02第2章--初等模型.docx

第2章 初等模型
初等模型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、概率统计、几何等知识建立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。对于机理比较简单的研究对象，一般用初等方法就能够达到建模目的。但衡量一个模型的优劣，主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数学方法。对于用初等方法和高等方法建立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢迎和被采用的一定是初等模型。
2.1 人行走的最佳频率
2.1.1 问题的提出
行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳频率。
2.1.2 模型假设
1.基本假设
（1）不计人在行走时的空气阻力。
（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
（3）人的行走速度均匀。
2.符号及变量
：腿长；：步幅；：人体重心位移；：行走速度；：腿的质量；：人体质量；：重力加速度；：两腿运动动能；：人行走所做的功；：人的行走频率。
2.1.3 模型建立
1.重心位移的计算
人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。

图2.1 人行走时重心位置的变化示意图
由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为
，
由于，则，从而
. (2.1)
2.两腿运动功率的计算
人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的功率。
补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。
由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为
.
于是两腿的转动动能为
.
而人每行走一步所需时间为，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为
. (2.2)
补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。此时，两腿的运动功率为
. (2.3)
3.模型建立
相应于上面两个补充假设，可分别建立如下模型：
（1）均匀直杆模型
由于人的行走频率等于单位时间内行走的步数，所以，从而得到两腿的运动功率为。单位时间内人体重心抬高所需的势能为
.
最后即得单位时间内人行走所做的功为
. (2.4)
（2）直线运动模型
类似地，可得单位时间内人行走所做的功为
. (2.5)
2.1.4 模型求解与分析
1.模型求解
（1）均匀直杆模型
易得
，
当且仅当，即时，所做的功最小。
（2）直线运动模型
类似地，可得当，即时，所做的功最小。
2.模型分析
根据上面求解出的行走频率计算公式，可看出人做功最小（即最省力）时的行走频率只与人体质量、腿的质量以及腿长有关，而与步长无关。
2.2 代表名额的公平分配
2.2.1 问题的背景与提出
数学向各个领域的渗透可以说是当代科学发展的一个显著特点，代表名额的分配问题就是数学在人类政治活动中的一个应用。它起源于西方所谓的民主政治问题，美国宪法第1条第2款指出：“众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配……”。美国宪法从1788年生效以来，200多年中，美国的政治家和科学家们就如何“合理公正”地实现宪法中所规定的分配原则展开了激烈的争论。虽然设计并实践了许多方法，但没有一种方法能够得到公众普遍的认可。
这个问题可用数学语言表达为：设第方人数为，总人数，待分配的代表名额为，问题是如何寻找一组相应的整数，使得，其中为第方获得的代表名额，并且“尽可能”地接近，即按人口比例分配应得的代表名额。
2.2.2 Hamilton方法
假设某校有甲、乙、丙3个系组成，分别有学生100名、60名和40名，校学生会现设20个代表席位，问应如何公平分配？简单的办法是按各系学生人数的比例进行分配，显然甲、乙、丙三系分别应占有学生会10，6，4个代表名额。现在如果从丙系分别转入甲、乙两系各3名学生，则此时各系人数如表2.1的第2列所示。如果仍按比例（表中第3列）分配就将出现小数（表中第4列），而代表名额又必须是整数，怎么办？一个自然的想法就是：对“四舍五入取整，或截尾取整”。这样的话，将导致名额多余，或者名额不够分配。
表2.1 学生会名额的分配
系别
学生
人数
学生人数
的比例/%
20个席位的分配
21个席位的分配
比例分配的席位
H-方法的结果
比例分配的席位
H-方法的结果
甲
103
51.5
10.3
10
10.815
11
乙
63
31.5
6.3
6
6.615
7
丙
34
17
3.4
4
3.57
3
总和
200
100
20
20
21
21
为此，美国开国元勋、第一位财政部长A. Hamilton（1757-1804）于1790年提出了解决代表名额分配问题的一种方法，并于1792年被美国国会通过。
Hamilton方法的具体操作过程如下：
（1）先让各州取应得份额的整数部分。
（2）让按照从大到小的顺序排列，将余下的议员名额逐个分配给各相应的州，即小数部分最大的州优先获得余下名额的第一个，次大的取得余下名额中的第二个，以此类推，直到名额分配完毕。
于是根据Hamilton方法，3个系的20个学生会席位的名额分配结果见表2.1的第5列。由于20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的僵持局面，学生会决定在下一届增加1个席位，问此时又应如何分配？按照Hamilton方法重新分配21个席位，计算结果见表2.1第7列，显然新结果对丙系是不公平的，因为总席位增加了1席，而丙系却由4席减为3席，显然是不合理的。这反映出Hamilton方法在代表名额分配时存在严重缺陷，必须加以改进。
2.2.3 相对不公平度和值法
那么如何改进Hamilton方法呢？数学家（Huntington）从不公平度的角度提出了另一种代表名额的分配方法。
“公平”是一个模糊的概念，因为绝大多数情况下现实世界没有绝对的公平。因此，必须从数学的角度给“公平”或“不公平”赋以某一量化指标，以之来衡量“公平”或“不公平”的程度。
对于某一群体及其代表名额分配方案，当且仅当全相等时，分配方案才是公平的，这里表示第方的每名代表所代表的群体人数。但是，由于人数和代表数必须是整数，一般不会相等，这说明名额分配不公平。
为叙述方便，以为例说明。设两方人数分别为和，占有的席位数分别为，则两方每个席位代表的人数分别为，通常当时，说明两方的代表名额严格按双方的人数比例分配，因此认为分配是公平的。
如果，即对方不公平，此时不公平程度可用数值衡量，称为对方的绝对不公平度。它衡量的是不公平的绝对程度，通常无法区分两种程度明显不同的不公平情况。如表2.2所示，群体与群体的绝对不公平程度相同，但常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。因此，“绝对不公平”也不是一个好的衡量标准。
表2.2 绝对不公平度
群体
人数
名额

