、无条件能量稳定的、全解耦格式。对于模型的耦合困难，采用投影方法将压力与速度解耦和拉格朗日乘子与磁场解耦，并且引入一个一阶精度的稳定项来稳定磁场和速度场的解耦计算。对于模型的非线性困难，采用隐式?显式方法来处理非线性项，并且在非线性项的线性化处理中保持反对称结构。烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷 磁流体方程和能量定律设 是瓗（，）中的有界且单连通区域，考虑下面的磁流体方程：（），（）（）（），（），（），（），（）（），（）。（）其中，（，）（，为速度场，为压力场，为磁场，为拉格朗日乘子，物理参数，和 分别为流体雷诺数、磁雷诺数和耦合系数，表示 的单位外法向。下面介绍一些函数空间。对于两个向量函数 ，将 内积表示为（，），范数表示为 （，）。索伯列夫空间 ，（）的范数定义为，对于 ，将 ，（）写为（），相应的范数为。此外，定义以下空间：（）（）：，（）（）：，（，）（）：（），（）：，。在 （，）空间中定义范数 ，用（，）表示 （，）中切向迹为零的函数的子空间。注 是与约束 相关的拉格朗日乘子，对式（）取散度，得到 ，由于 ，得到 。系统（）（）遵循能量耗散定律：令式（）与 作 内积，式（）与 作 内积，利用式（）（）和分部积分公式，得到（，）（，），（，）（，），对这两个等式求和得 （，），其中 （，），表示系统（）（）的总能量。时间半离散格式本节提出时间半离散格式，并证明其无条件能量稳定性。对系统（）（）构造如下格式，给定（，），通过以下步骤计算（，）：在（，）空间求解珟 ：（珟 ）珟 （）（珟 ），（）在（）空间求解 珘 ：（珘 ）珘 （）珘 珟 ，（）第 期周帅，等：不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式求解 和 满足：（珘 ）（），（），（），（）求解 和 满足：（珟 ）（），（），（）。（）在上述格式的构造中，为了解耦速度和压力、磁场和拉格朗日乘子，采用了投影算法 。为了进一步解耦磁场和速度，引入了一个新的、显式的对流速度，故解耦磁场和速度的格式可以写为（珟 ）珟 （），（）珟 ，珟 ，（珘 ）珘 （）珘 ，珘 ，其中 可以写为 珟 ，将上述三个式子联立可以得到数值格式中的式（）、（）。由于格式在构造过程中对非线性项（）采取了显式化处理，会导致格式不稳定，因此引入 （珟 ）来稳定上述非线性项，以此来保持格式的整体稳定性。注 对式（）取散度，可得 满足 珘 ，（）利用 边界条件（）求解 。然后计算 满足 珘 （）。（）注 对式（）取散度，可得 满足 珟 ，（）利用边界条件 求解 。然后计算 满足 珟 （）。（）下面证明格式（）（）的稳定性。定理 格式（）（）具有如下能量稳定性：（珘 珟 ）。（）证明作式（）与 珟 的内积，得珟 珟 （，珟 ）珟 珟 （，珟 ），（）这里用到了分部积分（），珟 ）（，珟 ）（珟 ，）烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷和（珟 ，珟 ）珟 。作式（）与 珘 的内积，得珘 珘 珘 （，珘 ）（珟 ，珘 ），（）这里用到了（），），（）。格式中（）保持了反对称结构，因此取检验函数 珘 并与之做内积，并利用（），）的结论可以在稳定性分析中将此非线性项消去，从而能够简化证明过程。接下来，将式（）重写为 珘 ，等式两边与自身做内积，得 （，珘 ）珘 （），（）同理可得 （，珟 ）珟 （），（）将式（）和（）组合，利用式（）和（）得到 珘 珟 （珘 珟 ）珟 （珟 ，珘 ），（）其中 （珟 ，珘 ）珟 珘 珟 珘 。（）把式（）代入式（），可得式（）。全离散格式本节提出全离散格式，并证明其无条件能量稳定性。设 是二维空间中拟一致正则的三角形剖分 或三维空间中的四面体剖分 ，用 表示单元 的直径，网格尺寸 。设（）是 上总次数 的多项式的空间而珘（）为 上的 次齐次多项式空间。空间（）表示珘（）中在 上满足 的多项式 的集合。对于 ，定义空间（）珘 （）（），定义协调有限元空间为：（）：（），：（，）：（），：（）（）：（），：（）：（），。此外，有限元空间 和 必须满足?条件 （，），（）其中常数 与 无关。由于，有限元空间 和 自然满足 条件 （，）。（）基于格式（）（）的全离散有限元格式如下：求解珟 满足第 期周帅，等：不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式（珟 ，）（珟 ，）（，）（珟 ，）（，），。（）求解 珘 满足（珘 ，）（珘 ，）（，珘 ，）（，）（珟 ，），。（）求解 满足（，）珘 ，()，。（）求解 满足（，）珟 ，()，。（）更新 满足 珘 （）。（）更新 满足 珟 （）。（）注 对于式（）中的对流项，使用以下三线性形式：（，）（），）（），）。注意当 （），（）时，利用分部积分得（，）（），）（），）。因此可得（，），（），（）。