2.1.5定积分的概念与性质.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.1.5 定积分的概念与性质（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解定积分的定义。
2、 理解和掌握定积分的几何意义。
3、 掌握定积分的基本性质。
重点
定积分的定义。
难点
定积分的几何意义。
教
学
方
法
手
段
对比讲解、数形结合
主
要
内
容
时
间
分
配
一、定积分的定义。 （45分钟）
二、定积分的几何意义。 （10分钟）
三、掌握定积分的基本性质。 （35分钟）

作业

备注

1
2.1.5 定积分的概念与性质
新编经济应用数学
§2.1.5 定积分的概念与性质
不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面。定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学。
本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法。
今天我们来学习定积分的概念与性质。
一、两个实例
1.曲边梯形的面积
在直角坐标系下，由闭区间上的连续曲
线（，直线
（即轴）所围成的平面图形叫作曲边梯形。
下面讨论曲边梯形面积的计算问题。
按如下步骤计算曲边梯形的面积。
（1）分割：任取分点把区间分成n个小区间
。
小区间段的长度。
过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记为。
（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高， 为底作小矩形，

用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积，即
。
（3）求和：把这n个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S的近似值，即
记为
（4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即

2. 变速直线运动的路程
设一物体作直线运动，已知速度是时间的连续函数，求在时间间隔上物体所经过的路程。
（1）分割：任取分点把区间分成n个小时间段。第个小区间段的长度。物体在该时间段内经过的路程记。
（2）近似代替：在每个小时间段上任取一时刻，并以 时刻的速度代替时间段上的各时刻的速度，得到在时间内经过的路程的近似值，即

（3）求和：把这n个小时间段经过的路程相加，就得到

变速直线运动路程的近似值，即
记为 .
（4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即

二、定积分定义
定义 设函数为区间上的有界函数，任意取分点
将区间分成n个小区间，其长度记为
，。
在每个小区间上，任取一点，得相应的函数值，作乘积
，
把所有这些乘积加起来，得和式
,
记，当时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间 上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分。记作
，即
。

其中称为被积函数，称为被积表达式，叫做积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限。符号读作函数从到的定积分。
关于定积分的定义，作以下几点说明：
（1）所谓和式极限存在（即函数可积）是指不论对区间怎样的分法和怎样的取法，极限都存在且相等。
（2）如果在上连续或有有限个第一类间断点，那么定义中的和式极限一定存在。
（3）因为和式极限是由函数及区间所确定的，所以定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即
。
（4）该定义是在的情况下给出的，但不管还是，总有

特别地，当时，规定
三、定积分的几何意义
1.当时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积。
2.当时，定积分在几何上表示曲线与直线
及轴所围成的曲边梯形的面积的负值。
3.若函数 在 上有正有负时，定积分 在几何上表示曲线与直线及轴所围成的各种图形面积的代数和，在轴上方的图形面积取正值，在轴下方的图形面积取负值。
四、定积分的基本性质

设函数，在所讨论的区间上可积，则定积分有如下性质：
性质1 两个函数和的定积分等于定积分的和，即

性质2 被积表达时中的常数因子可以提到积分号外面来，即

性质3 对任意的，有

这一性质叫做定积分对区间的可加性，即不论还是均成立。
性质4 如果在上，，那么
性质5 若在上有，则

这个性质说明，若比较两定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可。
特别地，有
性质6 （估值定理）如果函数在上的最大值为M，最小值为m，那么

性质7 （定积分中值定理）如果在区间内连续，那么在内至少存在一点，使得

补充：几何解释是；一条连续曲线在上曲边梯形面积等于以区间长度为底，中一点的函
数值为高的矩形面积，如图所示。

【例1】比较下列各对积分值的大小。
(1) 与（2）与
（3）与
解：(1) 在区间上，，所以 。
（2）在区间上，，所以。
（3）在区间上，，所以。
【例2】估计定积分的值的范围。
解：因为,所以,从而有由性质6可知,即
【例3】估计定积分的值的范围。
解：设，因为，所以在区间上单调减少，从而函数最小值最大值
由估值定理知

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