150
10
15
5

100
10
10

1050
10
105
5

1000
10
100
这时自然想到使用相对标准，下面给出相对不公平度的概念。
若，称
(2.6)
为对方的相对不公平度。类似地，若，则称
(2.7)
为对方的相对不公平度。
现在的问题是，当总名额再增加一个时，应该给方还是方？
不失一般性，不妨设，这时对方不公平，当再增加一个名额时，则可分为以下两种情况讨论。
（1）若，这说明给方即使再增加一个名额，对方还是不公平，故增加的名额应该给方。
（2）若，这说明增加一个名额给方后，变为对方不公平，但同时，说明将增加的一个名额给方，对方又变为不公平，那增加的一个名额到底应该给哪一方呢？
此时，就必须要计算两方的相对不公平度。
（1）若，说明对方的相对不公平度要小于方，则增加的一个名额应该给方。
（2）若，则增加的一个名额应该给方。
注意条件等价于
. (2.8)
而且容易验证由情形（1）可推出上式成立。从而可得结论：当式成立时，增加的一个名额应该给方；否则，应该给方。
将上述方法推广到一般情况：设第方的人数为，已经占有个代表名额，。当总的代表名额增加一个时计算
. (2.9)
并将增加的名额分配给值最大的一方，这种方法称为值法或Huntington方法。
实际上，在值法中，我们作了如下两个假设：
（1）每一方都享有平等的名额分配权利。
（2）每一方至少应该分配到一个名额，如果某一方一个名额也分不到的话，则应把它剔除在分配范围之外。
设有个群体、个代表名额，。则值法的一般步骤如下：
（1）每个群体分配一个代表名额。
（2）计算，若，则第个代表名额分配给第个群体。
（3）计算，再将与（2）中的各比较，并将第个代表名额分配给值最大的个体。
（4）重复步骤（3），直至个代表名额分配完毕。
下面我们用值法为甲、乙、丙3个系重新分配21个代表名额，计算结果见表2.3。表2.3的第二列后第二行后的单元格内含两个数字，括号外的数字为各系在不同状态下相应的值，括号内的数字表示第几个名额分配给了相应的系。注意在第二行中，值设为，这表示甲、乙、丙3个系一开始即各自分得一个代表名额（根据值法的步骤（1））。
表2.3 学生会名额的值法分配方案

甲系（）
乙系（）
丙系（）

5304.5(4)
1984.5(5)
578(9)

1768.2(6)
661.5(8)
192.7(15)