（）注 在全离散格式下满足离散无散度条件，通过取式（）与作 内积得（，）（珘 ，）（），），上式结合式（）可得（，），。（）同理可得（，），。（）可清楚地看到格式（）（）是线性的，全解耦的。定理 格式（）（）具有如下的无条件能量稳定性：（珘 珟 ）。（）证明在式（）中取 珟 ，可得 珟 珟 珟 （，珟 ）珟 （，珟 ）。（）在式（）中取 珘 ，利用式（）得珘 珘 珘 （，珘 ）（珟 ，珘 ）。（）将式（）重写为 珘 ，两边与自身作内积，利用式（）得 （，珘 ）珘 （）。（）同理可得烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷 （，珟 ）珟 （）。（）最后将式（）（）结合，可得 珘 珟 （珘 珟 ）珟 （珟 ，珘 ）。（）其中 （珟 ，珘 ）珟 珘 珟 珘 ，（）将式（）代入式（）得 珟 珘 珟 。（）定理得证。数值实验在数值实验中，对于速度 ，压力 ，以及拉格朗日乘子 ，使用标准的 元，对于磁场 使用最低阶的 元。这里，速度和压力满足 条件（），磁场和拉格朗日乘子满足 条件（）。时间收敛阶测试使用 ，上的解析解来计算时间收敛阶，选择精确解：（），（），（），（），取 ，可以看到精确解关于空间都是线性的，所以误差主要来自时间离散。通过固定网格尺寸 并加细时间步长来测试时间收敛阶。表 给出了解耦格式中速度的、误差（，），压力 的误差，磁场的、（）误差（，），它们具有一阶精度，拉格朗日乘子 接近于 。表 解耦格式的误差和收敛阶（）（）时间步长 收敛阶收敛阶收敛阶收敛阶 收敛阶 空间收敛阶测试用 ，上的解析解来计算空间收敛阶，选择精确解：（）（）（）（），（）（）（）（），第 期周帅，等：不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式（）（）（），（）（）（），（）（）（），。取 ，表 给出了解耦格式中速度的 误差，磁场的、（）误差（，）和压力的 误差，它们具有一阶精度，速度的 误差具有二阶精度，拉格朗日乘子 接近于 。表 解耦格式当 时的误差和收敛阶 时间步长 收敛阶收敛阶收敛阶收敛阶 收敛阶 时间 同理，在 ，上使用相同的解析解来计算已有的耦合算法，方程如下：（），（）（），。取 ，表 给出了耦合算法中速度的 误差，磁场的、（）误差（，）和压力的 误差，它们具有一阶精度，速度的 误差具有二阶精度，拉格朗日乘子 接近于 。表 耦合算法当 时的误差和收敛阶 时间步长 收敛阶收敛阶收敛阶收敛阶 收敛阶 时间 表 与表 相比较能够得出本文提出的全解耦算法与已有的耦合算法在精度上大致相同，但在运行速度方面，全解耦算法要比已有的耦合算法运行速度快，所用的时间相对较短。稳定性测试在区域 ，上通过改变物理参数 ，来测试能量稳定性，参数固定为 ，网格尺寸为 ，选择初始值为烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷?（?（?）?（?）（?），?（?）?（?）（?），?（?）（?），?（?）（?），?，?。图为解耦格式在不同时间步长?，的能量曲线，观察到能量曲线在任意时间步长下都是单调递减的，这表明该格式是无条件的能量稳定的。?图 解耦格式的能量曲线?流 流描述了不可压缩粘性导电流体在外部磁场?作用下沿均匀矩形截面管道的流动。考虑边界条件?，?，（?）?，?，?，?，?。该模型具有精确解?（?，?）?（?（?），），?（?，?）?（?）?，?（?，?）?（?（?），），其中：?（?）?（?）（?）（?()），?（?）?（?）（?）()?，?槡?，?是一个常数。取?和?，考虑以下四种情形：第 期周帅，等：不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式?，?，?；?，?，?；?，?，?；?，?，?。图 和图 分别给出了该格式在?，?四种情形下的数值解?和?，可以发现它们与精确解很好地吻合。?图 数值解?与精确解?烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷?图 数值解?与精确解?结束语对双鞍点型磁流体方程提出了一个全解耦的线性高效格式，并严格证明了它的无条件稳定性。该格式的主要特点是将耦合的非线性双鞍点磁流体系统转化为几个线性椭圆问题，并在非线性项的线性化过程中保持了反对称结构。通过一系列的数值模拟，包括收敛性试验、能量稳定性试验和 流试验，验证了格式的稳定性和收敛性。该格式的误差估计将是后续工作的主要目标。参考文献：，：，?，（）：，：，?，（）：，?，（）：，（）：，：，?，（）：?，（）：，：，（）：，?，（）：，；，?，?，（）：，?，第 期周帅，等：不可压缩磁流体方程的全解耦和无条件能量稳定格式 ，（）：?，（）：，：，（）：，（）：，：，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（，）：，：；（责任编辑李春梅）