884.1(7)
330.8(12)
96.3(21)

530.5(10)
198.5(14)
57.8

353.6(11)
132.3(18)

252.6(13)
94.5

189.4(16)

147.4(17)

117.9(19)

96.4(20)

80.4

计算的MATLAB程序如下：
clc, clear, format long g
p=[103,63,34]; N=21; n=ones(1,3); Q=p.^2./(n.*(n+1));
m=[1,2,3]; k=3; %k为已分配代表个数
show=[n;m;Q] %显示各群体分配的代表个数，分配的次序及Q值
while k<N
[mQ,ind]=max(Q); %找Q的最大值及最大值的序号
k=k+1; n(ind)=n(ind)+1; m(ind)=k;
Q(ind)=p(ind)^2/(n(ind)*(n(ind)+1));
show=[n;m;Q]
end
format %恢复到短小数的显示格式
由表2.3可以看出：值法首先计算各群体的值
.
然后将这些值按由大到小排序，最后即得代表名额的分配方案。
2.2.4 模型的公理化研究
上面我们在发现了Hamilton分配方法的弊端之后，按照相对不公平度最小的原则，提出了值法（Huntington分配方法）。当然，如果承认相对不公平度是衡量公平分配的合理指标，那么值法就是好的分配方法。但是，还可以有其他衡量公平的定量指标及分配方法（如习题1），所以有人想到，能否先提出一些人们公认的衡量公平分配的理想化原则，然后看看有哪些方法满足这些原则。
设第方群体人数为，总人数，待分配的代表名额为，理想化的代表名额分配结果为，满足，记，显然若均为整数，则应有，以下研究不全为整数的情形。
一般地，是和诸的函数，记。
1974年，两位学者巴林斯基（Balinsky M.L.）与杨（Young M.H.）首先在名额分配问题的研究中引进了公理化方法就是事先根据具体的现实问题给出一系列合理的约束，称之为“公理”。然后运用数学分析的方法证明哪一个数学结构或者合适的函数或关系能满足所给定的公理，或者运用逻辑的方法去考察这些公理之间是否相容。如果不相容，则说明符合这些公理的对象并不存在。下面是他们关于名额分配问题提出的5条公理：
公理I（人数单调性）某一方的人口增加不会导致其名额减少，即固定时，若，，则。
公理II（名额单调性）代表总名额的增加不会使某一方的名额减少，即
.
公理III（公平分摊性）任一方的名额都不会偏离其按比例的份额数，即
.
公理IV（接近份额性）不存在从一方到另一方的名额转让而使得它们都接近于各自应得的份额。
公理V（无偏性）在整个时间上平均，每一方都应得到其分摊的份额。
从对模型的检验与分析可以看出，上面讨论的两种代表名额分配方法都有其自身的不足，Hamilton方法满足公理I，但不满足公理II；值法满足公理II却不满足公理I。
1982年，Balinsky和Young证明了关于名额分配问题的一个不可能性定理，即不存在完全满足公理I~V的代表名额分配方法，从而为这一争论画上了问号。
2.3 称重问题
在现行“人教版”小学数学五年级（上）教材中有这样一个称重问题：在一堆零件中有一个是次品，用天平作为度衡工具，至少需要几次才能将次品找出来？称重问题属于组合优化的范畴，主要包括两类：一是在砝码数目一定的条件下，使能称出的质量最多；二是使称重的次数最少？
2.3.1 第一类称重问题
例2.1 在天平上要称出1~40g的不同整数克数的物体，至少需要多少个砝码？
众所周知，用天平称物体质量的方法有两种：
（1）直接法：在天平的一边放置待称重的物体，天平的另一边放置一定数量的砝码，当天平平衡时，砝码质量之和即为物体的重量。
（2）间接法：在天平的两边均放置砝码，当天平平衡时，将不放物体的盘内砝码质量和减去放物体的盘内砝码质量和，所得的差即为物体的质量。
1.直接法
意大利数学家塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia，1499~1557）分别用重1g，2g，4g，8g，16g，32g的6个砝码给出了上述问题的一个解答，即1~40g中的任意一个整数克数的质量都可以表示成这6个砝码中的若干个之和。例如，
，
事实上，用上述6个砝码可以称出1~63g内的任意一个整数克数物体的质量。
一般地，运用直接法以及质量分别为的个砝码可以称出g内即g内的任意整数克数物体的质量。
2.间接法
法国数学家梅齐利亚克（Bachet de Méziriac，1581~1638）于1624年用间接法提出了对该问题的一个解法：
（1）要称1g，必须有质量为1g的砝码。
（2）要称2g，必须有质量为2g的砝码，用1g，2g的砝码可以分别称出1g，2g，3g的物体；但是用1g，3g的砝码可以分别称出1g，2g，3g以及4g的物体。换言之，用1g，3g的砝码可以称出1~(1+3)g即1~4g任意一个整数克数的物体。
（3）类似地，可得出结论：如果再添加一个9g的砝码，就能称出1~(1+3+9)g即1~13g任意一个整数克数的物体；如果再添加一个27g的砝码，就能称出1~(1+3+9+27)g即1~40g任意一个整数克数的物体。
一般地，运用间接法以及质量分别为的个砝码可以称出g即g的所有整数克数的物体质量，而且此时所用砝码的个数是最少的。
2.3.2 第二类称重问题
例2.2 有95颗钻石，已知其中有1颗是假的，而且假的钻石除质量与真的不一样外，其他完全相同。问用天平称重来鉴定钻石的真伪，最少需称多少次？
我们假设，所有真钻石在外观、色泽、质量等物理特征上毫无差异。
一般地，分下面3种情况展开讨论。
情形1 真假钻石轻重已知，即真钻石要么比假钻石重，要么比假钻石轻。
假如，有9颗钻石（有且仅有1颗是假的），把它们均分为三堆。先将其中两堆称重，如果重量相同，那么假的在第三堆中；如果重量不同，则称重的两堆中必有一堆含假的钻石。再在含假的那堆中取两颗称重，如同重，则第三颗是假的；如不同重，两颗中必有一颗是假的（由于已知真假钻石在质量上的差异性，故而假钻石已经找出）。因此，此时两次称重即可找出假钻石。将上述情况推广，可知最多称重次可在颗真假钻石堆（有且仅有1颗是假的）中鉴别哪颗是假的。
情形2 真假钻石轻重未知，但有一袋数量足够多的真钻石做砝码。
先考虑直接将情形2转化为情形1，再讨论其改进结果。
命题1 如果另有一袋钻石做砝码，称重次必可在颗钻石中鉴别出假钻石。
事实上，将真假掺杂的钻石（尤其仅有1颗是假的）与相同数量的真钻石一起称重，即可知真假钻石在质量上孰轻孰重，此时即将情形2转化为情形1。因此，最多称重次必可在颗钻石中鉴别出假钻石。
下面讨论更进一步的结论。
例如，有5颗钻石，分为两堆：一堆3颗，一堆2颗。将3颗与真钻石比重，若同重，则假的在2颗那一堆中，继续称1次即可知道哪颗是假的（只需从中任取一颗与真钻石一起放在天平的两端称重，若不同重，则其本身必为假的；若同重，则2颗中的另一颗是假的），因此，称重2次即可找出假钻石。若不同重，则假的在3颗那一堆中（同时即知真假钻石的轻重），运用情形1的结论，再称1次即可，同样称重2次可鉴别出假钻石。
又如，现有14颗钻石，分为两堆：一堆9颗，一堆5颗。将9颗与真的比重，若同重，则假的在5颗那一堆中，由上面的示例，可知此时称重3次可得结果。若不同重，则假钻石必在9颗这一堆中（同样已知真假钻石的轻重），由情形1，同样称重3次可鉴别出假钻石。
以此类推，称重4次可在41颗钻石中鉴别出假钻石、称重5次可在122颗钻石中鉴别出假钻石（如何分堆？请读者思考？）等。
命题2 若另有一袋真钻石做砝码，则称重次可在

颗钻石中鉴别出假钻石。
由于，因此命题2改进了命题1的结果。下面运用数学归纳法给出命题2的证明。
证 ，由前面的两个示例可知命题2为真。
假设时命题为真，即称重次可在颗钻石中鉴别出假钻石。
当时，先将颗钻石分为两堆：颗和颗。再将颗与真钻石比较轻重，若同重，则假钻石在颗钻石堆中，此时由归纳假设，继续称重次即可找出假钻石。若不同重，则假钻石在颗钻石堆中（同时亦已知道真假钻石的轻重），由情形1的结论，最多继续称重次即可找出假钻石。因此，称重次必可在颗钻石中找出假的。
最后，由数学归纳法原理即知命题2为真。
情形3 真假钻石轻重未知，也没有真钻石做砝码。
例如，现有11颗钻石，将其分为3堆：一堆5颗，其余两堆各3颗。先称后面两堆，若同重，则假的在5颗那一堆中，此时后面两堆均可以作为砝码（即已转化为情形2），根据命题2，继续称重2次可在5颗中找出假钻石。若不同重，则5颗那堆全是真的，再将两堆中重的那堆与真钻石比较重量，如果同重，则轻的那堆中含假钻石（同时，假钻石比真的轻），问题即转化为情形1，最后再称重1次可找出假的。否则，假钻石在重的那堆中（假钻石比真的重），同样再称重1次可找出假的。总之，称重3次必可找出11颗中的假钻石。
命题3 真假钻石轻重未知，也没有真钻石做砝码，则称重次可在

颗钻石中鉴别出假钻石。
证 将颗钻石分为三堆，两堆和一堆，将两堆颗钻石称重，分为两种情况：
（1）若同重，则两堆均为真的，从而可作为砝码，于是问题即转化为情形2，由命题2可知结论成立。
（2）若不同重，则颗那堆钻石全为真的。再将颗重的那堆与真钻石比较重量，如果同重，说明轻的那堆中有假钻石（而且假钻石比真的轻），由情形1，最多继续称重次可找出假钻石。如果不同重，说明重的那堆中有假钻石（而且假钻石比真的重），同样由情形1，最多继续称重次可找出假钻石。
总之，称重次即可鉴别出假钻石。
现在回到例2.2，，把两堆27颗钻石在天平上比较重量，若同重，表示其余41颗钻石有假，由命题2即知最多再称重4次可找出假钻石。若不同重，则其余41颗钻石都是真的，从中任取27颗与两堆中重的那堆比较，由命题3的证明可知继续称重3次可找出假钻石。因此，最多称重5次可找出95颗钻石中的假钻石。
上述问题虽然是初等的称重问题，但与信息论有着密切的关系。如果利用信息论的思想和技术，问题会变得十分简单，有兴趣的读者可参考相应的文献资料。
2.4 效益的合理分配
在经济活动中，若干经济实体（如个人或企业等）间的相互合作，常常能比他们单独经营时获得更多的经济效益。确定合理的效益分配方案是促成各方开展长远合作的基本前提之一。这也是合作博弈所研究的内容。
设个经济实体各自单独经营时的效益分别为，联合经营时总效益为，且。问应该如何合理分配效益？
分配原则：合作经营时各成员的效益应高于各自单独经营时的所得。
最简单的分配方法：各经济实体依据各自单独经营的效益水平获得相应比例的效益份额
.
然而实际情况并非如此简单，下面看一个简单例子。
例2.3 设乙、丙两人受雇于甲经商，并已知甲单独经营每月可获利1万元，乙、丙单独经营时每月获利都为0，只雇乙每月可获利2万元，只雇丙每月可获利3万元，乙、丙都雇佣每月可获利4万元。问应如何合理分配这4万元的收入？
根据例2.3中所给条件，单独经营时，甲获利（单位：万元，下同），乙获利，丙获利；联合经营时，总效益。如果按照上面的简单方法，甲、乙、丙三人分配的效益份额分别为
，，，
显然这是不合理的。
假设在某一合理的分配原则下，甲、乙、丙三人分配应得的效益份额分别为，则应满足
(2.10)
式的解并不是唯一的，例如以及均为其解。
这类问题称为人合作对策，L. S. Shapley在1953年给出了解决该问题的一种方法，称为Shapley值方法。现介绍如下。
定义2.1 设有集合，若对任何子集，对应一个实值函数满足
（1），
（2）当时，有
， (2.11)
称为人合作对策，为对策的特征函数。
这里可以是个人或经济实体的集合，以下只理解为人集合，为人集合中的任一种合作，为合作的效益函数。
定义2.2 合作总获利的分配（与有关）定义为
，
这里为局中人所获得的收益。
为确定，Shapley归纳了合理的分配原则所应满足的三条公理，统称为Shapley公理。
Shapley公理 设为的一个排列。
（1）对称性：若，，对特征函数，也是一个特征函数，且，即每人分配应得的份额与其被赋予的记号或编号无关。
（2）有效性：如果对所有包含的子集都有，则
，且，
即若成员对于每一个他参加的合作都没有贡献，那么他不应从全体合作的效益中获得报酬，且各成员分配的效益之和等于全体合作的效益。
（3）可加性：对于定义在上的任意两个特征函数和，
，
这说明，当人同时进行两项合作时，每人所得的分配是两项合作的分配之和。
定理2.1 存在唯一的满足Shapley公理的映射，且有
， (2.12)
其中，为中包含的一切子集所构成的集合，表示集合中元素的个数。
记
， (2.13)
称为在集合（合作）中产生的效益，为的权函数。
现在回到例2.3，借此解释式的用法和意义。
甲、乙、丙3人记为，经商获利定义为上的特征函数，即
，，，
，，，.
容易验证满足式，为计算，首先找出中包含1的所有子集，再列表（见表2.4），将表中最后一行相加得（万元），同理可计算出（万元），（万元）。
表2.4 甲的分配效益的计算

{1}
{1,2}
{1,3}
{1,2,3}

1
2
2
3

1
2
3
4

0
0
0
0

1
2
3
4

1/3
1/6
1/6
1/3

1/3
1/3
1/2
4/3
计算的MATLAB程序如下：
clc, clear, format rat %有理数的显示格式
n=3; m=[1 2 2 3];
w=factorial(n-m).*factorial(m-1)/factorial(n)
g=[1 2 3 4]; s1=sum(w.*g)
format %恢复到短小数的显示格式
通过此例对式解释如下：对表2.4的，如，是有甲参加时合作的效益，是无甲参加时的效益，可视为甲对这一合作的贡献。式是甲对其所参加的所有合作的贡献的加权平均值，加权因子为，即式是按贡献大小分配效益的。
下面给出一个实际问题说明这个模型的应用。
例2.4 有3个位于某河流同岸的城市，从上游到下游的编号依次为1，2，3，污水需处理才能排入河中，三城市既可以单独建立污水处理厂，也可联合建厂，将污水集中处理。1，2两地距离为20km，2，3两地距离为38km。用表示污水排放量（m3/s），表示管道长度（km），按照经验公式建立处理厂的费用为（万元），铺设管道费用为（万元），已知三城市的污水排放量分别为5 m3/s，3 m3/s，5 m3/s，试从节约投资的角度为三市制定污水处理方案，如联合建厂，各城镇如何分担费用？
通常，管道假设只能从上游通往下游。因此，可能的污水处理方案及相应费用如下：
（1）1,2,3三市分别建厂，仅需建厂费，容易算出各需投资229.61万元、159.60万元、229.61万元，总投资为618.82万元。
（2）1,2两市合作在城2建厂，污水处理厂建设费用约为320.87万元，管道建设费用为30.00万元，加上城3的污水处理厂建设费用229.61万元，总投资为580.48万元。
（3）1,3两市合作在城3处建厂，投资为463.10万元，此时已经大于两市单独建污水处理厂的费用之和，合作没有效益，不需要考虑。
（4）2,3两市合作在城3处建厂，投资约为364.79万元，总投资为594.39万元。
（5）1,2,3三市合作在城3处建厂，总投资为555.79万元。
比较上述结果，三城合作的总投资最小，所以应选择联合建厂方案。
三城合作节约了投资，产生的效益是一个人合作对策问题，可以用式分配效益，将三城市记为，联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数，于是有（单位为万元）
；；，
，
，
.
则满足式，用式计算这个效益的分配，具体计算见表2.5，则城1应得的份额为
（万元）.
类似得（万元），（万元）。
表2.5 城1在合作建厂时节约的投资的计算

1
2
2
3

0
38.35
0
63.03

0
0
0
24.42

0
38.35
0
38.90

1/3
1/6
1/6
1/3

0
6.39
0
12.87
1,2,3三市承担的污水处理建设费用分别为210.35（万元），128.13（万元），217.31（万元）。
计算1市承担的污水处理建设费用的MATLAB程序如下：
clc, clear
p1=@(Q)73*Q.^0.712; p2=@(Q,L)0.66*Q.^0.51.*L;
f1=p1([5,3,5]) %计算单独建厂的费用
t1=sum(f1) %计算单独建厂时的总投资
f2=p1([8,5]), L2=p2(5,20)
t2=sum(f2)+L2 %计算1,2合作时的总投资
f3=p1(10), L3=p2(5,58)
t3=f3+L3 %1,3合作建厂的总费用
f4=p1([5,8]),L4=p2(3,38)
t42=f4(2)+L4, t4=sum(f4)+L4 %2,3合作建厂的总费用
t5=p1(13)+p2(5,20)+p2(8,38) %1,2,3合作建厂的总费用
v12=sum(f1(1:2))-(f2(1)+L2) %计算v({1,2})
v23=sum(f1(2:3))-t42 %计算v({2,3})
v123=t1-t5 %计算v({1,2,3})
g14=v123-v23 %计算g1(S)的最后一个分量
n=3; m=[1 2 2 3];
w=factorial(n-m).*factorial(m-1)/factorial(n)
wg=w.*[0, 38.34, 0, g14]
s1=sum(wg) %计算城1应得的份额
c1=f1(1)-s1 %计算城1承担的费用
2.5 桌子能放平吗？
1.问题提出
将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，问是否总能设法使其四条腿同时落地？
2.问题分析
将方桌往不平的地面上一放，在通常情况下只能做到三只脚着地、放不平稳，然而只需稍微转动一下，就可以使四只脚同时着地。
如果上述问题不附加任何条件，答案应当是否定的，例如方桌放在某台阶上，而台阶的宽度又比方桌的边长小，自然无妨将其放平；又如地面是平的，而方桌的四条腿却不一样长，自然也无法放平。可见，要想给出肯定的答案，必须附加一定的条件。基于对这些无法放平情况的分析，我们提出以下条件（假设），并在这些条件成立的前提下，证明通过旋转适当的角度必可使方桌的四条腿同时着地。
3.模型假设
（1）地面为连续曲面。
（2）方桌的四条腿长度相同。
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的。
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
假设（3）较为模糊，有人可能要问，何为“足够长”。我们的意思是，总可以使三条腿同时着地。
现在我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
由假设（2），方桌的四只脚的连线呈正方形，以方桌四只脚的对称中心为坐标原点建立直角坐标系，如图2.2所示，方桌的四条腿分别在处，的初始位置在轴上，而则在轴上。当方桌绕中心旋转角度后，正方形转至的位置，对角线与轴的夹角决定方桌的位置。

图2.2 方桌旋转示意图
显然，方桌在不同位置时，四条腿到地面的距离不同，所以，腿到地面的距离是的函数。另外，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的，例如，若只有未着地，按下，在到地面距离缩小的同时，到地面的距离则在增大。为消除这一不确定性，令为离地距离之和，为离地距离之和，它们的值由唯一确定，且两者均为非负函数。由假设（1），均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，所以对于任意的，和中至少有一个为零，故，恒成立。不妨设，（若也成立，则初始时刻四条腿都已着地，不必再作旋转），于是问题归结为：已知均为的连续函数，且有，证明存在某一，使。
证明 将方桌旋转，对角线与互换位置，由和可知和。构造函数，显然，由于均为连续函数，也是的连续函数，且有，和，由闭区间上连续函数的性质可知，必存在角度，，使得，即。又由于，故必有，证明完毕。
如果桌子表面的形状是长方形的，是否有类似的结果呢？有兴趣的同学可以试一试。
2.6 银行借贷
国内各商业银行根据存款期限的不同，将人民币储蓄业务分为活期储蓄和定期储蓄两大品种。活期储蓄是指不确定存期，储户可随时存取款且存取金额不限的一种储蓄方式。定期储蓄是储户在存款时约定存取，一次或按期分次存入本金，整笔或分期、分次支取本金或利息的一种储蓄方式。定期储蓄按照存取方式的不同分为整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活两便和通知存款等多种类型。
储蓄存款利率由国家统一规定，人民银行挂牌公告。利率也称为利息率，是在一定日期内利息与本金的比率，一般分为年利率、月利率、日利率三种。年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示。如年息九分写为9%，即每百元存款定期一年的利息为9元。月息六厘写为6‰，即每千元存款一月利息为6元，日息一毫五写为0.15‰，即每万元存款每日利息1元5角。为了计息方便，三种利率之间可以换算，其换算公式为：年利率÷12=月利率；月利率÷30=日利率；年利率÷360=日利率。
活期储蓄是居民储蓄存款中最基本和最重要的一种形式。银行规定各种储蓄存款除活期年度结息可将利息转入本金生息外，其他各种储蓄不论存期如何，一律于支取时利随本清，不计复息。活期储蓄每年6月30日结算一次利息并记入本金。银行还规定不论闰年、平年，不论月大、月小，全年按360天，每月均按30天计算。
设根据中国人民银行公告，活期储蓄存款年利率为0.3%。按照换算公式，月利率为0.3%÷12=0.00025，日利率为0.3%÷360=0.00000833。假如2018年1月1日存入活期10000元，一年之后于2018年12月31日全部取出。按照年利率的定义，本金加利息应为10000+10000×0.003=10030元。
由于活期储蓄每年6月30日结算一次利息并记入本金，计算利息时应该分成两个阶段：2018年1月1日至2018年6月30日和2018年7月1日至2018年12月31日。两个阶段的时间均未到一年，恰为6个月，因此计算利息时不能按照年利率来计算，而应按月利率计算。前一阶段结束时的本金和利息共为10000+6×10000×0.00025=10015元。根据银行规定，后一阶段的本金变为10015元，到2018年12月31日全部取出时，最终拿到的本金加利息应为10015+6×10015×0.00025=10030.02元。
为什么会比原来计算的10015元多出0.02元呢？显然只可能是6月30日结息一次并计入本金的原因！结息一次利息便多出0.02元，那么多结息几次呢？银行规定活期储蓄每年只在6月30日结息一次并计入本金，我们可以利用活期储蓄随时存取款的特性，使银行为我们多结息几次并计入本金。如我们在2018年1月31日将本金和利息全部取出，银行必须为我们结息，当日将结息之后本金和利息作为新的本金继续存成活期，到2月28日再将本金和利息全部取出并作为本金继续存成活期，以此类推，到12月31日全部结息取出，银行共需给我们结息12次。1月31日的本金和利息共为
10000+10000×0.00025=10000×(1+0.00025)=10002.5元,
2月28日的本金和利息共为
10002.5+10002.5×0.00025=10002.5×(1+0.00025）=10000×(1+0.00025)2元，…，
12月31日的本金和利息共为10000×(1+0.00025)12=10030.04元，又多了0.02元！
看来增加结息计入本金的次数确实可以增加利息！我们再来试试让银行每天给我们结息并计入本金，也就是说，我们每天到银行将存款全部取出，并于当日将本金和利息作为新的本金继续存成活期，当然这个工作不胜其烦！到12月31日，银行一共要为我们按日利率结息365次（因为不是按年存取所以不受银行每年按360天计算的限制），得到的本金和利息共为
10000×(1+0.00000833)365=10030.45元，
比按360天计算的
10000×(1+0.00000833)360=10030.03元
要多出0.42元！当然，银行不可能让你拿走这么多的利息的，因为银行规定储蓄存款利息计算时，本金以“元”为起息点，元以下的角、分不计利息，利息的金额算至分位，分位以下四舍五入。并且你也不可能每天跑到银行去存取款，如果这样还不如存一年的定期，到期全部取出。根据当前定期一年的年利率1.75%计算，到期的本金和利息共为10000×(1+0.0175)=10175元！从银行的角度看，虽然你每日存取款，但你的10000元的本金相当于在银行存了一年定期，银行却只需要给你支付比一年定期存款利息175元少得多的30多元。而对于你而言，你相当于损失了140多元的收入，并且又付出了太多的劳动，实在是得不偿失！
现在我们来考虑一个数学问题，假设本金不论元、角、分均计息，并且可以按小时、分钟、秒、毫秒甚至更短的时间存取款（存款所花费的时间不计），则2018年1月1日存入活期10000元，按照这些存取方法满一年之后于2018年12月31日全部取出时